2021年辽宁省锦州市中考数学试卷-（含答案解析）

这是一份2021年辽宁省锦州市中考数学试卷-（含答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021年辽宁省锦州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）的相反数是A.  B.  C.  D. 据相关研究，经过完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加倍，将数据用科学记数法表示为A.  B.  C.  D. 如图所示的几何体是由个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是A.
B.
C.
D. 某班名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：时间人数那么该班名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是A. ， B. ， C. ， D. ，如图，，，，则的度数是A.
B.
C.
D. 二元一次方程组的解是A.  B.  C.  D. 如图，内接于，为的直径，为上一点位于下方，交于点，若，，，则的长为A.
B.
C.
D. 如图，在四边形中，，，，，的直角顶点与点重合，另一个顶点在点左侧在射线上，且，将沿方向平移，点与点重合时停止．设的长为，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，则下列图象能正确反映与函数关系的是
A.  B.
C.  D.  二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）若二次根式有意义，则的取值范围是______．甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人次射击成绩的平均数都是环，方差分别是，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选______填“甲”或“乙”．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为______．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为______．

  如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为______．
如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，经过点的反比例函数的图象交于点若，▱的面积为，则的值为______．
如图，，点在射线上，过点作交射线于点，将沿折叠得到，点落在射线上；过点作交射线于点，将沿折叠得到，点落在射线上；按此作法进行下去，在内部作射线，分别与，，，，交于点，，，，又分别与，，，，，交于点，，，，若点为线段的中点，，则四边形的面积为______用含有的式子表示．
 三、解答题（本大题共9小题，共80.0分）先化简，再求值：，其中．






 教育部下发的关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知要求，初中生每天睡眠时间应达到某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为，，，四组每名学生必须选择且只能选择一种情况：
组：睡眠时间
组：睡眠时间
组：睡眠时间
组：睡眠时间
如图和图是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
被调查的学生有______人；
通过计算补全条形统计图；
请估计全校名学生中睡眠时间不足的人数．







 为庆祝建党周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为，，的张卡片如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取张，按照卡片上的曲目演唱．
七年一班从张卡片中随机抽取张，抽到卡片的概率为______；
七年一班从张卡片中随机抽取张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．







 小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完本图书比小杰清点完本图书少用了已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本．






 如图，山坡上有一棵竖直的树，坡面上点处放置高度为的测倾器，测倾器的顶部与树底部恰好在同一水平线上即，此时测得树顶部的仰角为已知山坡的坡度：即坡面上点处的铅直高度与水平宽度的比，求树的高度结果精确到参考数据：，，







 如图，四边形内接于，为的直径，过点作交的延长线于点，延长，交于点，．
求证：为的切线；
若，，求的半径．






 某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费万元与原料的质量之间的关系为，销售价万元与原料的质量之间的关系如图所示．
求与之间的函数关系式；
设销售收入为万元，求与之间的函数关系式；
原料的质量为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？销售利润销售收入总支出．







 在中，，，为线段上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．

如图，当时，求证：≌；
如图，当时，
探究和之间的数量关系，并说明理由；
若，是上一点，在点移动过程中，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由．






 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，经过点的抛物线与直线的另一个交点为点，点的横坐标为．
求抛物线的表达式．
为抛物线上的动点．
为轴上一点，当四边形为平行四边形时，求点的坐标；
如图，点在直线下方，直线的情况除外交直线于点，作直线关于直线对称的直线，当直线与坐标轴平行时，直接写出点的横坐标．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：的相反数是．
故选：．
依据相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
 2.【答案】
 【解析】解：将数据用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】
 【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：．
根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
 4.【答案】
 【解析】解：由统计表给出的数据可知阅读课外书籍的时间为小时的有人，出现的次数最多，所以众数是，
因为有个学生，所以第、个数的和的平均数是中位数，又因为、个数分别是，，所以中位数是．
故选：．
根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数据即为所求，如果是偶数个则找中间两个数据的平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 5.【答案】
 【解析】解：过点作，

