课时训练02 整式及因式分解

课时训练(二)　整式及因式分解

(限时:30分钟)

|夯实基础|

1.[2018·成都] 下列计算正确的是 (　　)

A.x2+x2=x4         B.(x-y)2=x2-y2

C.(x2y)3=x6y         D.(-x)2·x3=x5

2.[2018·荆州] 下列代数式中,整式为 (　　)

A.x+1             B.

C.         D.

3.[2018·包头] 如果2xa+1y与x2yb-1是同类项,那么的值是 (　　)

A.          B.          C.1            D.3

4.[2018·济宁] 多项式4a-a3分解因式的结果是 (　　)

A.a(4-a2)                  B.a(2-a)(2+a)

C.a(a-2)(a+2)              D.a(2-a)2

5.[2018·柳州] 苹果原价是每斤a元,现在按8折出售,假如现在要买一斤,那么需要付费 (　　)

A.0.8a元                  B.0.2a元

C.1.8a元                  D.(a+0.8)元

6.[2018·威海] 已知5x=3,5y=2,则52x-3y= (　　)

A.          B.1          C.          D.

7.[2018·河北] 将9.52变形正确的是 (　　)

A.9.52=92+0.52

B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)

C.9.52=102-2×10×0.5+0.52

D.9.52=92+9×0.5+0.52

8.[2018·乐山] 已知实数a,b满足a+b=2,ab=,则a-b= (　　)

A.1          B.-         C.±1           D.±

9.[2017·宁夏] 如图K2-1,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的矩形,根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是              (　　)

图K2-1

A.(a-b)2=a2-2ab+b2

B.a(a-b)=a2-ab

C.(a-b)2=a2-b2

D.a2-b2=(a+b)(a-b)

10.[2017·西宁] x2y是　　　　次单项式. 

11.[2018·岳阳] 已知a2+2a=1,则3(a2+2a)+2的值为　　　　. 

12.分解因式:

(1)[2018·杭州] (a-b)2-(b-a)=　　　　; 

(2)[2018·绵阳] x2y-4y3=　　　　; 

(3)[2018·德阳] 2xy2+4xy+2x=　　　　. 

13.[2018·成都] 已知x+y=0.2,x+3y=1,则代数式x2+4xy+4y2的值为　　　　. 

14.[2018·临沂] 已知m+n=mn,则(m-1)(n-1)=　　　　. 

15.[2017·安顺] 若代数式x2+kx+25是一个完全平方式,则k=　　　　. 

16.[2018·黑龙江] 将一些圆按照如图K2-2方式摆放,从上向下有无数行,其中第一行有2个圆,第二行有4个圆,第三行有6个圆……,按此规律排列下去,前50行共有圆　　　　个. 

图K2-2

17.[2018·扬州] 化简:(2x+3)2-(2x+3)(2x-3).

18.[2018·邵阳] 先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b=.

19.[2018·吉林] 某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:

原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)

 =a2+2ab-a2-b2(第二步)

 =2ab-b2.(第三步)

(1)该同学解答过程从第　　　　步开始出错,错误原因是　　　　; 

(2)写出此题正确的解答过程.

|拓展提升|

20.[2018·德州] 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用图K2-3的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.

(a+b)0……………1

(a+b)1……………1　1

  (a+b)2…………1  2 　1

    (a+b)3………1  3   3 　1

         (a+b)4……1  4   6    4   　1

         (a+b)5…1 　5    10   10  5  1

…

　　　　　图K2-3

根据“杨辉三角”,请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为 (　　)

A.84              B.56         C.35            D.28

21.[2018·衢州] 有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图K2-4所示的三种方案.

小明发现这三种方案都能验证公式:

a2+2ab+b2=(a+b)2.

对于方案一,小明是这样验证的:

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.

请你根据方案二、方案三写出公式的验证过程.

图K2-4

22.[2018·贵阳] 如图K2-5,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.

(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长;

(2)m=7,n=4,求拼成矩形的面积.

图K2-5

23.[2017·河北] 发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数.

验证　(1)(-1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍?

(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数.

延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢?请写出理由.

