河南省驻马店市正阳县2021-2022学年九年级上学期期末素质测评数学试题（word版 含答案）

2021-2022学年河南省驻马店市正阳县九年级（上）期末数学试卷

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图所示的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，将绕点逆时针旋转到，点恰好落在边上．已知，，则的长是

A.
B.
C.
D.

3. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，则的值为

A.  B.  C.  D. 或

4. 如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有、、三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，分别是，的中点，连接，若，则四边形的面积为

A.
B.
C.
D.

7. 对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；时，随的增大而减小，其中正确结论的个数为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，四边形是矩形，是正方形，点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点、在反比例函数的图象上，，，则正方形的面积为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是

A.
B.
C. 或
D. 或
 

10. 如图，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿向点运动，设点的运动路径为，的面积为，图是关于的函数关系图象，则边的长为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 已知是方程的一个根，则代数式的值是______．
12. 如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的图形，点恰好在边上．若，则的度数是______
     

13. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是______米．
14. 如图，一张扇形纸片的圆心角为，半径为将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为______．
    
     

15. 如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标，点的坐标．
    画出关于原点对称的的对称点分别为，
    画出关于原点按逆时针方向旋转所得的的对应点分别为，，并写出，的坐标．
    若将点向上平移个单位，使其落在的内部，请直接写出的取值范围．

18. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片除字母和内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
    
    小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是______；
    小沈从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．这四张卡片分别用它们的编号、、、表示
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知：如图，在中，，的角平分线交边于．
    以边上一点为圆心，过、两点作，并标出圆心．不写作法，保留作图痕迹．
    判断直线与的位置关系，并说明理由．
    若，，求的半径．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在坐标原点，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象经过点．
    求的值；
    已知点、、都在反比例函数的图象上，请直接写出、、的大小关系．

21. 在国庆期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件元，现以每件元销售，每天可售出件．在试销售阶段发现，若每件童装降价元，那么每天就可多售件，设每件童装单价降价了元．
    若销售单价降低元，则该款童装每天的销售量为______件，每天利润是______元；
    请写出每天销售该款童装的利润元与每件童装降价元之间的函数关系式；
    当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知二次函数的图象与平行于轴的直线交于，两点，其中点的坐标为．
    求抛物线的对称轴和点的坐标；
    若将直线向上平移个单位长度后与二次函数的图象只有一个交点，求二次函数的表达式．

23. 如图，在中，，，点、分别在边、上，，连接将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．
    问题发现
    当时，______；当时，______；
    拓展研究
    试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明；
    问题解决
    在旋转过程中，的最大值为______．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质和判定等知识点，关键是根据定理推出．
根据旋转的性质得出≌，推出，代入求出即可．
【解答】
解：将绕点按逆时针方向旋转至，
≌，
，
，
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
为非负整数，
．
故选：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，再由为非负整数，确定出的值即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．
 

4.【答案】
 

【解析】解：如图所示，连接，，在优弧上取点，连接，，

、是切线，
，
，
，
又圆内接四边形的对角互补，
．
故选：．
由切线的性质得出，利用四边形内角和可求，再利用圆周角定理可求，再根据圆内接四边形对角互补可求．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接、，求出．
 

5.【答案】
 

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为种，
则两人恰好进入同一社区的概率．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

6.【答案】
 

【解析】解：在中，，分别是，的中点，
，，
∽，，
：：，
，
，
四边形的面积为．
故选：．
先由中位线定理得出，，从而判定∽并得出相似比，进而得出与的面积比，然后结合，可得答案．
本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
抛物线的开口向下，正确；
对称轴为直线，故本小题错误；
顶点坐标为，正确；
时，随的增大而减小，
时，随的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是共个．
故选：．
根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设正方形的边长，则．
四边形是正方形，
．
点坐标为．
点在反比例函数的图象上，
．
整理，得．
解得，．
，
．
正方形的边长为，
正方形的面积为．
故选B．
根据正方形的性质，设正方形的边长，则，则点坐标为代入反比例函数解析式即可求得的值，得到正方形的边长．
本题主要考查了正方形的性质和根据反比例函数的解析式列方程，求正方形的面积，这里体现了数形结合的思想．
 

9.【答案】
 

【解析】解：点在边上，
，，
若顺时针旋转，则点在轴上，，
所以，，
若逆时针旋转，则点到轴的距离为，到轴的距离为，
所以，，
综上所述，点的坐标为或．
故选：．
分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
本题考查了坐标与图形变化旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
 

10.【答案】
 

【解析】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为．
，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为，此时结合图象可知点运动路径长为，
．
则，代入，得，解得或，
因为，所以．
故选：．
当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为，得到与的积为；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为，此时结合图象可知点运动路径长为，得到与的和为，构造关于的一元二方程可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
 

