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2021-2022学年湖北省荆州市监利县八年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年湖北省荆州市监利县八年级（上）期末数学试卷 解析版，共20页。试卷主要包含了选一选，比比谁细心，填一填，看看谁仔细，解一解，试试谁更棒等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省荆州市监利县八年级（上）期末数学试卷
一、选一选，比比谁细心（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
2．（3分）下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a12÷a2
3．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
4．（3分）下列图形中对称轴的条数小于3的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部
B．三角形中至少有一个内角不小于60°
C．直角三角形仅有一条高
D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
7．（3分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于3，点Q是OB边上任意一点，下列关于线段PQ长度的描述正确的是（ ）
A．PQ＞3 B．PQ≥3 C．PQ＜3 D．PQ≤3
8．（3分）某校学生暑假乘汽车到外地参加夏令营活动，目的地距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地．已知快车速度是慢车速度的1.5倍，如果设慢车的速度为xkm/h，那么可列方程为（ ）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C． D．
9．（3分）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
10．（3分）如图，在等边△ABC中，AC＝3，点O在AC上，且AO＝1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
二、填一填，看看谁仔细（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为 ．
12．（3分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为 ．
13．（3分）等腰三角形的两边长分别为5和10，则它的周长为 ．
14．（3分）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，则a+b+c的值为 ．
15．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
16．（3分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm．
三、解一解，试试谁更棒（本大题共8小题；满分72分）
17．（8分）计算：
（1）（2x+y）（2xy）；
（2）（4x6y﹣6x3）÷2x3．
18．（8分）因式分解：
（1）2x2﹣2；
（2）x3﹣4x2y+4xy2．
19．（10分）（1）解方程：
（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
20．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC＝112°，求∠BCF的度数．
21．（8分）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图1，计算图中格点△ABC的面积为 ；
（2）如图，图2、图3、图4都是6×6的正方形网格，点M、点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图2中作格点△MNP，使△MNP，与△ABC全等；
②在图3中作格点△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图4中作格点△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称．
22．（10分）如图，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
23．（10分）某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双．
（1）求第一次每双球鞋的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？
24．（12分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．
2021-2022学年湖北省荆州市监利县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选一选，比比谁细心（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：x﹣2＝0且x2﹣1≠0，
解得x＝2．
故选：D．
2．（3分）下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a12÷a2
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a4不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2•a4＝a6，故B符合题意；
C、（a4）2＝a8，故C不符合题意；
D、a12÷a2＝a10，故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
【分析】先证明AF＝CE，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判定．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵∠AFD＝∠CEB，
∴当添加∠A＝∠C时，根据“ASA”可判定△ADF≌△CBE；
当添加BE＝DF时，根据“SAS”可判定△ADF≌△CBE；
当添加AD∥BC，则∠A＝∠C时，根据“ASA”可判定△ADF≌△CBE．
故选：B．
4．（3分）下列图形中对称轴的条数小于3的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
B、有6条对称轴，故本选项不符合题意；
C、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
D、有2条对称轴，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】延长BC交OD于点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM＝140°，再利用四边形内角和为360°，即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：延长BC交OD于点M，如图所示.
