高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布练习题，共11页。试卷主要包含了已知ξ的分布列为，随机变量X的分布列如表，设随机变量X的分布列为等内容，欢迎下载使用。
离散型随机变量的方差 (15分钟　30分)1．已知ξ的分布列为ξ1234P则D(ξ)的值为(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选C.E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，D(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.2．随机变量X的分布列如表：X123P0.5xy若E(X)＝，则D(X)等于(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选D.由得所以D(X)＝×＋×＋×＝.3．设随机变量X的分布列为X－101P若Y＝2X＋2，则D(Y)等于(　　)A．－    B．    C．    D．【解析】选D.由题意知，E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，故D(X)＝×＋×＋×＝，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×＝.【补偿训练】 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)A．8    B．15    C．16    D．32【解析】选C.样本数据x1，x2，x3，…，x10，其标准差＝8，则D(X)＝64.而样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差D(2x－1)＝22D(X)＝22×64，所以其标准差为＝16.4．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　)A．E(X)＝0，D(X)＝1    B．E(X)＝，D(X)＝C．E(X)＝0，D(X)＝    D．E(X)＝，D(X)＝1【解析】选A.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的分布列为X1－1P0.50.5所以E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝________．【解析】由题意知，X～B，所以E(X)＝5×＝3，解得m＝2，所以X～B，所以D(X)＝5××＝.答案：6．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【解析】(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.　　　　　　　　　　　　　　(30分钟　60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为(　　)A．    B．3    C．    D．2【解析】选A.因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即X～B，则X的方差D(X)＝3××＝，所以Y的方差D(Y)＝32·D(X)＝9×＝6，所以Y的标准差为＝.2．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)A．    B．    C．3    D．【解析】选C.x1，x2满足解得或因为x1<x2，所以x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3.3．某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的方差是(　　)A．90    B．180    C．270    D．360【解析】选D.由题意可知播种了1 000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B(1 000，0.1).而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，故X＝2ξ，故方差为D(X)＝D(2ξ)＝22·D(ξ)＝4×1 000×0.1×0.9＝360.4．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于　(　　)A．0    B．2    C．4    D．无法计算【解析】选A.由于分布列中，概率和为1，则a＋＝1，a＝.因为E(ξ)＝2，所以＋＝2.所以m＝6－2n.所以D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.所以n＝2时，D(ξ)取最小值0.【误区警示】将D(ξ)视为n的二次函数求解．二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．已知随机变量X的分布列为X－101Pa则下列结论正确的是(　　)A．P(X＝0)＝      B．a＝C．E(X)＝－       D．D(X)＝【解析】选ABC.由分布列可知，P(X＝0)＝，a＝1－－＝，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；D(X)＝×＋×＋×＝.6．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则(　　)A．ξ的所有取值是1，2，3       B．P(ξ＝1)＝ C．E(ξ)＝1            D．D(ξ)＝1【解析】选BCD.ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ＝1)＝＝；ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为ξ013PE(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.三、填空题(每小题5分，共10分)7．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________．【解析】由题意知，－p1＋p3＝0.1，1．21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.答案：0.4　0.1　0.5【补偿训练】 若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为______．【解析】事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.答案：0.58．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为________，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为________．【解析】“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为p＝＝.所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为C××＝.“不放回抽取”时，设摸出白球的个数为X，依题意得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝×＋×＋×＝.答案：　【补偿训练】 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝________．【解析】由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12.P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，则E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8，D(X)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36.答案：3.362．从5名班干部(其中男生3人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，则随机变量ξ的方差D(ξ)＝________．【解析】ξ的所有可能取值为0，1，2，所以依题意得：P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列为ξ012P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.D(ξ)＝×＋×＋×＝.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差．【解析】(1)X的可能值为0，1，2.若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝＝，同理，有P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为X012P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.D(X)＝×＋×＋×＝.(2)Y的可能值为1，2，3，显然X＋Y＝3.P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝.所以Y的分布列为Y123P所以Y＝－X＋3，所以E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝，D(Y)＝(－1)2D(X)＝.10．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288；P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.1．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值，，，，的概率也均为0.2，若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则(　　)A．D(ξ1)>D(ξ2)B．D(ξ1)＝D(ξ2)C．D(ξ1)<D(ξ2)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关【解析】选A.由题意可知E(ξ1)＝E(ξ2)，又由题意可知，ξ1的波动性较大，从而有D(ξ1)>D(ξ2).2．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2 X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．【解析】(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2 Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝D＋D＝D(Y1)＋D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002).所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3.【补偿训练】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】(1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X>120)＝＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3·p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如表：Y4 20010 000P0.20.8所以E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如表：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．