2021-2022学年辽宁省阜新市新邱区九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年辽宁省阜新市新邱区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省阜新市新邱区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）方程x（x﹣1）＝2的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝2
2．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
3．（3分）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（　　）
A．150° B．135° C．120° D．100°
5．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°
6．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（　　）

A．78° B．75° C．60° D．45°
7．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（　　）

A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．6
10．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．2 B．2 C．3 D．
二、填空题（每小题3分，共18分.）
11．（3分）已知函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为　 　．
12．（3分）在﹣1，﹣2，3这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝的图象在第二、四象限的概率是　 　．
13．（3分）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为　 　．
14．（3分）如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是　 　cm．

15．（3分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1：2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为　 　．

16．（3分）正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2021的坐标是　 　．（答案不需要化简）

三、解答题：（17----21每题8分；22题12分，共52分）
17．（8分）某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏以超出进价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．
18．（8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．

19．（8分）我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．

（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
20．（8分）已知：一次函数y＝3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y＝3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE．
（1）求证：四边形ODEC为菱形；
（2）连接OE，若BC＝2，求OE的长．

22．（12分）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）猜想线段DP与PE的位置关系，并证明你的结论；
（3）把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变（如图②），若∠ABC＝60°，求∠DPE度数．（直接写出答案即可）



2021-2022学年辽宁省阜新市新邱区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．（3分）方程x（x﹣1）＝2的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝2
【分析】观察方程的特点：应用因式分解法解这个一元二次方程．
【解答】解：整理得：x2﹣x﹣2＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0，
即x1＝﹣1，x2＝2
故选：D．
2．（3分）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5＝0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．
【解答】解：分类讨论：
①当a﹣5＝0即a＝5时，方程变为﹣4x﹣1＝0，此时方程一定有实数根；
②当a﹣5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根
∴16+4（a﹣5）≥0，
∴a≥1．
∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
综上，a≥1．
故选：A．
3．（3分）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选：A．
4．（3分）从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（　　）
A．150° B．135° C．120° D．100°
【分析】根据AE⊥BC，且E为BC的中点可以求证△ABC为等腰三角形，即AB＝AC，根据AB＝BC，即可求证△ABC为等边三角形，则∠B＝60°，即可计算菱形的内角中钝角的度数．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点，
则△ABC为等腰三角形
即AB＝AC，即AB＝AC＝BC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．

5．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE＝15°，∠BAC＝45°，再求∠BFC．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
6．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（　　）

A．78° B．75° C．60° D．45°
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：B．

7．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（　　）

A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【解答】解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴，，
则，
∴x＝5，
，
∴y＝1.5，
∴x﹣y＝3.5，
减少了3.5米．
故选：D．

8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，
没有符合条件的选项，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
9．（3分）如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．6
【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFG∽△BCG，根据相似比可求得CG的长，从而不难求得CF的长．
【解答】解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点
∴EF＝BC，EF∥BC
∴△EFG∽△BCG，且相似比为1：2
∴CG＝2FG＝4
∴CF＝FG+CG＝2+4＝6．
故选：D．
10．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．2 B．2 C．3 D．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，BE与AC的交点为P，此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故选：A．

二、填空题（每小题3分，共18分.）
11．（3分）已知函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为　1　．
【分析】根据反比例函数的定义知m2﹣2＝﹣1，且m+1≠0，据此可以求得m的值．
【解答】解：∵y＝（m+1）xm2﹣2是反比例函数，
∴m2﹣2＝﹣1，且m+1≠0，
∴m＝±1，且m≠﹣1，
∴m＝1；
故答案是：1．
12．（3分）在﹣1，﹣2，3这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝的图象在第二、四象限的概率是　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝的图象在第二、四象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝的图象在第二、四象限的有2种情况，
∴任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝的图象在第二、四象限的概率是：＝．
故答案为：．
13．（3分）若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的值为　1　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，将其代入2m2﹣8m+1中即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，
∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是　48　cm．

【分析】利用FE垂直平分AC可得到AE＝CE，那么△CDE的周长就可以表示为AD+CD，也就求出了矩形的周长．
【解答】解：∵OA＝OC，EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE＝24，∴矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD）＝48cm．
15．（3分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1：2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为　（2，）或（﹣2，）　．