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM＝360°﹣220°＝140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM＝360°，
∴∠BOD＝40°．
故选：A．
6．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部
B．三角形中至少有一个内角不小于60°
C．直角三角形仅有一条高
D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
【分析】根据三角形的中线、高、角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的斜边上的中线的性质一一判断即可．
【解答】解：A、钝角三角形的高在三角形的外部．故错误；
B、根据内角和定理，可知三角形中至少有一个内角不小于60°．故正确；
C、直角三角形有3条高，其中2条在它的直角边上．故错误；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故错误．
故选：B．
7．（3分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于3，点Q是OB边上任意一点，下列关于线段PQ长度的描述正确的是（ ）
A．PQ＞3 B．PQ≥3 C．PQ＜3 D．PQ≤3
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为3，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于3，
∴点P到OB的距离为3，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥3．
故选：B．
8．（3分）某校学生暑假乘汽车到外地参加夏令营活动，目的地距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地．已知快车速度是慢车速度的1.5倍，如果设慢车的速度为xkm/h，那么可列方程为（ ）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C． D．
【分析】此题求速度，有路程，所以要根据时间来列等量关系．因为他们同时到达目的地，所以此题等量关系为：慢车所用时间﹣快车所用时间＝1．
【解答】解：设慢车的速度为xkm/h，慢车所用时间为，快车所用时间为，可列方程：﹣＝1．
故选：A．
9．（3分）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣12．
【解答】解：﹣12可以分成：﹣2×6，2×（﹣6），﹣1×12，1×（﹣12），3×（﹣4），﹣3×4，
而﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，3+（﹣4）＝﹣1，﹣3+4＝1，
因为11＞4＞1＞﹣1＞﹣4＞﹣11，
所以m最大＝p+q＝11．
故选：C．
10．（3分）如图，在等边△ABC中，AC＝3，点O在AC上，且AO＝1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO＝1，则OC＝2．证明△AOP≌△COD求解．
【解答】解：∵∠C＝∠A＝∠DOP＝60°，OD＝OP，
∴∠CDO+∠COD＝120°，∠COD+∠AOP＝120°，
∴∠CDO＝∠AOP．
在△ODC和△POA中，
，
∴△ODC≌△POA（AAS）．
∴AP＝OC．
∴AP＝OC＝AC﹣AO＝2．
故选：C．
二、填一填，看看谁仔细（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
12．（3分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为 1.2×10﹣4 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00012＝1.2×10﹣4．
故答案为：1.2×10﹣4．
13．（3分）等腰三角形的两边长分别为5和10，则它的周长为 25 ．
【分析】根据腰为5或10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，10，5+5＝10，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为10时，三边为5，10，10，三边关系成立，周长为5+10+10＝25．
故答案为：25．
14．（3分）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，则a+b+c的值为 0 ．
【分析】先将字母b表示字母a，代入ab+c2+4＝0，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b+c的值．
【解答】解：∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
代入ab+c2+4＝0，可得（b+4）b+c2+4＝0，
（b+2）2+c2＝0，
∴b＝﹣2，c＝0，
∴a＝b+4＝2．
∴a+b+c＝0．
故答案为：0．
15．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 m≥2且m≠3 ．
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．
【解答】解：去分母得，
m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
由题意得，m﹣2≥0，
解得，m≥2，
x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，
所以m的取值范围是m≥2且m≠3．
故答案为：m≥2且m≠3．
16．（3分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 8 cm．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．
三、解一解，试试谁更棒（本大题共8小题；满分72分）
17．（8分）计算：
（1）（2x+y）（2xy）；
（2）（4x6y﹣6x3）÷2x3．
【分析】（1）直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（2x•2xy）+（y•2xy）
＝4x2y+2xy2；
（2）原式＝（4x6y）÷（2x3）+（﹣6x3）÷（2x3）
＝2x3y﹣3．
18．（8分）因式分解：
（1）2x2﹣2；
（2）x3﹣4x2y+4xy2．
【分析】（1）直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可；
（2）直接提取公因式x，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣1）
＝2（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝x（x2﹣4xy+4y2）
＝x（x﹣2y）2．
19．（10分）（1）解方程：
（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】（1）两边乘最简公分母化为整式方程，解出整式方程，再检验即可；
（2）先算括号内的运算，再将除化为乘，分子、分母分解因式约分，化简后将a＝﹣1代入即可得到答案．
【解答】解：（1）方程变形为：+3＝，
两边同时乘x﹣2得：1+3（x﹣2）＝x﹣1，
解得x＝2，
把x＝2代入最简公分母，x﹣2＝2﹣2＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）原式＝÷
＝•
＝，
把a＝﹣1代入得：
原式＝＝．
20．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC＝112°，求∠BCF的度数．
【分析】根据三角形的高的定义，由CD是AB边上高，得∠BDF＝90°．根据三角形外角的性质，得∠DBF＝∠BFC﹣∠BDF＝22°．根据三角形的角平分线的定义，由BE为角平分线，得∠DBF＝∠CBF＝22°．根据三角形内角和定理，得∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FBC＝46°．
【解答】解：∵CD是AB边上高，
∴∠BDF＝90°．
∴∠DBF＝∠BFC﹣∠BDF＝112°﹣90°＝22°．
∵BE为角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF＝22°．
∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FBC＝180°﹣112°﹣22°＝46°．
21．（8分）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图1，计算图中格点△ABC的面积为 ；
（2）如图，图2、图3、图4都是6×6的正方形网格，点M、点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图2中作格点△MNP，使△MNP，与△ABC全等；
②在图3中作格点△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图4中作格点△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称．
【分析】（1）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得出答案；
（2）依据平移，旋转，轴对称的性质即可画出图形．
【解答】解：（1）△ABC的面积为：2×4﹣＝，
故答案为：；
（2）如图，即为所求．
22．（10分）如图，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
【分析】（1）先求出∴∠ABC＝∠ADE，再根据三角形的判定定理ASA即可证得．
（2）过点A作AM⊥CE，垂足为M；通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠ACD，再根据角的平分线的性质求得AF＝AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而得出EC＝2AF．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
又∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）证明：过点A作AM⊥CE，垂足为M，如图所示：
∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠BCA＝∠ACD，
∵AM⊥CD，AF⊥CF，
∴AF＝AM，