11.【答案】
 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，

．
故答案为：．
利用一元二次方程根的定义得到，然后把代入中进行整式的运算即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据旋转性质得≌，
，
由旋转角为，
，
，
，
，
在中，由内角和定理得．
．
故答案为．
已知是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，可得≌，旋转角为，已知点恰好在上，可得为等腰三角形，可结合三角形的内角和定理求的度数．
此题考查旋转的性质，主要考查了旋转变化前后，对应角相等，同时充分用三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是用等腰三角形的性质求角的度数．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：，
，
，，
，
∽，
，
米，米，米，
，
米，
故答案为：．
首先证明∽，可得，再代入相应数据可得答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
 

14.【答案】
 

【解析】解：连接，如图，
扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，
，
，
，
，，
由弧、线段和所围成的图形的面积，
阴影部分的面积为，
故答案为．
连接，如图，利用折叠性质得由弧、线段和所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，，则，，从而得到，，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，能进而求出答案．
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质，注意：圆心角是，半径为的扇形的面积．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的最值和二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．设点坐标为，根据矩形的周长公式得到根据二次函数的性质来求最值即可得到结果．
【解答】
解：，
当时，，
即，
解得或，
故设，
四边形周长．
当时，，
即：四边形周长的最大值为．
故答案是．  

16.【答案】解：，
解得，，
，
方程不是“邻根方程”：
设方程得两根分别为、，
根据根与系数的关系得，，
，
方程是“邻根方程”．
 

【解析】利用因式分解法解方程得到方程得两根，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；
设方程得两根分别为、，根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出，从而可判断方程是“邻根方程”．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了阅读理解能力．
 

17.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，，．
观察图象可知：．

 

【解析】根据中心对称的性质分别作出，的对应点，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用图象法判断即可．
本题考查作图旋转变换，中心对称变换，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

18.【答案】
 

【解析】解：有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
画树状图如图：

共有种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为，
抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．
根据概率公式直接得出答案；
根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为，根据概率公式求解可得．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：如图，

即为所求；
直线与的位置关系为：相切，理由如下：
连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，是半径，
直线与相切；
设的半径为，
在中，，，，
，
解得．
答：的半径为．
 

【解析】以边上一点为圆心，过、两点作，并标出圆心；
根据切线的判定即可判断直线与的位置关系；
根据，，即可求的半径．
本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是准确画图．
 

20.【答案】解：如图，作轴于，轴于，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点的坐标为，
，，
点在第二象限，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上．
．
把点、、代入反比例函数的关系式得，
，，，
．
 

【解析】作轴于，轴于，先通过证得≌得出，，即可根据的坐标求得的坐标，然后把的坐标代入即可求得的值；
把点，，代入反比例函数的关系式求出，，，比较得出答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】 
 

【解析】解：以每件元销售，每天可售出件，若每件童装降价元，那么每天就可多售件，
销售单价降低元，则该款童装每天的销售量为件，
每天的利润为：元，
故答案为：，；
由题意，得，
与的函数关系式为；
由知：，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时元，
当每件童装销售单价定为元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是元．
根据每件童装降价元，那么每天就可多售件，当销售单价降低元时，销售量增加件，则销售量为件；利润为件；
根据利润单件利润销售量列创述关系式；
根据的函数解析式，由函数的性质求函数最值．
本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．
 

22.【答案】解：二次函数，
对称轴是直线，
的坐标为，且点与点关于直线对称，轴，
；
答：抛物线的对称轴是直线，点的坐标为；
，，
将直线向上平移个单位长度后得直线，
抛物线的对称轴是直线，将直线向上平移个单位长度后与二次函数的图象只有一个交点，
抛物线顶点为，
，即，
抛物线经过，
，即，
由得，
二次函数的表达式为．
 

【解析】由二次函数，即得对称轴是直线，根据的坐标为，且点与点关于直线对称，轴，得；
将直线向上平移个单位长度后得直线，根据抛物线的对称轴是直线，将直线向上平移个单位长度后与二次函数的图象只有一个交点，可得抛物线顶点为，即有，即，又抛物线经过，可得，即，即可解得二次函数的表达式为．
本题考查二次函数综合应用，解题的关键是掌握二次函数图象及性质，用待定系数法求其解析式．
 

23.【答案】  
 

【解析】解：在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；

如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；

当时，的大小没有变化；
证明：在中，
，，
，，
同理，，
，
，
，
∽，
；

如答图，当点在的延长线上时，最大，其最大值为，
在中，，
，
，
由知，，
，
，
，
故答案为：．
利用等腰三角形的性质判断出，，进而得出，得出，即可得出结论；
同的方法，即可得出结论；
利用两边成比例，夹角相等，判断出∽，即可得出结论；
判断出点在的延长线上时，最大，再求出，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出两三角形相似是解本题的关键．