高考数学(文数)一轮复习单元AB卷25《综合测试》（教师版）

这是一份高考数学(文数)一轮复习单元AB卷25《综合测试》（教师版），共25页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，在中，，，，则，若在是减函数，则的最大值是等内容，欢迎下载使用。
一轮单元训练数学卷（A）
第二十五单元 综合测试
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致为（ ）

4．已知向量，满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）

A． B． C． D．
9．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
10．若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，
则（ ）
A． B．0 C．2 D．50

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．若，满足约束条件，则的最大值为__________．
15．已知，则__________．
16．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．


18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）如图，在三棱锥中，，
，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．




20．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．





21．（12分）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．





（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为，（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．








23．（10分）【选修4－5：不等式选讲】
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．








一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A）
第二十五单元 综合测试
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】，故选D．
2．【答案】C
【解析】，，，故选C．
3．【答案】B
【解析】，，为奇函数，舍去A；
，舍去D；
，，，所以舍去C；
因此选B．
4．【答案】B
【解析】因为，所以选B．
5．【答案】D
【解析】设2名男同学为，，3名女同学为，，，从以上5名同学中任选2人
总共有，，，，，，，，，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共，，三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为，故选D．
6．【答案】A
【解析】，，，因为渐近线方程为，
所以渐近线方程为，选A．
7．【答案】A
【解析】因为，
所以，，选A．
8．【答案】B
【解析】由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．
因此在空白框中应填入，选B．
9．【答案】C
【解析】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则．故选C．
10．【答案】C
【解析】因为，所以由，
得，，因此，，从而的最大值为，故选C．
11．【答案】D
【解析】在中，，，设，则，，
又由椭圆定义可知则离心率，故选D．
12．【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以，，，
因此，
因为，，所以，
，，从而，故选C．

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即．
14．【答案】9
【解析】不等式组表示的可行域是以，，为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当，时，．

15．【答案】
【解析】，解方程得．
16．【答案】
【解析】如下图所示，，，又，
解得，所以，，所以该圆锥的体积为
．


三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设的公差为，由题意得．由得，所以的通项
公式为．
（2）由（1）得．所以当时，取得最小值，最小值为．
18．【答案】（1）模型①亿元，模型②亿元；（2）模型②，见解析．
【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）因为，为的中点，所以，且．连结．
因为，所以为等腰直角三角形，且，．
由知，．由，，知平面．

（2）作，垂足为．又由（1）可得，所以平面．
故的长为点到平面的距离．
由题设可知，，．
所以，．所以点到平面的距离为．
20．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由题意得，的方程为．
设，．由得．
，故．
所以．
由题设知，解得（舍去），．因此的方程为．
（2）由（1）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，
则，解得或，
因此所求圆的方程为或．
21．【答案】（1），单调递增，单调递减；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，．
令解得或．
当时，；
当时，．
故在，单调递增，在单调递减．
（2）由于，所以等价于．
设=，则，仅当时，所以
在单调递增，故至多有一个零点，从而至多有一个零点．
又，，故有一个零点．
综上，只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．【答案】（1），当，；当，；（2）．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，可得的解集为．
（2）等价于，
而，且当时等号成立．故等价于，
由可得或，所以的取值范围是．

一轮单元训练数学卷（B）
第二十五单元 综合测试
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A．0 B． C． D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为3
B．的最小正周期为，最大值为4
C．的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，

圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．2
10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）
A．8 B． C． D．
11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，
且，则（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知函数，若，则________．
14．若满足约束条件，则的最大值为________．
15．直线与圆交于两点，则________．
16．的内角的对边分别为，已知，，则的面积为________．

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．


18．（12分）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．



19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量







频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量






频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）



20．（12分）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．



21．（12分）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当，．



（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．


23．【选修4—5：不等式选讲】（10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围．



一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）
第二十五单元 综合测试
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】A
【解析】，故选A．
2．【答案】C
【解析】∵，∴，∴选C．
3．【答案】A
【解析】由图可得，A选项，设建设前经济收入为，种植收入为．建设后经济收入则为，种植收入则为，种植收入较之前增加．故选A．
4．【答案】C
【解析】知，，，离心率．故选C．
5．【答案】B
【解析】截面面积为8，所以高，底面半径，所以表面积为．
6．【答案】D
【解析】∵为奇函数，∴，即，∴，∴，
∴切线方程为，∴故选D．
7．【答案】A
【解析】

．故选A．
8．【答案】B
【解析】，∴最小正周期为，最大值为4．故选B．
9．【答案】B
【解析】三视图还原几何体为一圆柱，如图，

将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B．
10．【答案】C
【解析】

连接和，∵与平面所成角为，∴，
∴，，∴，∴，∴选C．
11．【答案】B
【解析】由可得，化简可得．当时，可得，，即，，
此时；当时，仍有此结果．故选B．
12．【答案】D
【解析】取，则化为，排除A，B；取，则化为，排除C，故选D．



二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】可得，∴，．
14．【答案】
【解析】

画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，．
15．【答案】
【解析】由，得圆心为，半径为，∴圆心到直线距离为．
∴．
16．【答案】
【解析】根据正弦定理有：，
∴，∴．∵，
∴，∴，∴．

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）依题意，，，∴，，．
（2）∵，∴，即，所以为等比数列．
（3）∵，∴．
18．【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】（1）证明：∵为平行四边形且，∴，又∵，
∴平面，∵平面，∴平面平面．
（2）过点作，交于点，

∵平面，∴，又∵，∴平面，
∴，∴，
∵，∴，
又∵为等腰直角三角形，∴，
∴．
19．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）

（2）由题可知用水量在的频数为，所以可估计在的频数为，
故用水量小于的频数为，其概率为．
（3）未使用节水龙头时，天中平均每日用水量为：
，
一年的平均用水量则为．
使用节水龙头后，天中平均每日用水量为：
，
一年的平均用水量则为，∴一年能节省．
20．【答案】（1）或；（2）见解析．
【解析】（1）当与轴垂直时，的方程为，代入，∴，，
或，，∴的方程为或．
（2）设的方程为，设，联立方程，
得，∴，，
，
∴，∴．

21．【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）见解析．
【解析】（1）定义域为，．
∵是极值点，∴，∴．
∵在上增，，∴在上增．
又在上减，∴在上增．又，
∴当时，，减；当时，，增．
综上，，单调增区间为，单调减区间为．
（2）∵，∴当时有，
∴．
令，．
，同（1）可证在上增，又，
∴当时，，减；当时，，增．
∴，
∴当时，．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由可得：，化为．
（2）与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆圆心为，半径为2，则，解得，故的方程为．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
∴的解集为．
（2）当时，1，当时，不成立．
当时，，∴，不符合题意．
当时，，成立．
当时，，∴，即．
综上所述，的取值范围为．