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，
∴CM＝AM＝ME，
又∵AF＝AM，
∴EC＝2AF．
23．（10分）某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双．
（1）求第一次每双球鞋的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？
【分析】（1）设第一次每双球鞋的进价是x元，根据“6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双”可列方程求解．
（2）设应打y折，根据若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋全部按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，可列出不等式求解．
【解答】解：（1）设第一次每双球鞋的进价是x元，
﹣40＝
x＝70．
经检验得出x＝70是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每双球鞋的进价是70元．
（2）设应打y折．
4200÷（70×1.2）＝50（双）
160×25+160×0.1y•25﹣4200≥2200
y≥6
故最低打6折．
24．（12分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．
【分析】（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD（ASA），即得CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，由∠DCE＝∠GCE＝45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE＝∠G，从而得到结论；
（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E，构建全等三角形：△CBE≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CE＝BO，BE＝AO＝4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPE≌△DPB，故BP＝EP＝2．
【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAF+∠BAO＝90°，
∴∠ACF＝∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
，
∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF＝OA＝1，
∴A（0，1）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠AGC＝∠ADO，
在△ACG和△ABD中，，
∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，
∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，
∴∠DCE＝∠GCE＝45°，
在△DCE和△GCE中，
，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE＝∠G，
∴∠ADB＝∠CDE；
（3）BP的长度不变，理由如下：
如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABO＝90°．
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴CE＝BO，BE＝AO＝4．
∵BD＝BO，
∴CE＝BD．
∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，
∴△CPE≌△DPB（AAS），
∴BP＝EP＝2．
2021-2022学年湖北省荆州市监利县八年级（上）期末数学试卷
一、选一选，比比谁细心（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
2．（3分）下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a12÷a2
3．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
4．（3分）下列图形中对称轴的条数小于3的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部
B．三角形中至少有一个内角不小于60°
C．直角三角形仅有一条高
D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
7．（3分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于3，点Q是OB边上任意一点，下列关于线段PQ长度的描述正确的是（ ）
A．PQ＞3 B．PQ≥3 C．PQ＜3 D．PQ≤3
8．（3分）某校学生暑假乘汽车到外地参加夏令营活动，目的地距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地．已知快车速度是慢车速度的1.5倍，如果设慢车的速度为xkm/h，那么可列方程为（ ）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C． D．
9．（3分）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
10．（3分）如图，在等边△ABC中，AC＝3，点O在AC上，且AO＝1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
二、填一填，看看谁仔细（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为 ．
12．（3分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为 ．
13．（3分）等腰三角形的两边长分别为5和10，则它的周长为 ．
14．（3分）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，则a+b+c的值为 ．
15．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
16．（3分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm．
三、解一解，试试谁更棒（本大题共8小题；满分72分）
17．（8分）计算：
（1）（2x+y）（2xy）；
（2）（4x6y﹣6x3）÷2x3．
18．（8分）因式分解：
（1）2x2﹣2；
（2）x3﹣4x2y+4xy2．
19．（10分）（1）解方程：
（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
20．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC＝112°，求∠BCF的度数．
21．（8分）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图1，计算图中格点△ABC的面积为 ；
（2）如图，图2、图3、图4都是6×6的正方形网格，点M、点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图2中作格点△MNP，使△MNP，与△ABC全等；
②在图3中作格点△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图4中作格点△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称．
22．（10分）如图，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
23．（10分）某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双．
（1）求第一次每双球鞋的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？
24．（12分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．
2021-2022学年湖北省荆州市监利县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选一选，比比谁细心（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：x﹣2＝0且x2﹣1≠0，
解得x＝2．
故选：D．
2．（3分）下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a4 C．（a4）2 D．a12÷a2
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a4不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2•a4＝a6，故B符合题意；
C、（a4）2＝a8，故C不符合题意；
D、a12÷a2＝a10，故D不符合题意；
故选：B．
3．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
【分析】先证明AF＝CE，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判定．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵∠AFD＝∠CEB，
∴当添加∠A＝∠C时，根据“ASA”可判定△ADF≌△CBE；
当添加BE＝DF时，根据“SAS”可判定△ADF≌△CBE；
当添加AD∥BC，则∠A＝∠C时，根据“ASA”可判定△ADF≌△CBE．
故选：B．
4．（3分）下列图形中对称轴的条数小于3的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
B、有6条对称轴，故本选项不符合题意；
C、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
D、有2条对称轴，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】延长BC交OD于点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM＝140°，再利用四边形内角和为360°，即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：延长BC交OD于点M，如图所示.
