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    2021_2022学年新教材高中数学课时练15离散型随机变量的方差含解析新人教B版选择性必修第二册

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    高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布练习题

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布练习题,共11页。试卷主要包含了已知ξ的分布列为,随机变量X的分布列如表,设随机变量X的分布列为等内容,欢迎下载使用。
    离散型随机变量的方差 (15分钟 30分)1.已知ξ的分布列为ξ1234P则D(ξ)的值为(  )A.    B.    C.    D.【解析】选C.E(ξ)=1×+2×+3×+4×D(ξ)=××××.2.随机变量X的分布列如表:X123P0.5xy若E(X)=,则D(X)等于(  )A.    B.    C.    D.【解析】选D.由所以D(X)=×××.3.设随机变量X的分布列为X-101P若Y=2X+2,则D(Y)等于(  )A.-    B.    C.    D.【解析】选D.由题意知,E(X)=-1×+0×+1×=-,故D(X)=×××D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4×.【补偿训练】 若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为(  )A.8    B.15    C.16    D.32【解析】选C.样本数据x1,x2,x3,…,x10,其标准差=8,则D(X)=64.而样本数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差D(2x-1)=22D(X)=22×64,所以其标准差为=16.4.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值与方差分别为(  )A.E(X)=0,D(X)=1    B.E(X)=,D(X)=C.E(X)=0,D(X)=    D.E(X)=,D(X)=1【解析】选A.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的分布列为X1-1P0.50.5所以E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.5.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=________.【解析】由题意知,X~B,所以E(X)=5×=3,解得m=2,所以X~B所以D(X)=5××.答案:6.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.【解析】(1)由已知条件和概率的加法公式有:P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=.故在降水量X至少是300 mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.              (30分钟 60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为(  )A.    B.3    C    D.2【解析】选A.因为该同学经过每个路口时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成3次独立重复试验,即X~B,则X的方差D(X)=3××,所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9×=6,所以Y的标准差为.2.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为(  )A.    B.    C.3    D.【解析】选C.x1,x2满足解得因为x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以x1+x2=3.3.某种种子每粒发芽的概率是90%,现播种该种子1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的方差是(  )A.90    B.180    C.270    D.360【解析】选D.由题意可知播种了1 000粒,没有发芽的种子数ξ服从二项分布,即ξ~B(1 000,0.1).而每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,故X=2ξ,故方差为D(X)=D(2ξ)=22·D(ξ)=4×1 000×0.1×0.9=360.4.若随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)=,P(ξ=n)=a,若E(ξ)=2,则D(ξ)的最小值等于 (  )A.0    B.2    C.4    D.无法计算【解析】选A.由于分布列中,概率和为1,则a+=1,a=.因为E(ξ)=2,所以=2.所以m=6-2n.所以D(ξ)=×(m-2)2×(n-2)2×(n-2)2×(6-2n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2.所以n=2时,D(ξ)取最小值0.【误区警示】将D(ξ)视为n的二次函数求解.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知随机变量X的分布列为X-101Pa则下列结论正确的是(  )A.P(X=0)=      B.a=C.E(X)=-       D.D(X)=【解析】选ABC.由分布列可知,P(X=0)=,a=1-,E(X)=(-1)×+0×+1×=-;D(X)=×××.6.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ,则(  )A.ξ的所有取值是1,2,3       B.P(ξ=1)= C.E(ξ)=1            D.D(ξ)=1【解析】选BCD.ξ的所有可能取值为0,1,3,ξ=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生,则P(ξ=0)=;ξ=1表示三位同学只有1位同学坐对了,则P(ξ=1)=ξ=3表示三位同学全坐对了,即对号入座,则P(ξ=3)=.所以ξ的分布列为ξ013PE(ξ)=0×+1×+3×=1.D(ξ)=×(0-1)2×(1-1)2×(3-1)2=1.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为________,________,________.【解析】由题意知,-p1+p3=0.1,1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89.又p1+p2+p3=1,解得p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5.答案:0.4 0.1 0.5【补偿训练】 若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25,则该事件在一次试验中发生的概率为______.【解析】事件在一次试验中发生次数记为X,则X服从两点分布,则D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=0.25,解得p=0.5.答案:0.58.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.若采取放回抽样方式,从中摸出两个球,则两球恰好颜色不同的概率为________,若采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,则摸出白球的个数的方差为________.【解析】“有放回摸取”可看作独立重复试验,每次摸出一球是白球的概率为p=.所以“有放回摸两次,颜色不同”的概率为C××.“不放回抽取”时,设摸出白球的个数为X,依题意得P(X=0)=P(X=1)=,P(X=2)=.所以E(X)=0×+1×+2×D(X)=×××.答案: 【补偿训练】 1.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上的数字和为X,则D(X)=________.【解析】由题意得,随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X=6)=,P(X=9)=P(X=12)=,则E(X)=6×+9×+12×=7.8,D(X)=×(6-7.8)2×(9-7.8)2×(12-7.8)2=3.36.答案:3.362.从5名班干部(其中男生3人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.设所选3人中女生人数为ξ,则随机变量ξ的方差D(ξ)=________.【解析】ξ的所有可能取值为0,1,2,所以依题意得:P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,所以ξ的分布列为ξ012P所以E(ξ)=0×+1×+2×.D(ξ)=×××.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放回,若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.(1)求X的分布列、均值及方差;(2)求Y的分布列、均值及方差.【解析】(1)X的可能值为0,1,2.若X=0,表示没有取出次品,其概率为P(X=0)=同理,有P(X=1)=,P(X=2)=.所以X的分布列为X012P所以E(X)=0×+1×+2×.D(X)=×××.(2)Y的可能值为1,2,3,显然X+Y=3.P(Y=1)=P(X=2)=,P(Y=2)=P(X=1)=P(Y=3)=P(X=0)=.所以Y的分布列为Y123P所以Y=-X+3,所以E(Y)=E(3-X)=3-E(X)=3-,D(Y)=(-1)2D(X)=.10.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个.”因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=C(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=C·0.6(1-0.6)2=0.288;P(X=2)=C·0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=C·0.63=0.216,则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.1.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量ξ1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值的概率也均为0.2,若记D(ξ1),D(ξ2)分别为ξ1,ξ2的方差,则(  )A.D(ξ1)>D(ξ2)B.D(ξ1)=D(ξ2)C.D(ξ1)<D(ξ2)D.D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关【解析】选A.由题意可知E(ξ1)=E(ξ2),又由题意可知,ξ1的波动性较大,从而有D(ξ1)>D(ξ2).2.A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2 X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.【解析】(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2 Y22812P0.20.50.3E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.(2)f(x)=D+DD(Y1)+D(Y2)=[x2+3(100-x)2]=(4x2-600x+3×1002).所以当x==75时,f(x)取最小值3.【补偿训练】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率.(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?【解析】(1)依题意,p1=P(40<X<80)==0.2,p2=P(80≤X≤120)==0.7,p3=P(X>120)==0.1.由二项分布得,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=C(1-p3)4+C(1-p3)3·p3=0.94+4×0.93×0.1=0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000.②安装2台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5 000×2=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如表:Y4 20010 000P0.20.8所以E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840.③安装3台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5 000×2-800=9 200,因此P(Y=9 200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5 000×3=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得Y的分布列如表:Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.

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