甘肃省陇南市康县一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

这是一份甘肃省陇南市康县一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
康县一中2020-2021学年高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{2，6}，则A∪B等于（　　）
A．{2} B．{1，2，4，6} C．{1，2，4} D．{2，6}
2．（5分）设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4}
3．（5分）若f（x）＝2x，则f（﹣2）＝（　　）
A．4 B．2 C． D．
4．（5分）下列函数是偶函数的是（　　）
A．y＝2x2﹣3 B．y＝x3 C．y＝x2，x∈[0，1] D．y＝x
5．（5分）函数的定义域是（　　）
A．R B．{x|x≥0} C．{x|x＞0} D．{x|x≠0}
6．（5分）下列四组函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）函数f（x）＝2x+x的零点所在的区间为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
8．（5分）设a＝20.5，b＝0.52，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c
9．（5分）已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且f（2）＝4，则f（﹣1）＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．0.5 D．2
10．（5分）已知函数y＝f（x）是R上的减函数，若f（a）≥f（﹣2），则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a≥﹣2 C．a≥2 D．a≤﹣2
11．（5分）设函数f（x）＝，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
12．（5分）定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为（　　）
A．21 B．18 C．14 D．9
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象恒过点　 　．
14．（5分）函数的定义域是　 　．
15．（5分）如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）的值等于　 　．

16．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：
（1）f（x）＝
（2）f（x）＝x2
（3）f（x）＝
（4）f（x）＝，
能被称为“理想函数”的有　 　（填相应的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）计算：
（1）；
（2）（lg5）2+lg2×lg50．

18．（12分）设全集为实数集R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．
（1）求∁R（A∪B）及（∁RA）∩B；
（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．



19．（12分）已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）在右边所给的坐标第中画出该函数的图象；
（3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间（不要求证明）．

20．（12分）动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？







21．（14分）已知函数，（x∈R）．
（Ⅰ）求证：不论a为何实数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求f（x）在区间[1，5）上的最小值．






22．（10分）当，时，求函数的值域．

2020-2021学年甘肃省陇南市康县第一中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】直接利用集合的并集的运算法则求解即可．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{2，6}，
∴A∪B＝{1，2，4}∪{2，6}＝{1，2，4，6}，
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，常考题型．
2．【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是B中去掉A那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得出阴影部分为B∩∁UA，代入进行求解；
【解答】解：集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则图中阴影部分所表示，
为B∩∁UA，∵∁UA＝{4，5}
∴可得B∩∁UA＝{4}，
故选：A．
【点评】本题根据图形中阴影部分，让我们找出它所表示的集合，着重考查了Venn图表达集合的关系及运算，考查了数形结合的思想，属于基础题．
3．【分析】直接把﹣2代入函数解析式即可得到结论．
【解答】解：因为f（x）＝2x，
所以f（﹣2）＝2﹣2＝．
故选：D．
【点评】本题主要考察求函数的值．属于基础题目，计算时认真细致即可．
4．【分析】根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以﹣x代替x后，所得到的函数值不变，这个函数才是偶函数，检验各个选项中的函数是否满足这两个条件．
【解答】解：根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以﹣x代替x后，所得到的函数值不变，
这个函数才是偶函数．
经检验只有A中的函数满足条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查偶函数的定义以及判断方法，属于基础题．
5．【分析】转化函数的不等式为分式形式，分母被开方数大于0，求解即可得到函数的定义域．
【解答】解：函数＝，要使函数有意义，必须x＞0，
所以函数的定义域为：{x|x＞0}．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域的求法，转化思想的应用，考查计算能力．
6．【分析】表示同一个函数要从三方面来判断，一是定义域，二是对应法则，三是值域，B、C、D的定义域都不同，得到只有A所给的两个函数是同一函数．
【解答】解：A是同一函数，
B的定义域不同，f（x）定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，
C的定义域不同，g（x）定义域是R，f（x）的定义域是{x|x≠1}，
D的定义域不同，g（x）定义域是R，f（x）的定义域是{x|x≠0}，
故选：A．
【点评】本题考查同一函数的概念，从三个方面考查函数，这是函数的三要素，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现．
7．【分析】将选项中区间的两端点值分别代入f（x）中验证，若函数的两个值异号，由零点存在定理即可判断零点必在此区间．
【解答】解：当x＝0时，f（0）＝20+0＝1＞0，
当x＝﹣1时，f（﹣1）＝＜0，
由于f（0）•f（﹣1）＜0，且f（x）的图象在[﹣1，0]上连续，
根据零点存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零点，
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的零点及零点存在性定理，关键是将区间的端点值逐个代入函数的解析式中，看函数的两个值是否异号，若异号，则函数在此开区间内至少有一个零点．
8．【分析】b＝0.52＜1，a＞1，比较a与c时把c化为以2为底的指数式，然后根据指数函数的单调性即可比较．
【解答】解：∵b＝0.52＝0.2520＝1，，
∴b＜a＜c．
故选：D．
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值及不等关系与不等式，解答此题的关键往往是以0、1等特殊值为媒介，或是化为同底的指数式或对数式进行大小比较，是基础题．
9．【分析】令 x＝y＝0，求出f（0）的值，令x＝y＝1，据f（2）＝4，求出f（1），再由 0＝1+（﹣1），求f（﹣1）．
【解答】解：因为函数f（x）对任意x，y∈R都有 f（x+y）＝f（x）+f（y），
所以f（0+0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0
又f（1）+f（1）＝f（1+1）＝f（2）＝4∴f（1）＝2
∴f（﹣1）+f（1）＝f（﹣1+1）＝f（0）＝0
∴f（﹣1）＝﹣2；
故选：A．
【点评】依据函数特征，给自变量取特殊值，体现特殊值的解题思想．
10．【分析】利用函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可确定a的取值范围．
【解答】解：∵函数y＝f（x）是R上的减函数，f（a）≥f（﹣2），
∴a≤﹣2
∴a的取值范围是a≤﹣2
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性，考查解不等式，属于基础题．
11．【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．
【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1．
当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，
∴x≥1，
故答案为[0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．
12．【分析】根据新定义A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，把集合A与集合B中的元素分别代入再求和即可求出答案．
【解答】解：∵A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，
∴A*B＝{2，3，4，5}，
∴A*B中的所有元素之和为：2+3+4+5＝14，
故选：C．
【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【分析】根据指数函数的单调性和特殊点，函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，1）．
【解答】解：由指数函数的定义和性质可得，函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，1），
故答案为 （0，1）．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
14．【分析】根据对数及根式有意义的条件可得4x﹣3＞0，log5（4x﹣3）≥0，解不等式可得．
【解答】解：由已知，
根据对数及根式有意义的条件可得：
，
即
解得{x|x≥1}
∴函数的定义域是[1，+∞）
故答案为：[1，+∞）
【点评】本题是函数定义域最基本的考查，建立使函数有意义的不等式之后，关键是要准确解不等式，属于基础试题．
15．【分析】首先根据图形求出f（3）的值，由图形可知f（3）＝1，然后根据图形判断出f（1）的值．
【解答】解：∵f（3）＝1，
∴＝1，
∴f（）＝f（1）＝2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查函数的值的知识点和函数的图象与图象变化的知识点，解答本题的关键是熟练运用数形结合进行解题，本题难度不大．
16．【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可
【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，
（1）f（x）＝ 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
（2）f（x）＝x2 为定义域上的偶函数，排除（2）；
（3）f（x）＝＝1﹣，定义域为R，由于y＝2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；
（4）f（x）＝的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数
故答案为 （4）

