浙江省丽水市发展共同体2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2020年5月高一期中考试数学学科试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题纸上；

2.每小题选出答案后，用铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑.

第Ⅰ卷选择题部分（共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

利用两角差的正弦公式即可求解.

【详解】.

故选：B

【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.

2.若，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质结合特殊值法对A、B二个选项进行判断，利用作差比较法对选项C、D进行判断.

【详解】A：根据不等式的性质可知当，时，能得到.例如当，，显然，成立，但是不成立，故本选项说法不正确；

B：当时，显然不成立，故本选项说法不正确；

C：，故本选项说法不正确；

D：

，故本选项说法是正确的.

故选：D

【点睛】本题考查了不等式的性质应用，考查了作差比较法的应用，考查了数学运算能力.

3.已知集合，，则=（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出集合、，再根据集合的交运算即可求解.

【详解】，

，

所以.

故选：B

【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法、对数型不等式解法，属于基础题.

4.已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=

A.  B. 7 C. 6 D.

【答案】A

【解析】

试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝

故答案为

考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．

5.将函数的图象向左平移个单位长度，则所得函数（    ）

A. 是奇函数 B. 其图象以为一条对称轴

C. 其图象以为一个对称中心 D. 在区间上为单调递减函数

【答案】D

【解析】

分析】

利用三角函数的平移变换原则求出平移后的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断即可.

【详解】函数的图象向左平移个单位长度，

可得，

对于A，，所以函数为偶函数，故A不正确；

对于B，当时，，故B不正确；

对于C，当时，，故C不正确；

对于D，，

由，

解，

即的单调递减区间为，

又，

在区间上为单调递减函数，故D正确；

故选：D

【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、余弦函数的性质，掌握三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.

6.已知、为锐角，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求出，然后利用两角和的正切公式可求得的值.

【详解】为锐角，则，所以，，

.

故选：C.

【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.

7.某船开始看见灯塔时，灯塔在船南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在船正西方向，则这时船与灯塔的距离是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

如图所示，设灯塔位于处，船开始的位置为，船行后处于，根据题意求出与的大小，在三角形中，利用正弦定理算出的长，可得该时刻船与灯塔的距离．

【详解】设灯塔位于处，船开始的位置为，船行后处于，如图所示，

可得，，

，

在三角形中，利用正弦定理可得：

，

可得

故选

【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．

8.设等差数列的前n项和为，满足，，则（    ）

A.  B. 的最大值为

C.  D. 满足的最大自然数n的值为23

【答案】C

【解析】

【分析】

利用等差数列的前项和公式可得，结合即可得出结果.

【详解】设等差数列的公差为

由，

可得，

整理可得，由

所，即，故A错误；

根据，则数列为递减数列，，即，

则前项或前项的和最大，故B错误；C正确；

所以，即，解得，

满足的最大自然数n的值为22，故D错误；

故选：C

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、数列的单调性，属于基础题.

9.在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且.则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

通过利用向量三角形法则,以及向量共线,由,,,求解,结合条件,即可求得答案.

【详解】,,,

可得:

由

故选:A.

【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

10.在递减等差数列 中，．若，则数列的前项和的最大值为 (   )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

设公差为 ，所以由，，得 （正舍），即 ，

因为 ，所以数列的前项和等于 ，选D.

点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.

11.已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将两边同时平方，将模的平方转化为向量的平方，通过不等式恒成立可求，

再将平方，还是将模的平方转化为向量的平方，把代入，可将问题转化为关于的二次函数最值问题.

【详解】∵已知向量与单位向量所成的角为，

∴，，

又∵对任意的，恒有，

∴

即

∴，对任意的恒成立，

∴

即

∴，

且

，

即，

，

∴的最小值为，

故选：C.

【点睛】本题考查数量积的定义运算和数量积的性质运算，关键要通过将模的平方转化为向量的平方，把不等式恒成立问题转化求二次函数的最值问题，考查运算求解能力和转化与化归思想，是中档题.

12.已知数列满足，，则下列说法错误的是（    ）

A. 当时， B. 当时，

C. 当时， D. 当时，

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据题意，分别令和，求出的值，比较可得答案.

【详解】因为，，

所以当时，，，满足，

当时，，不满足；

故选：D.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有比较项之间的大小，在解题的过程中，注意小题小做思想的应用，注意特值法的应用.