【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．本题中k＝2或﹣2．
【解答】解：∵两个图形的位似比是1：（﹣）或1：，AC的中点是（4，3），
∴对应点是（2，）或（﹣2，）．
16．（3分）正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点B2021的坐标是　（22021﹣1，22020）　．（答案不需要化简）

【分析】根据直线y＝x+1可求与x轴、y轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，得出点B1的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进而确定B2的横坐标，依此类推，可得出B2021的横坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点A1的坐标为（0，1）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为（1，1），点C1的坐标为（1，0）．
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点A1的坐标为（1，2）．
∵A2B2C2C1为正方形，
∴点B2的坐标为（3，2），点C2的坐标为（3，0）．
同理，可知：点B3的坐标为（7，4），点B4的坐标为（15，8），点B5的坐标为（31，16），…，
∴点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数），
∴点B2021的坐标为（22021﹣1，22020）．
故答案为：（22021﹣1，22020）．
三、解答题：（17----21每题8分；22题12分，共52分）
17．（8分）某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏以超出进价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．
【分析】根据题目的问题，设每盏灯的进价为x元，400元可以买灯个，实际卖出的是（）个；单价每盏灯（x+4）元，卖出金额（）•（x+4）元；用所得的钱又采购了一批这种节能灯（）个，需要的金额（+9）•x元，根据题意，列方程．
【解答】解：设每盏灯的进价为x元．
依题意，列方程：（）•（x+4）＝（+9）•x．
解方程得：x1＝10，x2＝（舍去）．
经检验，x＝10符合题意．
答：每盏灯的进价为10元．
18．（8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．

【分析】（1）根据网格结构，找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；
（2）延长BA到A2，使AA2＝AB，延长BC到C2，使CC2＝BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出C2点的坐标，利用△A2BC2所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，﹣2）；

（2）如图，△A2BC2即为所求，C2（1，0），
△A2BC2的面积：
6×4﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4
＝24﹣6﹣4﹣4
＝24﹣14
＝10．

19．（8分）我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．

（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；
（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
【分析】（1）根据C类有12人，占24%，据此即可求得总人数，然后利用总人数乘以对应的比例即可求得E类的人数；
（2）利用列举法即可求解．
【解答】解：（1）该班总人数是：12÷24%＝50（人），
则E类人数是：50×10%＝5（人），
A类人数为：50﹣（7+12+9+5）＝17（人）．
补全频数分布直方图如下：
；
（2）画树状图如下：
，
或列表如下：

共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种，
则概率是：＝．
20．（8分）已知：一次函数y＝3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y＝3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标．
【分析】（1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）平移后的图象对应的解析式为y＝3x+2，联立两函数解析式，进而求得交点坐标．
【解答】解：（1）把x＝1代入y＝3x﹣2，得y＝1，
设反比例函数的解析式为y＝，
把x＝1，y＝1代入得，k＝1，
∴该反比例函数的解析式为y＝；

（2）平移后的图象对应的解析式为y＝3x+2，
解方程组，得 或．
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（，3）和（﹣1，﹣1）．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE．
（1）求证：四边形ODEC为菱形；
（2）连接OE，若BC＝2，求OE的长．

【分析】（1）利用矩形性质可得OD＝OC，再借助对称性可得OD＝DE＝EC＝CO，从而证明了四边形ODEC为菱形；
（2）证明四边形OBCE为平行四边形，即可得到OE＝BC＝．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC．
∵点O关于直线CD的对称点为E，
∴OD＝ED，OC＝EC．
∴OD＝DE＝EC＝CO．
∴四边形ODEC为菱形
（2）由（1）知四边形ODEC为菱形，连接OE．
∴CE∥OD且CE＝OD．
∴CE∥BO且CE＝BO．
∴四边形OBCE为平行四边形．
∴．
22．（12分）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）猜想线段DP与PE的位置关系，并证明你的结论；
（3）把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变（如图②），若∠ABC＝60°，求∠DPE度数．（直接写出答案即可）


【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，对角线平分一组对角可得∠BCP＝∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP＝∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP＝∠E，然后求出∠DPE＝∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE＝∠ABC，从而得证；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）证明：DP⊥PE
由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP＝∠CDP，
∵PE＝PB，
∴∠CBP＝∠E，
∴∠DPE＝∠DCE，
∵∠1＝∠2（对顶角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP＝180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DPE＝∠ABC；
∴DP⊥PE

（3）与（2）同理可得：∠DPE＝∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DPE＝60°．