2021-2022学年新疆乌鲁木齐部分学校九年级（上）期末数学试卷 word，含解析

这是一份2021-2022学年新疆乌鲁木齐部分学校九年级（上）期末数学试卷 word，含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）|﹣|的相反数是（ ）
A．B．﹣C．6D．﹣6
2．（5分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．70°
4．（5分）下列式子运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝﹣x+y
C．x2•x3＝x5D．（x3）4＝x7
5．（5分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）
A．a＞bB．ab＞0C．a﹣b＜0D．|a|＜|b|
6．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．端午节期间为了保证大家吃上放心的棕子，质监部门对市场上的棕子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
7．（5分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）若关于x的方程kx2﹣3x+2＝0有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A．且k≠0B．且k≠0C．D．
9．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABE的顶点E在y轴上，原点O在AB边上，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过顶点A和B，并与BE边交于点C，若BC：CE＝3：1，△OBE的面积为，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣7
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10．（5分）一个五边形共有 条对角线．
11．（5分）二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
12．（5分）在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是 ．
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 ．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（5分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④方程cx2+bx+a＝0的一个解是x＝1；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16．（6分）计算﹣．
17．（7分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中．
18．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
19．（9分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
20．（10分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
21．（10分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？
22．（11分）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．抛物线与y轴交于C点，P为该抛物线上一动点．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）将该抛物线沿y轴向下平移3个单位，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求P的坐标；
（3）y＝x﹣3与抛物线交点为Q，连结AC，AQ，PQ，当P在x轴下方，且∠CAB＝∠AQP时，求直线PQ解析式．
2021-2022学年新疆乌鲁木齐部分学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）
1．（5分）|﹣|的相反数是（ ）
A．B．﹣C．6D．﹣6
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：|﹣|的相反数，即的相反数是﹣．
故选：B．
2．（5分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：A、主视图是矩形，故此选项错误；
B、主视图是矩形，故此选项错误；
C、主视图是三角形，故此选项正确；
D、主视图是正方形，故此选项错误；
故选：C．
3．（5分）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．70°
【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝40°，∠2＝30°，
∴∠C＝40°．
∵∠3是△CDE的外角，
∴∠3＝∠C+∠2＝40°+30°＝70°．
故选：D．
4．（5分）下列式子运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝﹣x+y
C．x2•x3＝x5D．（x3）4＝x7
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2x+3x＝5x，故此选项错误；
B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此选项错误；
C、x2⋅x3＝x5，故此选项正确；
D、x4+x，无法合并，故此选项错误．
故选：C．
5．（5分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）
A．a＞bB．ab＞0C．a﹣b＜0D．|a|＜|b|
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的大判断A选项；根据有理数的乘法判断B选项；根据有理数的减法判断C选项；根据绝对值的定义判断D选项．
【解答】解：A选项，a＜b，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜b，
∴a﹣b＜0，故该选项符合题意；
D选项，∵|a|＞2，|b|＜2，
∴|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
故选：C．
6．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．端午节期间为了保证大家吃上放心的棕子，质监部门对市场上的棕子实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
C．海底捞月是必然事件
D．甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定
【分析】根据全面调查和抽样调查、众数和中位数、随机事件、方差的概念和性质判断即可．
【解答】解：A、端午节我们有吃棕子的习俗，为了保证大家吃上放心的棕子，质监部门对市场上的棕子实行抽样调查，本选项说法错误，不符合题意；
B、一组数据﹣1，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是5，本选项说法错误，不符合题意；
C、海底捞月是不可能事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.2，乙同学跳远成绩的方差为1.6，则甲同学发挥比乙同学稳定，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
7．（5分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，分别得出等式求出答案．
【解答】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意可得：
，
故选：D．
8．（5分）若关于x的方程kx2﹣3x+2＝0有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A．且k≠0B．且k≠0C．D．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣3x+2＝0有实数根，
∴Δ＝9﹣8k≥0，
解得：k≤．
故选：D．
9．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABE的顶点E在y轴上，原点O在AB边上，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过顶点A和B，并与BE边交于点C，若BC：CE＝3：1，△OBE的面积为，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣7
【分析】由BC：CE＝3：1，△OBE的面积为，推出S△OBC＝×＝，设C（m，），则B（4m，），根据S△OBC＝S四边形OCBF﹣S△OBF＝S四边形OCBF﹣S△OKC＝S梯形CKFB，构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接OC．作CK⊥x轴于K，BF⊥x轴于F．
∵BC：CE＝3：1，△OBE的面积为，
∴S△OBC＝×＝，
设C（m，），则B（4m，），
∵S△OBC＝S四边形OCBF﹣S△OBF＝S四边形OCBF﹣S△OKC＝S梯形CKFB，
∴＝•（﹣﹣）×3m，
∴k＝﹣7，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10．（5分）一个五边形共有 5 条对角线．
【分析】可根据多边形的对角线与边的关系求解．
【解答】解：n边形共有条对角线，
∴五边形共有＝5条对角线．
11．（5分）二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：依题意有2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
12．（5分）在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是 10 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，＝0.2，
解得，a＝10．
故可以推算出a大约是10个．
故答案为：10．
