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2022高考数学一轮复习专题29 函数的极值点问题的探究(解析卷)
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这是一份2022高考数学一轮复习专题29 函数的极值点问题的探究(解析卷),共9页。试卷主要包含了题型选讲,极值的个数的证明与判断,由极值点求参数的范围等内容,欢迎下载使用。
专题29 函数的极值点问题的探究一、题型选讲题型一 、函数极值的求解例1、(2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考)若函数的极大值是,极小值是,则( )A.与有关,且与有关 B.与有关,且与无关C.与无关,且与无关 D.与无关,且与有关【答案】C【解析】∵,∴,令,得,或,当变化时,、的变化如下表:递增极大值递减极小值递增∴,,∴,故选:C.变式1、【2019年高考江苏】设函数、为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零点均在集合中,求f(x)的极小值;【解析】(1)因为,所以.因为,所以,解得.(2)因为,所以,从而.令,得或.因为都在集合中,且,所以.此时,.令,得或.列表如下:1+0–0+极大值极小值所以的极小值为.变式2、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知函数.(1)求证:当时,对任意恒成立;(2)求函数的极值;【解析】 (1),,在上为增函数,所以当时,恒有成立; (2)由当在上为增函数,无极值当在上为减函数,在上为增函数,有极小值,无极大值,综上知:当无极值,当有极小值,无极大值. 题型二、极值的个数的证明与判断例1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数,为的导数.证明:(1)在区间存在唯一极大值点;【解析】(1)设,则,.当时,单调递减,而,可得在有唯一零点,设为.则当时,;当时,.所以在单调递增,在单调递减,故在存在唯一极大值点,即在存在唯一极大值点.变式、(2020届山东省临沂市高三上期末)已知函数的定义域为,则( )A.为奇函数B.在上单调递增C.恰有4个极大值点D.有且仅有4个极值点【答案】BD【解析】因为的定义域为,所以是非奇非偶函数,,当时,,则在上单调递增.显然,令,得,分别作出,在区间上的图象,由图可知,这两个函数的图象在区间上共有4个公共点,且两图象在这些公共点上都不相切,故在区间上的极值点的个数为4,且只有2个极大值点.故选:BD. 题型三、由极值点求参数的范围例3、【2018年高考北京理数】设函数=[].若在x=2处取得极小值,求a的取值范围.【解析】由(Ⅰ)得f ′(x)=[ax2–(2a+1)x+2]ex=(ax–1)(x–2)ex.若a>,则当x∈(,2)时,f ′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0.所以f (x)在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x–2<0,ax–1≤x–1<0,所以f ′(x)>0.所以2不是f (x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(,+∞).变式1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.若是的极大值点,求.【解析】(i)若,由(1)知,当时,,这与是的极大值点矛盾.(ii)若,设函数.由于当时,,故与符号相同.又,故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果,则当,且时,,故不是的极大值点.如果,则存在根,故当,且时,,所以不是的极大值点.如果,则.则当时,;当时,.所以是的极大值点,从而是的极大值点综上,. 二、达标训练1、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知在区间上有极值点,实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】,由于函数在上有极值点,所以在上有零点.所以,解得.故选:D.2、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)已知、、、,从这四个数中任取一个数,使函数有极值点的概率为( )A. B. C. D.1【答案】B【解析】f′(x)=x2+2mx+1,若函数f(x)有极值点,则f′(x)有2个不相等的实数根,故△=4m2﹣4>0,解得:m>1或m<﹣1,而a=log0.55<﹣2,0<b=log32<1、c=20.3>1,0<d=()2<1,满足条件的有2个,分别是a,c,故满足条件的概率p,故选:B. 3、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知函数,是函数的极值点,以下几个结论中正确的是( )A. B. C. D.【答案】AC【解析】函数,,∵是函数的极值点,∴,即,,
,,即A选项正确,B选项不正确;
,即C正确,D不正确.
故答案为:AC.4、(2020届山东省日照市高三上期末联考)已知函数,.若函数有唯一的极小值点,求实数的取值范围;【解析】,,,,设,当时,,在时,,即,所以单调递减,在时,,,所以单调递增,所以函数有唯一的极小值点成立;当时,令,得,,在时,,即,所以单调递减,在时,,,所以单调递增,所以函数有唯一的极小值点成立;当时,令,得,,当时不合题意,则,且,即且,设,,在时,,即,所以单调递减,在时,,,所以单调递增,在时,,即,所以单调递减,所以函数有唯一的极小值点成立;综上所述,的取值范围为且.5、(2020届山东实验中学高三上期中)已知函数且a≠0).若函数f(x)的极小值为,试求a的值.【解析】①当a<-1时,x变化时变化情况如下表:x1(1,+∞)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘此时,解得,故不成立.②当a=-1时,≤0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)单调递减.此时f(x)无极小值,故不成立.③当-1<a<0时,x变化时变化情况如下表:x(0,1)1-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘此时极小值f(1)=-a-4,由题意可得,解得或.因为-1<a<0,所以.④当a>0时,x变化时变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)-0+f(x)↘极小值↗此时极小值f(1)=-a-4,由题意可得,解得或,故不成立.综上所述.
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