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江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学(理)(A)试题 Word版含解析
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一.选择题(本大题共12个小题.)
1.命题“”的否定为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由特称命题的否定可知,命题“”的否定为“”.选C.
2.设(是虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
复数的代数表示法及其几何意义.
【详解】由,得在第二象限
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了计算能力,属于基础题.
3.已知椭圆的离心率为,且椭圆的长轴长与焦距之和为6,则椭圆的标准方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的离心率为,椭圆的长轴长与焦距之和为6,结合性质 ,列出关于 、 、的方程组,求出 、,即可得结果.
【详解】依题意椭圆:的离心率为得,
椭圆的长轴长与焦距之和为6,,
解得,,则,
所以椭圆的标准方程为:,故选D.
【点睛】本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法,属于简单题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程或;③找关系:根据已知条件,建立关于、、的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
4.“”是此方程,表示椭圆的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方程表示椭圆的充要条件解得或,再结合必要不充分条件的概念可得答案.
【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是即或,
而“”是“或”的必要不充分条件,
所以“”是此方程,表示椭圆的必要不充分条件.
故选:B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念,考查了椭圆的标准方程的结构特征,这里容易漏掉分母不能相等,属于基础题.
5.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式等式具有“穿墙术”:,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过观察四个等式,发现存在相同性质,从而得出即可.
【详解】因为,,
,,
所以,即.
故选:C.
【点睛】归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
6.给出定义:若函数在D上可导,即存在,且导函数在D上也可导,则称在D上存在二阶导函数,记,若在D上恒成立,则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对A,B,C,D四个选项逐个进行二次求导,判断其在上的符号即可得选项.
【详解】若,则,
在上,恒有;
若,则,在上,恒有;
若,则,在上,恒有;
若,则.
在上,恒有,故选D.
【点睛】本题主要考查函数的求导公式,充分理解凸函数的概念是解题的关键,属基础题.
7.若,则函数的图象在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由微积分基本定理求得值,再根据导函数求切线方程.
【详解】,,,,
则切线方程为,即.
【点睛】本题考查微积分基本定理和由导函数求切线方程,属于基础题.
8.设,分别为定义在上的奇函数和偶函数,且(为自然对数的底数),则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性可求出,再利用导函数求出函数的极值点,和函数的图象的趋势,即可求出结果.
【详解】因为,所以,
即,所以.
因为,当时,,所以C,D错误.
又,所以为极值点,即B错误.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和导函数在函数图象上的应用,属于基础题.
9.已知,,,点在直线上运动,则当取得最小值时,点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
设,根据可得,再利用空间向量的数量积可得,根据二次函数知识可得当时,取得最小值,
【详解】设,则,
因为点在直线上运动,所以,
所以,即,,所以,
所以
所以当时,取得最小值,此时点的坐标为.
故选:B
【点睛】本题考查了空间向量共线问题,考查了空间向量数量积的坐标运算,考查了二次函数的最值问题,考查了运算求解能力,属于基础题.
10.设点为抛物线的焦点,,,三点在抛物线上,且四边形为平行四边形,若对角线(点在第一象限),则对角线所在的直线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线定义和性质,可得点的坐标为,线段的中点的坐标为,再根据点差法可得,再根据点斜式即可求出结果.
【详解】如图所示,
设点的坐标为,则,
所以,点的坐标为.
所以线段的中点的坐标为.
设,.有,,且.
所以,所以,所以.
对角线所在的直线方程为,即.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、性质,以及点差法的应用,属于中档题.
11.已知定义在上的函数的导函数为,对任意,有,且.设,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据可构造函数,再利用单调性判断函数值的大小即可.
【详解】构造函数,则,又,
故.在上单调递减.
又,故为奇函数,故为偶函数.
又.
又偶函数在上单调递减.故.
故.
故选:D
【点睛】本题主要考查了构造函数判断函数值的大小问题,需要根据题意构造合适的函数,并分析单调性与奇偶性,从而求得函数值大小的关系等.属于中等题型.
12.已知椭圆+=1()的左、右焦点分别为F1(,0),F2(,0),若椭圆上存在点P,使,则该椭圆离心率的取值范围为
A (0,) B. (,1)
C. (0,) D. (,1)
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】由已知及正弦定理知,即.
即,又,∴,
即,解得,选.
考点:双曲线的几何性质,正弦定理,双曲线的第二定义.
二. 填空题(本大题共4小题,请把答案填在题中横线上)
13.设复数满足,则__________.
【答案】
【解析】
分析:由题意先求出复数,然后再求.
详解:∵,
∴,
∴.
点睛:对于复数的运算一是要注意运算的顺序,另外要注意在运算中的应用,即遇到时要写成.求复数的模时,首项将复数化为代数形式后再根据公式求解.
14.在直线,,,围成的区域内撒一粒豆子,则落入,,围成的区域内的概率为__________.
【答案】
【解析】
由题意,直线所围成的区域为一个长为,高为的矩形,所以其的面积为,
又由,解得,
所以由所围成的区域的面积为
,
所以概率为.
15.设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记=λ.当∠APC为钝角时,λ的取值范围是________.
【答案】(,1)
【解析】
本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角,一元二次不等式的解法,意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力.
以、、为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),则=(1,1,-1),得=λ=(λ,λ,-λ),所以=+=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),=+=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1),显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于·<0,即-λ(1-λ)-λ(1-λ)+(λ-1)2<0,即(λ-1)(3λ-1)<0,解得<λ<1,因此λ的取值范围是(,1).
16.用符号表示不超过的最大整数,例如:;;.设函数有三个零点,,且,则的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知,得;令,可知单调递增区间为,单调递减为,作出的草图,由图可知,,所以,,而,所以,即,可得,由此即可求出结果.