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM＝360°﹣220°＝140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM＝360°，
∴∠BOD＝40°．
故选：A．
6．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部
B．三角形中至少有一个内角不小于60°
C．直角三角形仅有一条高
D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
【分析】根据三角形的中线、高、角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的斜边上的中线的性质一一判断即可．
【解答】解：A、钝角三角形的高在三角形的外部．故错误；
B、根据内角和定理，可知三角形中至少有一个内角不小于60°．故正确；
C、直角三角形有3条高，其中2条在它的直角边上．故错误；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故错误．
故选：B．
7．（3分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于3，点Q是OB边上任意一点，下列关于线段PQ长度的描述正确的是（ ）
A．PQ＞3 B．PQ≥3 C．PQ＜3 D．PQ≤3
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为3，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于3，
∴点P到OB的距离为3，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥3．
故选：B．
8．（3分）某校学生暑假乘汽车到外地参加夏令营活动，目的地距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地．已知快车速度是慢车速度的1.5倍，如果设慢车的速度为xkm/h，那么可列方程为（ ）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C． D．
【分析】此题求速度，有路程，所以要根据时间来列等量关系．因为他们同时到达目的地，所以此题等量关系为：慢车所用时间﹣快车所用时间＝1．
【解答】解：设慢车的速度为xkm/h，慢车所用时间为，快车所用时间为，可列方程：﹣＝1．
故选：A．
9．（3分）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣12．
【解答】解：﹣12可以分成：﹣2×6，2×（﹣6），﹣1×12，1×（﹣12），3×（﹣4），﹣3×4，
而﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，3+（﹣4）＝﹣1，﹣3+4＝1，
因为11＞4＞1＞﹣1＞﹣4＞﹣11，
所以m最大＝p+q＝11．
故选：C．
10．（3分）如图，在等边△ABC中，AC＝3，点O在AC上，且AO＝1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO＝1，则OC＝2．证明△AOP≌△COD求解．
【解答】解：∵∠C＝∠A＝∠DOP＝60°，OD＝OP，
∴∠CDO+∠COD＝120°，∠COD+∠AOP＝120°，
∴∠CDO＝∠AOP．
在△ODC和△POA中，
，
∴△ODC≌△POA（AAS）．
∴AP＝OC．
∴AP＝OC＝AC﹣AO＝2．
故选：C．
二、填一填，看看谁仔细（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
12．（3分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为 1.2×10﹣4 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00012＝1.2×10﹣4．
故答案为：1.2×10﹣4．
13．（3分）等腰三角形的两边长分别为5和10，则它的周长为 25 ．
【分析】根据腰为5或10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，10，5+5＝10，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为10时，三边为5，10，10，三边关系成立，周长为5+10+10＝25．
故答案为：25．
14．（3分）已知a﹣b＝4，ab+c2+4＝0，则a+b+c的值为 0 ．
【分析】先将字母b表示字母a，代入ab+c2+4＝0，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到a+b+c的值．
【解答】解：∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
代入ab+c2+4＝0，可得（b+4）b+c2+4＝0，
（b+2）2+c2＝0，
∴b＝﹣2，c＝0，
∴a＝b+4＝2．
∴a+b+c＝0．
故答案为：0．
15．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 m≥2且m≠3 ．
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．
【解答】解：去分母得，
m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
由题意得，m﹣2≥0，
解得，m≥2，
x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，
所以m的取值范围是m≥2且m≠3．
故答案为：m≥2且m≠3．
16．（3分）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 8 cm．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．
三、解一解，试试谁更棒（本大题共8小题；满分72分）
17．（8分）计算：
（1）（2x+y）（2xy）；
（2）（4x6y﹣6x3）÷2x3．
【分析】（1）直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（2x•2xy）+（y•2xy）
＝4x2y+2xy2；
（2）原式＝（4x6y）÷（2x3）+（﹣6x3）÷（2x3）
＝2x3y﹣3．
18．（8分）因式分解：
（1）2x2﹣2；
（2）x3﹣4x2y+4xy2．
【分析】（1）直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可；
（2）直接提取公因式x，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣1）
＝2（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝x（x2﹣4xy+4y2）
＝x（x﹣2y）2．
19．（10分）（1）解方程：
（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】（1）两边乘最简公分母化为整式方程，解出整式方程，再检验即可；
（2）先算括号内的运算，再将除化为乘，分子、分母分解因式约分，化简后将a＝﹣1代入即可得到答案．
【解答】解：（1）方程变形为：+3＝，
两边同时乘x﹣2得：1+3（x﹣2）＝x﹣1，
解得x＝2，
