课时训练25　矩形、菱形

课时训练(二十五)　矩形、菱形

1.[2017·益阳改编] 下列性质中,矩形不一定具有的性质是 (　　)

A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直

C.对角线相等     D.既是轴对称图形又是中心对称图形

2.[2018·淮安] 如图K25-1,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是 (　　)

A.20 　　　    B.24         C.40 　　　  D.48

3.[2018·上海] 已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是 (　　)

A.∠A=∠B      B.∠A=∠C     C.AC=BD      D.AB⊥BC

4.如图K25-2,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为 (　　)

A.4             B.8           C.10           D.12

5.[2018·嘉兴] 用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是 (　　)

6.如图K25-4,菱形ABCD的周长为8 cm,高AE长为 cm,则对角线AC和BD长之比为 (　　)

A.1∶2         B.1∶3            C.1∶        D.1∶

7.[2017·陕西] 如图K25-5,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,若点E为边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,则BF的长为 (　　)

A.             B.             C.              D.

8.如图K25-6,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OA=OC,OB=OD,添加一个条件使四边形ABCD是菱形,那么所添加的条件可以是　　　　.

9.[2018·黔东南州] 已知一个菱形的边长为2,较长对角线长为2,则这个菱形的面积是　　　　. 

10.[2018·株洲] 如图K25-7,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为　　　　. 

11.[2018·广州] 如图K25-8,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是　　　　. 

12.如图K25-9,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为　　　　. 

13.[2018·贵港] 如图K25-10,将矩形ABCD折叠,折痕为EF,BC的对应边B'C'与CD交于点M,若∠B'MD=50°,则∠BEF的度数为　　　　. 

14.[2018·安顺] 如图K25-11,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.

(1)求证:AF=DC;

(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.

15.[2017·徐州] 如图K25-12,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD,EC.

图K25-12

(1)求证:四边形BECD是平行四边形;

(2)若∠A=50°,则当∠BOD=　　　　°时,四边形BECD是矩形. 

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16.[2017·盐城] 如图K25-13,矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.

(1)求证:四边形BEDF为平行四边形;

(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.

图K25-13

参考答案

1.B

2.A　[解析] 设菱形的对角线交于O,则BO=4,CO=3,

在Rt△BOC中,由勾股定理可得BC===5,

所以菱形的周长为:5×4=20.故选:A.

3.B　[解析] ∵∠A=∠B,AD∥BC,∴∠A=∠B=90°,故A选项能判定;∠A=∠C是一组对角相等,任意平行四边形都具有该性质,故B选项不能判定;对角线相等的平行四边形是矩形,故C选项能判定;∵AB⊥BC,∴∠B=90°,故D选项能判定.

4.B

5.C

6.D　[解析] 由菱形ABCD的周长为8 cm得边长AB=2 cm.又高AE长为 cm,所以∠ABC=60°,所以△ABC,△ACD均为正三角形,AC=2 cm,BD=2AE=2 cm.故对角线AC和BD长之比为1∶,应选D.

7.B　[解析] 由题意得△ADE∽△BFA,∴=,由题意可知AD=3,DE=1,设AF=x(x>0),则BF=3x,由勾股定理得:AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x=(负值舍去),所以3x=,即BF=.故选B.

8.AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等

9.2　[解析] ∵菱形两对角线互相垂直且平分,较长对角线的一半为,∴菱形较短对角线的一半为=1.根据菱形面积等于两对角线长乘积的一半得:×2×2=2 .

10.2.5　[解析] ∵四边形ABCD是矩形,

∴AC=BD=10,BO=DO=BD.

∴OD=5.

∵点P,Q分别是AO,AD的中点,

∴PQ是△AOD的中位线.

∴PQ=DO=2.5.故填2.5.

11.(-5,4)　[解析] 由A(3,0),B(-2,0),得AO=3,AB=5.在菱形ABCD中,CD=AD=AB=5,在Rt△AOD中,由勾股定理得,OD==4,所以C(-5,4).

12.3　[解析] ∵四边形ABCD是矩形,

∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,

∴OA=OB,

∵AE垂直平分OB,∴AB=AO,

∴OA=AB=OB=3,∴BD=2OB=6,

∴AD===3.

13.70°　[解析] 依题意∠B=∠B'=∠B'MD+∠B'EA=90°,所以∠B'EA=90°-50°=40°,所以∠B'EB=180°-∠B'EA=140°,又∠B'EF=∠BEF,所以∠BEF=∠B'EB=70°,故应填:70°.

14.解:(1)证明:∵AF∥BC,

∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE.

∵E是AD的中点,

∴AE=DE.

在△FAE和△BDE中,

∴△FAE≌△BDE.

∴AF=DB.

∵AD是BC边上的中线,

∴DB=DC.

∴AF=DC.

(2)四边形ADCF是菱形.

证明:∵AB⊥AC,

∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°.

∵AD是BC边上的中线,

∴AD=BD=CD.

∵AF∥BC,AF=CD,

∴四边形ADCF为平行四边形.

∵AD=CD,

∴四边形ADCF是菱形.

15.解:(1)证明:∵平行四边形ABCD,

∴AE∥DC,

∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO,

∵点O是边BC的中点,∴BO=CO,

∴△EBO≌△DCO(AAS),

∴EO=DO,

∴四边形BECD是平行四边形.

(2)若四边形BECD为矩形,

则BC=DE,BD⊥AE,

又AD=BC,∴AD=DE.

根据等腰三角形的性质,

可知∠ADB=∠EDB=40°,

故∠BOD=180°-∠ADE=100°.

16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,BC∥AD.

∴∠ABD=∠CDB.

∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,

∴∠EBD=∠ABD,

∠FDB=∠CDB.

∴∠EBD=∠FDB.

∴BE∥DF.

又∵BC∥AD,

∴四边形BEDF是平行四边形.

(2)当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形.

理由如下:

∵BE平分∠ABD,∠ABE=30°,

∴∠ABD=60°,∠DBE=30°.

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=90°,

∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-60°=30°.

∴∠DBE=∠ADB.

∴DE=BE.   ∵四边形BEDF是平行四边形,   ∴四边形BEDF是菱形.