四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2020年春四川省宜宾市第四中学高一期中考试

数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

用诱导公式，将所求角的余弦值转化为之间的角的余弦值，根据特殊角的三角函数值得出正确选项.

【详解】依题意，故选C.

【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

2.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据余弦的和角公式，逆用得到三角函数值，应用诱导公式即可求解．

【详解】由余弦的和角公式可得

所以选C

【点睛】本题考查了余弦函数的和角公式逆应用，应用诱导公式求三角函数值，属于基础题．

3.若，，，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

结合不等式的性质，利用特殊值法确定.

【详解】当排除A，B

当排除C

故选：D

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，特殊值法，还考查了特殊与一般的思想，属于基础题.

4.已知点A（1，2），B（3，7），向量，则

A. ，且与方向相同 B. ，且与方向相同

C. ，且与方向相反 D. ，且与方向相反

【答案】D

【解析】

分析：求出向量，利用向量共线的性质列方程求出，然后判断两个向量的方向即可得结果.

详解：因为，

所以，

，

可得，解得，

与方向相反，故选D.

点睛：本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.

5.在等比数列中，，则=（    ）

A. 8 B. 10 C. 14 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】

设出等比数列的公比后,利用等比数列的通项公式运算可得.

【详解】设等比数列的公比为,由,可得,

可得,

可得,

所以,

所以.

故选.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及运算求解能力.属于基础题.

6.已知cosα，且α为第二象限角，则sin2α的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式求得的值．

【详解】解：∵，且为第二象限角，∴，

则，

故选B．

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．

7.己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（    ）

A. 公差不为0的等差数列 B. 公比不为1的等比数列

C. 常数数列 D. 以上都不对

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据判别式法求出的取值范围,进而求得和的关系,再展开算出分析即可.

【详解】设,则,

因为,故,故二次函数,整理得

,故与为方程的两根,所以为常数.

故选C.

【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.

8.函数具有性质（ ）

A. 最大值为，图象关于直线对称

B. 最大值为，图象关于直线对称

C. 最大值为，图象关于对称

D. 最大值为，图象关于对称

【答案】C

【解析】

【分析】

利用诱导公式和辅助角公式对函数解析式化简整理后,可得函数的最小值，利用三角函数的对称性求得函数的对称点.

【详解】
所以函数的最大值为,排除B,D
令求得,函数关于对称.
所以C选项是正确的

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本性质,对称性和最值性.解题的关键是对函数解析式的化简整理.进而利用好三角函数的基本性质.

9.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用辅助角公式将函数的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点对称，可得出的表达式，结合的范围可求出的值.

【详解】,

将函数的图象向左平移个单位后，

所得图象函数解析式为，

由于函数的图象关于点对称，则，

得，，，.

故选：B.

【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

10.已知中，，则的形状为（    ）

A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形

C. 等腰三角形或直角三角形 D. 无法确定.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据两角和差的正弦公式和二倍角公式可得，然后再分和两种情况讨论，即可得到结果.

【详解】因为，由两角和差的正弦公式可得，所以，

若，即时，此时是直角三角形；

若，即，所以，所以是等腰三角形；

综上，是等腰三角形或直角三角形；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了两角和差的正弦公式和二倍角公式的应用，以及三角形形状的判断，属于基础题.

11.如图：D， C，B三点在地面同一直线上，DC＝，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于(      )

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

试题分析：在中，由正弦定理得，在中，，选A.

考点： 正弦定理的应用.

12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（   ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】D

【解析】

求函数的零点个数只需考查方程的实根个数，

当时， ，在上递减，在上递增，，值域为.

当时，

当时，函数的值域为，

当时，函数的值域为，

当时，函数的值域为，

在上有个实根，又函数为偶函数， 在上有10个实根，函数的零点个数为10个，选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，且，的夹角为，则在方向上的投影为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．

【详解】解：向量与的夹角为，且，，

，

向量在方向上的投影为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了平面向量数量积定义与投影的计算问题，属于基础题．

14.三角形中，，，边的长为，则边的长为________.

【答案】4

【解析】

【分析】

利用三角形内角和定理先求的值，再根据正弦定理求得

【详解】，，

，

又，由正弦定理：，可得：

故答案为4

【点睛】本题考查三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题

15.已知各项都为正数的数列，对任意的，恒成立，且，则__________．

【答案】21

【解析】

因为，所以，数列为等比数列，由，得 ，.

点睛：1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

16.关于函数，有以下四个命题：①函数在区间上是单调增函数；②函数的图象关于直线对称；③函数的定义域为；④函数的值域为.其中所有正确命题的序号是________.

