（人教版）九年级数学下册同步精品 第3讲 反比例函数全章复习与巩固【讲义】学案

第3讲  反比例函数全章复习与巩固

知识点01  反比例函数的概念

一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

要点诠释：

在中，自变量的取值范围是， ()可以写成          ()的形式，也可以写成        的形式.

知识点02  反比例函数解析式的确定

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

知识点03  反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第          象限或第         象限．它们关于         对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

要点诠释：

观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

①的图象是轴对称图形，对称轴为        两条直线；

②的图象是中心对称图形，对称中心为        ；

③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.

    注：正比例函数与反比例函数，

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

 　　当时，同号，图象在第         象限，且在每个象限内，随的增大而         ；当时，异号，图象在第          象限，且在每个象限内，随的增大而         .

（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（          ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

（4）反比例函数y＝中的意义

①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为           .

②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为         .

知识点04  应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.

2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

考法01   确定反比例函数的解析式

【典例1】在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0，k＞0）的图象经过点A（m，n），B（2，1），且n＞1，过点B作y轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为2，求点A的坐标．

【即学即练1】已知反比例函数与一次函数的图象都经过点P(2，－1)，且当 时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.

考法02  反比例函数的图象及性质

【典例2】已知反比例函数(＜0)的图象上有两点A()，B()，且，则的值是(    )．

       A．正数    B．负数    C．非负数    D．不能确定

【即学即练2】已知，点P（）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（     ）

A. 第一象限     B. 第二象限      C. 第三象限      D. 第四象限

【典例3】反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：

①S△ODB=S△OCA；

②四边形OAMB的面积不变；

③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．

其中正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【典例4】反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ）

【即学即练3】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是(   ) .

考法03  反比例函数与一次函数综合

【典例5】如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数(≠0)的图象与反比例函数(≠0)的图象相交于A、B两点．

求：(1)根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出：当为何值时，一次函数值大于反比例函数值．

【即学即练4】如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，PA⊥轴于点A，PB⊥轴于点B，一次函数的图象分别交轴、轴于点C、点D，且，．

(1)求点D的坐标；

(2)求一次函数与反比例函数的表达式；

(3)根据图象写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

考法04  反比例函数的实际应用

【典例6】制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为(℃)，从加热开始计算的时间为．据了解，设该材料加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度与时间成反比例关系(如图)．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min后温度达到60℃．

(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，与的函数关系式；

(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

题组A  基础过关练

1. 已知函数的反比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是（  ）．

A．2    B．－2    C．±2    D．

2. 如图是三个反比例函数、、在轴上方的图象，由此观察得到的大小关系（      ）.

A．      B．

  C．      D．

3. 如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于轴、轴，若双曲线 (≠0)与有交点，则的取值范围是（     ）

A． B．  C． D．

4.如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　）

A．    B．    C．3    D．4

5. 函数y=的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

6. 如图所示，在同一直角坐标系中，函数和函数(是常数且≠0)的图象只可能是(   )．

7. 如图所示，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（   ）．

A．8       B．6       C．4        D．2

8. 如图，反比例函数的图象经过点A(－1,－2).则当＞1时，函数值的取值范围是（      ）

A. ＞1       B.0＜＜1       C. ＞2       D.0＜＜2      

题组B  能力提升练

9.直线与双曲线交于A（），B（）两点，则 ＝___________．

10.已知与成正比例(比例系数为)，与成反比例(比例系数为)，若函数的图象经过点(1，2)，(2，)，则的值为________.

11. 在函数（为常数）的图象上有三个点（－2，），(－1，)，（，），函数值，，的大小为_________.

12.已知点A(，5)，B(2，)关于轴对称，若反比例函数的图象经过点C(，)，则这个反比例函数的表达式为____________.

13.已知（），（），（）是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是         .

14．设有反比例函数，(，)，(，)为其图象上两点，若，，则的取值范围是_______．

15．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为　　．

16．如图所示是一次函数和反比例函数的图象，观察图象写出当 时，的取值范围为________．

题组C  培优拔尖练

17. 如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=

（1）点D的横坐标为　     　（用含m的式子表示）；

（2）求反比例函数的解析式．

18.如图所示，已知双曲线，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA，，求反比例函数的解析式．

19. 如图所示，一次函数的图象经过点B(－1，0)，且与反比例函数(为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1，)．求：

    (1)一次函数和反比例函数的解析式；

(2)当1≤≤6时，反比例函数的取值范围．

20.如图，反比例函数y=（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）两点．

（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；

（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=（k＞0）的图象交于C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求b的值．