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 1+ ．
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD＝DH＝1，进而求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝1，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B＝45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD＝HD＝，
则BC＝CD+BD＝1+，
故答案为：1+．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以BC的中点E为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接MN、PE，则PE⊥MN，在直角△MEF中利用三角函数即可求得∠MEF的度数，然后求得∠MEN的度数，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：连接MN、PE，则PE⊥MN，
∵在直角△MEF中，MF＝MN＝，ME＝1，
sin∠MEF＝＝＝，
∴∠MEF＝60°，
∴∠MEN＝120°，
∴S阴影＝＝．
故答案是：．
15．（5分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④方程cx2+bx+a＝0的一个解是x＝1；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是 ②⑤ ．
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置逐个判断五个选项即可．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则b＜0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c过点（3，0），
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，
∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正确；
∵对称轴为x＝1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y1＜y2，故③错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b≠0，
∴方程cx2+bx+a＝0的一个解是x＝﹣1，故④错误；
x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，
又∵x＝1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵b＝﹣2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
故答案为：②⑤．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16．（6分）计算﹣．
【分析】利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣2×+2
＝1．
17．（7分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b），其中．
【分析】原式利用单项式乘多项式法则，完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（a2﹣2ab）+（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣b2）
＝a2﹣2ab+a2+2ab+b2﹣a2+b2
＝a2+2b2，
当a＝1，b＝﹣时，
原式＝1+2×（﹣）2
＝1+
＝．
18．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
19．（9分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 72 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 2400 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【分析】（1）用喜欢D种口味粽子的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出喜欢B种口味粽子的人数，再计算出喜欢C种口味粽子的人数，则用360度乘以喜欢C种口味粽子的人数所占的百分比得到它在扇形统计图中所占圆心角的度数，然后补全条形统计图；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）240÷40%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的居民有600人；
（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），
喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×＝72°；
补全条形统计图为：
（3）6000×40%＝2400，
所以估计爱吃D种粽子的有2400人；
故答案为600；72；2400；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率＝＝．
20．（10分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【分析】根据已知条件求出BD＝AD，设DC＝x，得出AD＝90+x，再根据tan58°＝，求出x的值，即可得出AD的值．
【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，
∴∠DAB＝45°，
∴BD＝AD，
设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，
∴AD＝90+x，
∴tan58°＝＝＝1.60，
解得：x＝150，
∴AD＝90+150＝240（米），
答：最高塔的高度AD约为240米．
21．（10分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？
【分析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，根据数量＝总价÷单价结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，
根据题意得：＝×，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴x﹣1＝5．
答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，
根据题意得：6y+5（2y+60）≤2100，
解得：y≤112，
∵y为整数，
∴y最大值＝112
答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．
22．（11分）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．
【分析】（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，可得∠OAC＝90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求OA＝OD＝3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABC，
又∵∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD＝90°＝∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）方法一、过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2＝AC2+AO2，
∴（OA+2）2＝16+OA2，
∴OA＝3，
∴OC＝5，BC＝8，
∵S△OAC＝×OA×AC＝×OC×AE，
∴AE＝＝，
∴OE＝＝＝，
∴BE＝BO+OE＝，
∴AB＝＝＝．
方法二、∵∠CAD＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝，
∴，
∴BC＝8，AB＝2AD，
∴BD＝6，
∵AB2+AD2＝BD2，
∴5AD2＝36，
∴AD＝，
∴AB＝2AD＝．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．抛物线与y轴交于C点，P为该抛物线上一动点．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）将该抛物线沿y轴向下平移3个单位，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求P的坐标；
（3）y＝x﹣3与抛物线交点为Q，连结AC，AQ，PQ，当P在x轴下方，且∠CAB＝∠AQP时，求直线PQ解析式．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据平移规律求得PP′＝3，结合已知条件OP＝OP'和OA⊥PP′，可得点P的纵坐标，由此可解答；
（3）联立一次函数与二次函数表达式，可求出点Q的坐标，需要分两种情况：①当Q（3，0），∠CAB＝∠AQP，即AC//PQ；②当Q（﹣3，﹣6），过A作AM⊥P′Q于M，过M作MN⊥x轴于N，过Q作QL⊥MN于L，得出△MAN∽△QML，由比例求出点M的坐标，再结合待定系数法求出直线解析式即可．
【解答】解：（1）由题意，得．
解得．
则该抛物线解析式为：；
（2）∵抛物线是向下平移了3个单位，
∴PP'＝3．
∵OP＝OP'，OA⊥PP′，如图，
∴点P的纵坐标为，
∴当y＝时，．
∴x1＝0，x2＝2；
∴P的坐标为（0，）或（2，）；
（3）令x﹣3＝，
解得x＝﹣3或x＝3，
∴Q（﹣3，﹣6）或（3，0）
①当Q（3，0），∠CAB＝∠AQP，即AC∥PQ，如图，
则kAC＝kPQ＝tan∠CAB＝，
∴PQ直线解析式；
②当Q（﹣3，﹣6），过A作AM⊥P′Q于M，过M作MN⊥x轴于N，过Q作QL⊥MN于L，
∴△MAN∽△QML，
∴，
设AN＝3m，ML＝2m，MN＝3n，QL＝2n，
∴，解得，
∴AN＝3m＝，MN＝3n＝，
∴ON＝AN﹣OA＝，
∴M（，﹣），
设PQ解析式y＝kx+b，过Q（﹣3，﹣6），M（，﹣），
解得，．
综上可得，PQ的解析式为：或．