初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式优秀一课一练

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第16章重点突破训练：二次根式类型举例典例体系（本专题56题29页）考点1：二次根式有意义的条件典例：（2020·南通市启秀中学八年级月考）已知实数满足，求的值．方法或规律点拨本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．巩固练习1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）二次根式中，字母x的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2020·浙江杭州市·八年级月考）要使二次根式有意义，则x应满足（）A． B． C． D．3．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）要使二次根式有意义，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点P（x，y）在函数的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2021·呼和浩特市剑桥中学九年级期末）函数的图象上的点一定在第（）象限A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2021·全国八年级）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣37．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）完成下列问题：（1）已知，为实数，且，求的值．（2）若是关于的方程的根，求的值．考点2：二次根式的混合运算典例：（2021·全国八年级）计算：（1）（2）（3）（4）方法或规律点拨本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，零指数幂，化简绝对值，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．巩固练习1．（2021·江苏南京市·八年级期末）计算．2．（2021·北京顺义区·八年级期末）计算：3．（2021·北京平谷区·八年级期末）计算：4．（2020·福建省宁化第五中学八年级月考）计算：（1）（2）5．（2020·山东济南市·垛石镇中学八年级月考）计算：（1）（2）6．（2020·上海市澧溪中学八年级月考）计算：．7．（2020·江苏省苏州工业园区青剑湖学校八年级期中）计算（1）；（2）；（3）．8．（2020·全国八年级期中）计算（1）（2）9．（2020·福建三明市·八年级期中）（1）；（2）．10．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学八年级月考）计算：（1）（2）（3）（4）11．（2020·南通市启秀中学八年级月考）已知，的整数部分为，小数部分为，求的值．考点3：二次根式在分式化简求值中的应用典例：（2020·盘锦市双台子区第一中学九年级月考）先化简，再求值：，其中方法或规律点拨本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的混合运算法则、0指数幂、负指数幂、二次根式的化简等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．1．（2020·江苏泰州市·九年级月考）先化简，再求值：，其中．2．（2020·厦门大学附属科技中学九年级月考）先化简，再求值：，其中．3．（2020·株洲景炎学校九年级期中）先化简，再求值：，其中4．（2020·张家港市梁丰实验学校九年级期中）先化简，再求值：，其中．5．（2020·四川师范大学实验外国语学校）先化简，再求值，其中6．（2020·河南省洛阳市孟津县会盟第一初级中学九年级月考）先化简再求值，其中x＝，y＝．7．（2021·上海九年级专题练习）先化简，再求值：，其中．8．（2020·山东大学附属中学九年级其他模拟）先化简，再求值：，其中.9．（2021·上海九年级专题练习）先化简，再求值：，其中x＝．考点4：二次根式比较大小典例：（2021·全国八年级）阅读下列解题过程：＝＝；＝＝；＝＝＝2﹣；…则：（1）＝　　；＝　　；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝　　；（3）利用上面的规律：比较﹣与﹣的大小．方法或规律点拨本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、实数大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．巩固练习1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．2．（2020·成都西川中学八年级月考）计算：（1）比较和的大小．（2）求的最大值．4．（2020·河南郑州市第七初级中学八年级月考）比较大小：______________   (填“>”、“=”或“<”)．5．（2020·河北唐山市·八年级期中）琪琪的作业中出现了如下解题过程：解答下列问题：（1）以上解题过程中，从第几步开始出现了错误？（2）比较与的大小，并写出你的判断过程.6．（2019·太原市第五十三中学校八年级月考）比较大小：与．7．（2018·上海市青云中学八年级期中）解不等式：<8．（2020·辽宁大连市·七年级期末）一个长方形的长宽之比为，面积为．（1）求长方形的长与宽．（2）将这个长方形的长减少，宽增加后，就成为一个正方形，并且它与原来的长方形的面积相等，请判断的大小，并说明理由．9．（2020·安徽滁州市·龙集九年制学校八年级期中）比较大小：①_____②___10．（2020·安徽滁州市·定远县第二初级中学八年级月考）试比较与的大小．11．（2019·安徽阜阳市·八年级期中）3的小数部分为m，3+的小数部分为n，求（m-3）（n+2）的值．12．（2020·山西八年级月考）阅读下列材料并回答问题．我们知道，，，…，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，和互为有理化因式．根据互为有理化因式的积是有理数，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如：．请解答下列问题：（1）分母有理化的结果是；分母有理化的结果是；（2）计算：；（3）若实数，，判断和的大小，并说明理由．13．（2019·山西八年级月考）综合与探究：（1）计算判断：（计算并判断大小，填写符号：“>”“<”或“=”）①当，时，_____；②当，时，_____；③当，时，______；④当，时，______；⑤当，时，______；⑥当，时，_______；…（2）归纳猜想：猜想并写出关于与（，是常数，且，）之间的数量关系；（3）探究证明：请补全以下证明过程：证明：根据一个实数的平方是非负数，可得，∴，∵，，…（4）实践应用：要制作面积为的长方形（或正方形）框架，直接利用探究得出的结论，求出框架周长的最小值．考点5：二次根式的应用典例：（2020·湖北随州市·八年级期末）阅读下列材料，解答后面的问题：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：……①（其中、、为三角形的三边长，为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：……②（其中）（1）若已知三角形的三边长分别为，，，试分别运用公式①和公式②计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试写出推导过程．方法或规律点拨本题考查了二次根式的应用、平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式．巩固练习1．（2020·福建三明市·八年级期中）为庆祝中华人民共和国成立70周年，某班计划在班级墙上挂两张大小不同的正方形壁画，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2．如果再用金丝线把壁画的边镶上会更漂亮，现在有长1.8m的金丝线，请你帮助算一算，他的金丝线够用吗？如果不够，还需买多长的金丝线？（结果保留整数）2．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．（1）在中，已知，，，求的面积；（2）计算（1）中的边上的高．3．（2020·安徽安庆市·八年级期中）观察下列各式，回答问题：①；②；③…．（1）根据上面三个等式提供的信息，写出第四个等式　　；（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明你的结论．4．（2020·衡阳市逸夫中学）已知．（1）求代数式的值；（2）求代数式的值．6．（2020·广西玉林市·八年级期末）已知长方形的长，宽.(1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．7．（2020·全国八年级单元测试）阅读材料：小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如.善于思考的小明进行了以下探索：设(其中a、b、m、n均为整数),则有.∴.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（a,b,m,n均为正整数）(1)，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=___，b=___；(2)当a=7,n=1时，填空：7+=（+）2(3)若，求a的值.8．（2020·河南周口市·八年级期末）一个三角形的三边长分别为．（1）求它的周长（要求结果是最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长．9．（2020·陕西渭南市·八年级期末）如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为.求：（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；（2）长方体盒子的体积．10．（2020·山西吕梁市·八年级期中）为了打赢湖北保卫战、武汉保卫战，4万多名医护人员逆行出征，约4万名建设者从八方赶来，并肩奋战，抢建火神山和雷神山医院．他们日夜鏖战，与病毒竞速，创造了10天左右时间建成两座传染病医院的“中国速度”！他们不畏风险，同困难斗争，充分展现团结起来打硬仗的“中国力量”，在建设过程中，有一位木工遇到了这样一道数学题：有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．（1）求剩余木料的面积？（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出_________块这样的木条．11．（2018·辽宁抚顺市·七年级期中）如图，某农场拟建两间长方形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留m宽的门垂直于墙的边AD的长为m，平行于墙的边AB的长为m，那么拟建墙体所需要的材料(不包括门)总长为多少m．(精确到0.1m)