2022高考数学一轮复习专题20 立体几何中的平行与垂直问题（原卷）

专题20  立体几何中的平行与垂直问题

一、题型选讲

题型一 、线面平行与垂直

知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线

例1、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.

求证：(1)MN∥平面PBC；

MD⊥平面PAB.

例2、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

(1) 求证：EF∥平面ABC；

(2) 求证：BB1⊥AC.

例3、(2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．

求证：(1)DE∥平面ACC1A1；

(2)AE⊥平面BCC1B1.

例4、(2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：

(1) EF∥平面ABC；

(2) BD⊥平面ACE.

例5、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.

求证：(1) DE∥平面ABB1A1；

(2) BC1⊥平面A1B1C.

例6、(2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：

(1) 直线A1E∥平面ADC1；

(2) 直线EF⊥平面ADC1.

题型二、线面与面面平行与垂直

证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。

例7、（2020年江苏高考）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．

（1）求证：EF∥平面AB1C1；

（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．

例8、(2019宿迁期末）在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．

(1) 求证：平面SAC⊥平面SBD；

(2) 若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且AN＝NS，求证：SC∥平面BMN.

例9、(2019苏北四市、苏中三市三调）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，

，E，F分别是PC，AD的中点．

求证：（1）BE⊥CD；

         （2）EF∥平面PAB．

例10、(2018扬州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．

(1) 求证：B1C1∥平面A1DE；

(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.

例11、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点．

（1）求证：；

（2）若平面平面，求证：．

二、达标训练

1、(2018无锡期末）如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.

(1) 求证：AC⊥平面BDE；

(2) 求证：AC∥平面BEF.

2、(2018苏北四市期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：

(1) MN∥平面ABB1A1；

(2) AN⊥A1B.

3、(2018南京、盐城、连云港二模）如图，已知矩形ABCD所在平面与△ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．

(1) 求证：MN∥平面BEC；

(2) 求证：AH⊥CE.

4、(2018苏州暑假测试）如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.

(1) 若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA；

(2) 若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.

．

5、(2018常州期末）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．

(1) 求证：BD⊥AC；

(2) 过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.