把x＝2代入最简公分母，x﹣2＝2﹣2＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）原式＝÷
＝•
＝，
把a＝﹣1代入得：
原式＝＝．
20．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC＝112°，求∠BCF的度数．
【分析】根据三角形的高的定义，由CD是AB边上高，得∠BDF＝90°．根据三角形外角的性质，得∠DBF＝∠BFC﹣∠BDF＝22°．根据三角形的角平分线的定义，由BE为角平分线，得∠DBF＝∠CBF＝22°．根据三角形内角和定理，得∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FBC＝46°．
【解答】解：∵CD是AB边上高，
∴∠BDF＝90°．
∴∠DBF＝∠BFC﹣∠BDF＝112°﹣90°＝22°．
∵BE为角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF＝22°．
∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FBC＝180°﹣112°﹣22°＝46°．
21．（8分）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图1，计算图中格点△ABC的面积为 ；
（2）如图，图2、图3、图4都是6×6的正方形网格，点M、点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图2中作格点△MNP，使△MNP，与△ABC全等；
②在图3中作格点△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图4中作格点△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称．
【分析】（1）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得出答案；
（2）依据平移，旋转，轴对称的性质即可画出图形．
【解答】解：（1）△ABC的面积为：2×4﹣＝，
故答案为：；
（2）如图，即为所求．
22．（10分）如图，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．
【分析】（1）先求出∴∠ABC＝∠ADE，再根据三角形的判定定理ASA即可证得．
（2）过点A作AM⊥CE，垂足为M；通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠ACD，再根据角的平分线的性质求得AF＝AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而得出EC＝2AF．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
又∵∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）证明：过点A作AM⊥CE，垂足为M，如图所示：
∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠BCA＝∠ACD，
∵AM⊥CD，AF⊥CF，
∴AF＝AM，
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°，
∴∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，
∴CM＝AM＝ME，
又∵AF＝AM，
∴EC＝2AF．
23．（10分）某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双．
（1）求第一次每双球鞋的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？
【分析】（1）设第一次每双球鞋的进价是x元，根据“6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双”可列方程求解．
（2）设应打y折，根据若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋全部按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，可列出不等式求解．
【解答】解：（1）设第一次每双球鞋的进价是x元，
﹣40＝
x＝70．
经检验得出x＝70是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每双球鞋的进价是70元．
（2）设应打y折．
4200÷（70×1.2）＝50（双）
160×25+160×0.1y•25﹣4200≥2200
y≥6
故最低打6折．
24．（12分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．
【分析】（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD（ASA），即得CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，由∠DCE＝∠GCE＝45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE＝∠G，从而得到结论；
（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E，构建全等三角形：△CBE≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CE＝BO，BE＝AO＝4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPE≌△DPB，故BP＝EP＝2．
【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAF+∠BAO＝90°，
∴∠ACF＝∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
，
∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF＝OA＝1，
∴A（0，1）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠AGC＝∠ADO，
在△ACG和△ABD中，，
∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，
∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，
∴∠DCE＝∠GCE＝45°，
在△DCE和△GCE中，
，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE＝∠G，
∴∠ADB＝∠CDE；
（3）BP的长度不变，理由如下：
如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABO＝90°．
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴CE＝BO，BE＝AO＝4．
∵BD＝BO，
∴CE＝BD．
∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，
∴△CPE≌△DPB（AAS），
∴BP＝EP＝2．
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