【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法
三、解答题：本大题共6小题，共计74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质求解即可．
（2）利用对数的运算性质展开lg50，化为平方和公式，即可求解．
【解答】解：（1）＝＝．
（2）（lg5）2+lg2×lg50
＝（lg5）2+lg2×lg（25×2）
＝（lg5）2+lg2×（2lg5+lg2）
＝（lg5）2+2lg2×lg5+（lg2）2
＝（lg2+lg5）2
＝1
【点评】本题考查指数与对数的运算性质，考查计算能力．
18．【分析】（1）由全集为实数集R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，知A∪B＝{x|2＜x＜10}，∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}，由此能求出∁R（A∪B）及（∁RA）∩B．
（2）由A＝{x|3≤x＜7}，C＝{x|x＜a}，利用A∩C≠∅，能求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵全集为实数集R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
∴A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}
∴∁R（A∪B）＝{x|x≤2或x≥10}；
（∁RA）∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}；
（2）∵A＝{x|3≤x＜7}，C＝{x|x＜a}．A∩C≠∅，
∴a＞3．
【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
19．【分析】（1）根据绝对值的意义，分当x≥1时，当x＜1时两种情况求解，最后再写成分段函数的形式，
（2）每一段都是一次函数，图象是一条直线，在定义域内任取两点作图即可．
（3）根据图象，定义域即看横轴覆盖部分，值域即看纵轴覆盖部分，奇偶性，看是否关于原点对称或关于纵轴对称．单调增区间看上升趋势，单调减区间看下降趋势．
【解答】解：（1）
（2）
（3）定义域为R，值域为{y|y≥0}，图象即不关于原点对称也不关于y轴对称，所以f（x）是非奇非偶函数，
单调增区间[1，+∞），单调减区间（﹣∞，1）
【点评】本题主要考查绝对值函数转化为分段函数，研究其图象和性质．还考查了数形结合的思想与方法．
20．【分析】设熊猫居室的总面积为y平方米，x和（30﹣3x）就是养鸡场的长或宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
解法1：配方后得y＝﹣3（x﹣5）2+75，利用二次函数的性质求得y取得最大值；
解法2：将原函数式化成：，再结合基本不等式求出y取得最大值．
【解答】解：设熊猫居室的总面积为y平方米，由题意得：y＝x（30﹣3x）（0＜x＜10）．…（6分）
解法1：y＝﹣3（x﹣5）2+75，因为5∈（0，10），而当x＝5时，y取得最大值75． （10分）
所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …（12分）
解法2：＝75，
当且仅当3x＝30﹣3x，即x＝5时，y取得最大值75． …（10分）
所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …（12分）
【点评】点评：考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
21．【分析】（I）根据函数的单调性的定义进行判定，任取x1＜x2，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得到结论；
（II）根据奇函数的定义建立等式关系，解之即可求出a的值；
（III）根据函数在R上单调递增，求出函数f（x）在区间[1，5）上的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R，任取x1＜x2，
则＝．
∵x1＜x2，
∴．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在x∈R上为奇函数，
∴f（0）＝0，即．
解得 ．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
由（Ⅰ） 知，f（x）为增函数，
∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为f（1）．
∵，
∴f（x）在区间[1，5）上的最小值为．（12分）
【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的最值，属于中档题．
22．【分析】由条件可得log2x≥2，令t＝log2x≥2，则函数y＝（t﹣3）（t﹣1）在[2，+∞）上是增函数，再利用函数的单调性求出函数的值域．
【解答】解：由可得 ≥1，故有x≥4，log2x≥2．
函数＝（log2x﹣3）（log2x﹣1）．
令t＝log2x≥2，则函数y＝（t﹣3）（t﹣1）在[2，+∞）上是增函数，
故当t＝2时，函数y＝（t﹣3）（t﹣1）取得最小值为﹣1，
故函数的值域为[﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质的应用，属于中档题．
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