提分专练06　以矩形、菱形、正方形为背景

这是一份提分专练06　以矩形、菱形、正方形为背景，共10页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
提分专练(六)　以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算与证明|类型1|　以矩形为背景的问题1.[2018·连云港] 如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T6-1     2.[2018·通辽] 如图T6-2,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.图T6-2     3.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.图T6-3(1)求证:△ABD≌△CAE;(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.        |类型2|　以菱形为背景的问题4.[2017·北京] 如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.图T6-4(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.      5.[2018·南宁] 如图T6-5,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.图T6-5(1)求证:▱ABCD是菱形;(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.       |类型3|　以正方形为背景的问题6.[2018·盐城] 在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.图T6-6(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.       7.[2018·遵义] 如图T6-7,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.图T6-7       8.[2018·北京] 如图T6-8,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.图T6-8(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.  
参考答案1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°,∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.2.解:(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,∴△AEF≌△DEB.(2)四边形ADCF是矩形.证明:∵AF∥CD,AF=CD,∴四边形ADCF是平行四边形.∵△AEF≌△DEB,∴AF=BD,∴BD=CD,即AD是△ABC的中线,又∵AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∴四边形ADCF是矩形.3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD.∵AE∥BC,CE⊥AE,∴∠DCE=90°,∴四边形ADCE是矩形,∴AD=CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形ADCE是矩形,∴AE=CD=BD,又AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB.4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,∴BC=ED,∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,∴∠ADB=30°,∴∠DAC=∠BAD=30°,∠ADC=2∠ADB=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC.∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEB=∠AFD=90°,又∵BE=DF,∴△AEB≌△AFD(ASA).∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.(2)如图,连接BD交AC于点O.由(1)知四边形ABCD是菱形,AC=6,∴AC⊥BD,AO=OC=AC=×6=3,∵AB=5,AO=3,∴在Rt△AOB中,BO===4,∴BD=2BO=8,∴S▱ABCD=AC·BD=×6×8=24.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=AC,OB=OD=BD,所以OA=OB=OD,因为AC⊥BD,所以∠AOB=∠AOD=90°,所以∠OAD=∠OBA=45°,所以∠OAM=∠OBN,又因为∠EOF=90°,所以∠AOM=∠BON,所以△AOM≌△BON,所以OM=ON.(2)如图,过点O作OP⊥AB于P,所以∠OPA=90°,∠OPA=∠MAE,因为E为OM中点,所以OE=ME,又因为∠AEM=∠PEO,所以△AEM≌△PEO,所以AE=EP,因为OA=OB,OP⊥AB,所以AP=BP=AB=2,所以EP=1.Rt△OPB中,∠OBP=45°,所以OP=PB=2,Rt△OEP中,OE==,所以OM=2OE=2,Rt△OMN中,OM=ON,所以MN=OM=2.8.解:(1)证明:连接DF,如图:∵点A关于直线DE的对称点为F,∴DA=DF,∠DFE=∠A=90°.∴∠DFG=90°.∵四边形ABCD是正方形,∴DC=DA=DF,∠C=∠DFG=90°.又∵DG=DG,∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL).∴GF=GC.(2)如图,在AD上取点P,使AP=AE,连接PE,则BE=DP.由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠4,从而由∠ADC=90°,得2∠2+2∠3=90°,∴∠EDH=45°.又∵EH⊥DE,∴△DEH是等腰直角三角形.∴DE=EH.∵∠1+∠AED=∠5+∠AED=90°,∴∠1=∠5.∴△DPE≌△EBH(SAS).∴PE=BH.∵△PAE是等腰直角三角形,从而PE=AE.∴BH=AE.