2022高考数学一轮复习专题30 极值点偏移问题的研究（原卷）

专题30   极值点偏移问题的研究

一、题型选讲

题型一、常见的极值点偏移问题

常见的极值点偏移问题主要有以下几种题型：1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；

例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数．

(1)当时，设函数的最小值为，证明：；

(2)若函数有两个极值点，证明：．

例2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数，其中，为的导函数，设，且恒成立.

（1）求的取值范围；

（2）设函数的零点为，函数的极小值点为，求证：.

例3、(2019无锡期末）已知函数f(x)＝ex－x2－ax(a>0)．

(1) 当a＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0 成立；

(2) 若函数y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：<lna.

例4、(2018常州期末）已知函数f(x)＝，其中a为常数．

(1) 若a＝0，求函数f(x)的极值；

(2) 若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；

(3) 若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)<－2.

题型二、构造函数的极值点偏移问题

（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.

例5、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

例6、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．

(1) 当x＞1时，求函数f(x)的单调区间和极值；

(2) 若对于任意x∈[e，e2]，都有f(x)＜4lnx成立，求实数k的取值范围；

(3) 若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.

.

例7、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝＋lnx(a∈R)．

(1) 讨论f(x)的单调性；

(2) 设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.

①求实数a的取值范围；

②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.

二、达标训练

1、(2018常州期末）已知函数f(x)＝，其中a为常数．

(1) 若a＝0，求函数f(x)的极值；

(2) 若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；

(3) 若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)<－2.

2、(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R.

(1) 当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；

(2) 当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；

(3) 当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2 (x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2.

3、已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： .

4、已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）设函数，证明时， .

5、过点作曲线的切线．

（1）求切线的方程；

（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求证：．