【答案】①②④

【解析】

【分析】

利用函数的单调性判断①的正误；利用函数的对称性判断②的正误；求出函数的定义域判断③的正误；由函数的值域判断④的正误.

【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以①正确；

函数，函数的图象关于直线对称，所以②正确；

函数的定义域是，所以③不正确；

函数，函数的值域是实数集，所以④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查对数型函数的定义域、值域与最值和单调区间，考查对基础知识、基本技能的理解和掌握，属于常考题.

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设，，，.

（1）若且，求x、y的值；

（2）若成立，是否存在唯一的x、y满足上述条件？若存在，写出x、y的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1），；（2）不存在，与k有关

【解析】

【分析】

(1)当时，写出，，，结合，利用待定系数法即可求解；

(2)将表示为坐标形式，建立方程组，得到，根据的取值，即可判断.

【详解】(1)当时，，，

因为，所以

则，解得：，

(2)因为

所以

则 ，得到

当时，等式不成立

所以

因为，所以的值不唯一，即，的值不唯一

即不存在唯一的x、y，使成立.

【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，考查学生的计算能力以及分析和解决问题的能力，运算时，要细心，属于中档题.

18.记为等差数列的前n项和，已知．

（1）求通项公式；

（2）求，并求的最小值.

【答案】（1）；（2），最小值.

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列求和公式可得d，再利用通项公式即可得出．

（2）利用求和公式、二次函数的性质即可得出．

【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1=9，S5=25．

∴9×5+×d=25，解得d=2．

∴an=-9+2（n-1）=2n-11．

（2）由（1）可得：Sn==n210n=（n5）2-25，

可得n=5时，Sn取得最小值25．

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19.已知函数，将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）1，.

【解析】

【分析】

（1）根据函数图像平移伸缩变换，即可求得函数的解析式；

（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质，即可求得函数在上的的最大值和最小值.

【详解】（1）函数，将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移个单位，再向上平移2个单位，

可得，

化简得

（2）∵，可得，

∴.

当时，函数有最大值1；

当时，函数有最小值

【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换及应用，正弦函数图像与性质的应用，属于基础题.

20.已知数列的前项和，数列是正项等比数列，且，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）记，是否存在正整数，使得对一切，都有成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1），；M的最小值为2.

【解析】

【分析】

（1）当时，，当时，利用得到的通项公式，把代入也满足，得到即可；因为数列是各项为正的等比数列，根据题意即可利用等比数列的通项公式得到的通项；（2）把和的通项公式代入到中，可确定最大，即可得到结论．

【详解】（1）∵数列的前项和，

∴时，，

当时，，满足上式，

∴数列的通项公式为，

∵数列正项等比数列，，．

∴，，.

∴数列的通项公式为

（2）∵，∴，

由，可得，当时， ，

∴最大，最大值为，

故存在正整数M，使得对一切，都有成立，M的最小值为2

【点睛】本题考查数列的通项公式，考查数列的单调性，考查存在性问题，属于中档题．

21.已知是公差为2的等差数列.数列满足，，且

(I)求数列和的通项公式；

(Ⅱ)设,数列的前项和为,证明:

【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意可知，时，求得，即可得到数列的通项公式，

又由，得，即数列是公比为的等比数列，即可求解数列的通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用裂项相消，即可求解数列的前项和，进而证得结论．

试题解析：

（Ⅰ）由题意可知，时，又公差为2，故.

从而有，故数列是公比为的等比数列

又，所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

故

.

22.已知函数，且函数是偶函数，设

(1)求的解析式；

(2)若不等式≥0在区间(1，e2]上恒成立，求实数的取值范围；

(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．

【答案】(1) ；(2) ；(3) .

【解析】

【分析】

（1）对称轴为，对称轴为，再根据图像平移关系求解；（2）分离参数，转化为求函数的最值；（3）令为整体，转化为二次函数根的分布问题求解.

【详解】(1) 函数的对称轴为，

因为向左平移1个单位得到，且是偶函数，

所以 ，

所以.

(2)

即

又 ，所以，则

因为，所以实数的取值范围是.

(3) 方程即

化简得

令，则

若方程有三个不同的实数根，

则方程必须有两个不相等的实数根 ，

且或，

令

当时，则，即 ，

当时， ，，，舍去，

综上，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查求函数解析式，函数不等式恒成立及函数零点问题. 函数不等式恒成立通常采用参数分离法；函数零点问题要结合函数与方程的关系求解.