第Ⅱ卷非选择题部分（共90分）

注意事项：

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上；

2.作图时，可先使用铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题（本题共7小题，13-16每小题6分，17-19每小题4分，共36分）

13.已知点是角终边上的一点，则=______，=_______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据三角函数值定义和齐次式计算得到答案.

【详解】根据题意知：，.

故答案为：-2；4.

【点睛】本题考查了三角函数值定义，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14.已知向量，，且满足，则实数=______，向量在方向上的投影为________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据得到，在方向上的投影为，计算得到答案.

【详解】，则，故.

，向量在方向上的投影为.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量的投影，意在考查学生的计算能力和应用能力.

15.已知角满足，则=________，=_________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

，计算得到，平方得到答案.

【详解】，故，

，故.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.

16.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，点为边上一点，且，则的面积为______.

【答案】    (1).     (2). 10

【解析】

【分析】

由已知结合正弦定理可求，然后结合二倍角关系可求，结合三角形的面积公式及等高三角形的面积比可转化为底的比可求．

【详解】解：因为，，，

由正弦定理可得：，

所以，

则；，

，

由余弦定理可得：，

解可得（舍或，

所以，

．

故答案为：，10．

【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用．

17.已知数列的前项和，则_______

【答案】

【解析】

【分析】

根据与的关系可求出，再利用等比数列的前项和公式即可求出．

【详解】当时，；

当时，，

当时，也符合上式．所以，

即有，故数列也为等比数列．

．

故答案为．

【点睛】本题主要考查与的关系 应用以及等比数列的前项和公式的应用．

18.已知向量，满足，，则的最大值为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

平方展开等式得到，再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】，故；，故.

故，，当时等号成立.

故答案为：.

【点睛】本题考查了向量的模，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19.已知实数满足，则的取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

变换，利用均值不等式得到，计算得到答案.

【详解】，

故，当时等号成立.

故且，

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了均值不等式求最值，变换是解题的关键.

三、解答题（本题共4小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）若角，，求的值.

【答案】（1）最小正周期：，单调递增区间为：；（2）

【解析】

【分析】

（1）化简得到，计算，取，解得答案.

（2）计算，，变换，计算得到答案.

【详解】（1），

∴，

令，则，

∴单调递增区间为：.

（2）由题得，，，，

又故，∴，

∴.

【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调区间，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和对于三角函数知识的灵活运用.

21.已知中的内角所对的边分别为满足，的面积.

（1）若，求面积；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

【答案】（1）1（2）

【解析】

【分析】

（1）根据面积公式的余弦定理得到，故，再计算得到面积.

（2）根据正弦定理得到，化简，根据角的范围得到答案.

【详解】（1）由题得，故，即，

，∴，∴，

∴，∴.

（2）由正弦定理，得，

∴

=，

由锐角三角形得，∴.

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

22.已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为，设正实数满足，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）讨论，，三种情况，计算得到答案.

（2），解得，，利用均值不等式解得答案.

【详解】（1）当时，，∴，

则，或，或，

得或或，，

所以所求不等式的解集为.

（2），

当时，

，

时等号成立；

当时，

，

时等号成立.

故，，

，，

，

当，即，时等号成立，

所以所求最小值为：.

【点睛】本题考查了讨论法解绝对值不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

23.设数列的前n项和为，满足，.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）是否存在一个奇数，使得数列中的项都在数列中？若存在，找出符合条件的一个奇数；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

【分析】

（1）利用 将原递推公式进行化简，可得，进而可得，两式相减可得，再根据等差数列的定义可得数列和分别是以为首项，为公差的等差数列，由此即可求出结果；

（2）当时，由可得，，所以数列和分别是以为首项，为公差的等差数列，和，记，当为奇数时，为奇数，而为偶数；所以不是数列中的项，只可能是中的项；若是数列中的项，由，得，取，得，此时，由得，即可求出结果.

【详解】（1）当时，由已知得

于是

由得：

于是

由得：

由，，可得，，又

所以数列和分别是以为首项，为公差的等差数列

，即时，

，即时，

∴

（2）当时，由可得，

所以数列和分别是以为首项，为公差等差数列

由题设知，记，当为奇数时，为奇数，而为偶数

不是数列中的项，只可能是中的项

若是数列中的项，由，得

取，得，此时

由得，即

故是数列中的第项

【点精】本题主要考查了等差数列和等比数列的定义和性质，同时也考查了数列递推公式的应用，本题属于中档题.