【详解】因为
,,
所以①或②.
由①得,由②得.
令,则,所以.
当时,,单调递增,
时,,单调递减.
事实上,当时,,当时,.
由图显然,,所以,,
而,所以,即.
所以,即解得.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了导函数在函数零点中的应用,属于难题.
三.解答题(本大题共6小题,共70分,17题满分10分,其余满分12分)
17.设实数x满足,其中,命题实数x满足.
(1)若,且为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)为真, 均为真命题,分别计算范围得到答案.
(2)p是q的必要不充分条件,根据表示范围关系解得答案.
【详解】解:实数x满足,其中,解得
命题实数x满足,解得,即.
(1)时,
为真,可得p与q都为真命题,
则
解得.所以实数x的取值范围是
(2)p是q的必要不充分条件,,
解得.
实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了命题与充分必要条件,属于简单题型.
18.观察下面四个等式:
第1个:,
第2个:,
第3个:
第4个:
(1)按照以上各式的规律,猜想第n个等式();
(2)用数学归纳法证明你的猜想成立.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)由已知等式,观察等式的左边和右边,可得猜想 ,;
(2)运用数学归纳法证明,先检验成立,假设时,猜想成立,再证,注意运用假设,以及因式分解,可得证明.
【详解】(1)猜想第n个等式为:,.
(2)证明:
(1)当,左边右边,等式成立;
(2)假设当时,等式成立,即,
那么当时
所以,当时,等式成立.
由(1)和(2)可知等式对于任何都成立.
【点睛】本题考查归纳猜想,以及数学归纳法的证明,考查推理能力和运算能力,属于基础题.
19.已知四棱锥,底面为菱形, ,H为上的点,过的平面分别交于点,且平面.
(1)证明: ;
(2)当为的中点, ,与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
【分析】
(1)连结交于点,连结.由题意可证得平面,则.由线面平行的性质定理可得,据此即可证得题中的结论;
(2)结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量,然后求解二面角的余弦值即可.
【详解】(1)证明:连结交于点,连结.因为为菱形,所以,且为、的中点,因为,所以,
因为且平面,所以平面,
因为平面,所以.
因为平面, 平面,且平面平面,
所以,所以.
(2)由(1)知且,因为,且为的中点,
所以,所以平面,所以与平面所成的角为,
所以,所以,因为,所以.
分别以, , 为轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,则
,
所以.
记平面的法向量为,则,
令,则,所以,
记平面的法向量为,则,
令,则,所以,
记二面角的大小为,则.
所以二面角的余弦值为 .
【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理,利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知函数在与时都取得极值.
(1)求的值与函数的单调区间;
(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围.
【答案】解:(1),递增区间是(﹣∞,)和(1,+∞),递减区间是(,1).(2)
【解析】
【分析】
(1)求出f(x),由题意得f()=0且f(1)=0联立解得与b的值,然后把、b的值代入求得f(x)及f(x),讨论导函数的正负得到函数的增减区间;
(2)根据(1)函数的单调性,由于x∈[﹣1,2]恒成立求出函数的最大值为f(2),代入求出最大值,然后令f(2)<c2列出不等式,求出c的范围即可.
【详解】(1),f(x)=3x2+2ax+b
由解得,
f(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),函数f(x)的单调区间如下表:
x | (﹣∞,) |
| (,1) | 1 | (1,+∞) |
f(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 极大值 | 极小值 |
所以函数f(x)的递增区间是(﹣∞,)和(1,+∞),递减区间是(,1).
(2)因为,根据(1)函数f(x)的单调性,
得f(x)在(﹣1,)上递增,在(,1)上递减,在(1,2)上递增,
所以当x时,f(x)为极大值,而f(2)=,所以f(2)=2+c为最大值.
要使f(x)<对x∈[﹣1,2]恒成立,须且只需>f(2)=2+c.
解得c<﹣1或c>2.
【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,属于中档题.
21.已知椭圆:过点,且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点为的直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为(点与点不重合),证明:直线恒过定点,并求该定点的坐标.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
(1) 由题意知,解出即可;(2)设,,则,联立直线和椭圆,得到韦达定理,直线的方程为:,令y=0即可得到定点坐标.
【详解】(1)由题意知,,解得,
则椭圆的方程是.
(2)设,,则,由已知得直线的斜率存在,设斜率为,
则直线的方程为:,
由,得,
所以,,
直线的方程为:,
所以,
令,则 ,
所以直线与轴交于定点.
【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点,一般难度较大,计算较复杂,考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.解题时,要将问题合理的进行转化,转化成易于计算的方向.
22.已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若在区间上有两个极值点.
()求实数的取值范围;
()求证:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i);(ii)详见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求出,列表讨论的单调性,问题得解.
(Ⅱ)(i)由在区间上有两个极值点转化成有两个零点,即有两个零点,求出,讨论的单调性,问题得解.
(ii)由得,将转化成,由得单调性可得,讨论在的单调性即可得证.
【详解】解:(Ⅰ)当时,,,令,得.
的单调性如下表:
|
|
|
|
| - | 0 | + |
| 单调递减 |
| 单调递增 |
易知.
(Ⅱ)(i)令,则.
令,得.
的单调性如下表:
|
|
|
|
| - | 0 | + |
| 单调递减 |
| 单调递增 |
在区间上有两个极值点,即在区间上有两个零点,
结合的单调性可知,且,即且.
所以,即的取值范围是.
(ii)由(i)知,所以
又,,,结合的单调性可知,.
令,则.当时,,,,
所以在上单调递增,而,,
因此.
【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系,考查了分类思想及转化思想,考查了极值与导数的关系,还考查了利用导数证明不等式,考查计算能力及转化能力,属于难题.
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