参考答案

1.D　[解析] 因为x2+x2=2x2,故A错误;(x-y)2=x2-2xy+y2,故B错误;(x2y)3=x6y3,故C错误;(-x)2·x3=x5,D正确.故选择D.

2.A

3.A　[解析] 根据同类项的定义可得解得∴=.故选择A.

4.B　[解析] 先提公因式再用平方差公式分解因式.即:4a-a3=a(4-a2)=a(2-a)(2+a),因此,本题应该选B.

5.A　[解析] 根据“质量×单价=支付费用”可知需要付费1·a×0.8=0.8a(元).

6.D　[解析] 逆用幂的乘方、同底数幂的除法法则,得52x-3y=52x÷53y=(5x)2÷(5y)3=32÷23=.故选D.

7.C

8.C　[解析] ∵a+b=2,

∴(a+b)2=4,即a2+2ab+b2=4,

又∵ab=,

∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4×=1,

∴a-b=±1,故答案为C.

9.D　[解析] 用两种不同的方式表示阴影部分的面积,从题中左图看,是边长为a的大正方形面积减去边长为b的小正方形的面积,阴影部分面积是(a2-b2);从题中右图看,是一个长为(a+b),宽为(a-b)的长方形,面积是(a+b)(a-b),所以a2-b2=(a+b)(a-b).

10.3

11.5　[解析] ∵a2+2a=1,∴3(a2+2a)+2=3+2=5.

故答案为5.

12.(1)(a-b)(a-b+1)　[解析] (a-b)2-(b-a)=(a-b)2+(a-b)=(a-b)(a-b+1).

(2)y(x-2y)(x+2y)　[解析] x2y-4y3=y(x2-4y2)=y(x-2y)(x+2y).

(3)2x(y+1)2　[解析] 2xy2+4xy+2x=2x(y2+2y+1)=2x(y+1)2.

13.0.36　[解析] ∵x+y=0.2①,x+3y=1②,①+②得:2x+4y=1.2,∴x+2y=0.6,∴x2+4xy+4y2=(x+2y)2=0.36.

14.1　[解析] ∵m+n=mn,∴(m-1)(n-1)=mn-m-n+1=mn-(m+n)+1=1.

15.±10　[解析] ∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式,∴k=±10.

16.2550　[解析] ∵第一行有2个圆,第二行有4个圆,第三行有6个圆,

∴第n(n为正整数)行有2n个圆,

∴前50行共有圆的个数为:2+4+6+…+100==51×50=2550.

故答案为2550.

17.解:原式=4x2+9+12x-4x2+9=12x+18.

18.解:原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)+8b2

=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2

=4ab.

当a=-2,b=时,原式=4×(-2)×=-4.

19.解:(1)二　去括号时没有变号

(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2.

20.B　[解析] 按照规律,继续往下写,写到(a+b)8.故选B.

(a+b)0………………………1

(a+b)1……………………1　1

(a+b)2…………………1　2　1

(a+b)3………………1　3　3　1

(a+b)4……………1　4　6　4　1

(a+b)5…………1　5　10　10　5　1

(a+b)6………1　6　15　20　15　6　1

(a+b)7……1　7　21　35　35　21　7　1

(a+b)8…1　8　28　56　70　56　28　8　1

21.解:方案二:a2+ab+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2;

方案三:a2+b(a+a+b)×2=a2+2ab+b2=(a+b)2.

22.解:(1)拼成新矩形的长为m+n,宽为m-n,

其周长为:2[(m+n)+(m-n)]=2(m+n+m-n)=4m.

(2)拼成新矩形的面积为(m+n)(m-n)=m2-n2.

当m=7,n=4时,原式=72-42=49-16=33.

23.解:验证　(1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,15÷5=3,

即(-1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍.

(2)(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10,

∵5n2+10=5(n2+2),n是整数,∴n2+2是整数,

∴五个连续整数的平方和是5的倍数.

延伸

余数是2.理由:设三个连续整数的中间一个为n,则其余的两个整数是n-1,n+1,

它们的平方和为:(n-1)2+n2+(n+1)2

=n2-2n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2,

∵n是整数,∴n2是整数,

∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.