2022高考数学一轮复习专题11 圆锥曲线中的定点、定值问题（解析卷）

这是一份2022高考数学一轮复习专题11 圆锥曲线中的定点、定值问题（解析卷），共14页。试卷主要包含了题型选讲，圆锥曲线中定值问题等内容，欢迎下载使用。
专题11 圆锥曲线中的定点、定值问题
一、题型选讲
题型一 、 圆锥曲线中过定点问题
圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【解析】（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程为+y2=1．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–30)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．
(1) 求椭圆C2的标准方程；
(2) 设点P为椭圆C2上的一点．
①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；
②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．

. (1)根据已知条件，求出a，b的值，得到椭圆C2的标准方程．
(2)①对直线OP斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，并与椭圆C1的方程联立，解得点A横坐标，同理求得点P横坐标，再通过弦长公式，求出的表达式，化简整理得到定值．
②设P(x0，y0)，写出直线l1的方程，并与椭圆C1联立，得到关于x的一元二次方程，根据直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得(x－4)k－2x0y0k1＋y－1＝0，同理得到(x－4)k－2x0y0k2＋y－1＝0，从而说明k1，k2是关于k的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．
(1) 规范解答 设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a＝2，＝，a2＝b2＋c2，解得b＝，因此椭圆C2的标准方程为＋＝1.(3分)
(2)①1°当直线OP斜率不存在时，
PA＝－1，PB＝＋1，则＝＝3－2.(4分)
2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k2＋1)x2＝4，
所以x＝，同理x＝.(6分)
所以x＝2x，由题意，xP与xA同号，所以xP＝xA，
从而＝＝＝＝3－2.
所以＝3－2为定值．(8分)
②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，
记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t，
代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，
因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，
所以Δ＝(8k1t)2－4(4k＋1)(4t2－4)＝0，即4k－t2＋1＝0，
将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，(x－4)k－2x0y0k1＋y－1＝0，(12分)
同理可得，(x－4)k－2x0y0k2＋y－1＝0，
所以k1，k2为关于k的方程(x－4)k2－2x0y0k＋y－1＝0的两根，从而k1·k2＝.(14
又点在P(x0，y0)椭圆C2：＋＝1上，所以y＝2－x，所以k1·k2＝＝－为定值．(16分)


二、达标训练

1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)

(I)试用表示：
(II)证明：原点到直线l的距离为定值.
【答案】(I) ；(II)证明见解析
【解析】
(I) 椭圆，故，
.
(II)设，，则将代入得到：
，故，
，
，故，得到，
，故，同理：，
由已知得：或，
故，
即，化简得到.
故原点到直线l的距离为为定值.
2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】（1）（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）见解析.
【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k