，
，
，，
，，
，
故选：．
过点作，利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 6.【答案】
 【解析】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解集为．
故选：．
方程组利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 7.【答案】
 【解析】解：连接，过点作于点，连接，

，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
故选：．
连接，过点作于点，连接，因为，构造∽，求出，设，则，，则，，再利用∽，列出方程即可解决．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出∽是解题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：过点作，

，，，
，，
当时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为，
，
，
该部分图象开口向上，
当时，如图，

设与交与点，与交与点，
则，
设，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
该部分图象开口向下，
当时，重叠部分的面积为，是固定值，
该部分图象是平行轴的线段，
故选：．
根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点到达点之前，即时，求出和的关系式，确定图象，第二个是点到达点之前，即时，求出和的关系式，确定图象，第三个是点到达点之前，即时，求出和的关系式，确定图象，即可确定选项．
本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据每个阶段的情况单独讨论，确定和之间的函数关系式，从而确定图象．
 9.【答案】
 【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数列不等式是解题的关键．
 10.【答案】甲
 【解析】解：，，
，
则甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 11.【答案】
 【解析】解：因为共摸了次球，发现有次摸到红球，
所以估计摸到红球的概率为，
所以估计这个口袋中红球的数量为个．
故答案为．
估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
 12.【答案】
 【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 13.【答案】
 【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出是解题的关键．
 14.【答案】
 【解析】解：如图，连接，

根据作图过程可知：是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
在中，，，，

，
解得．
故答案为：．
根据作图过程可得是的平分线，然后证明≌，再利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了矩形的性质，作图基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 15.【答案】
 【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，

设，，，
▱的面积为，
，
，
，点坐标分别为，，
，
，
，
故答案为：．
过点作轴于，过点作轴于，设，，，根据▱的面积为表示出的长度，根据求出的长，进而表示出，两点的坐标，根据反比例函数系数的几何意义即可求出．
本题考查了平行四边形的性质和反比例函数系数的几何意义，过点作轴于，过点作轴于，设，，，分别求出，两点的坐标是解题的关键．
 16.【答案】
 【解析】解：由折叠可知，，
又，
∽，∽，
，
又点为线段的中点，
，
，
则点为线段的中点，
同理可证，、依次为线段、、的中点．
，
∽21，
，
则的上的高与的上的高之比为：，
的上的高为，
同理可得的上的高为，
由折叠可知，，
，
，
，，


，
同理，

，
，




．
故答案为：．
先证明∽，∽，又点为线段的中点，从而可得为线段的中点，同理可证、依次为线段、、的中点．结合相似三角形的性质可得的上的高与的上的高之比为：，所以的上的高为，同理可得的上的高为，从而，以此类推来求，从而找到的面积规律．
本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律．
 17.【答案】解：原式

．
把代入，原式．
 【解析】先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 18.【答案】


解：人，
即估计该校学生平均每天睡眠时间不足的有人．
 【解析】解：本次共调查了人，故答案为：；
组学生有：人，
见答案

根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生；
根据中的结果可以计算出组的人数，然后即可补全条形统计图；
根据统计图图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 19.【答案】解：小明随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为．
 【解析】直接利用概率公式求解即可；
根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 20.【答案】解：设小杰平均每分钟清点图书本，则小江平均每分钟清点图书本，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：小杰平均每分钟清点图书本，小江平均每分钟清点图书本．
 【解析】设小杰平均每分钟清点图书本，则小江平均每分钟清点图书本，利用时间清点图书的总数平均每分钟清点图书的数量，结合小江清点完本图书比小杰清点完本图书少用了，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟清点图书数量，再将其代入中可求出小江平均每分钟清点图书数量．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 21.【答案】解：山坡的坡度：，
：，
，
，
：，
，
在中，，
，
即树的高度约为．
 【解析】先求出，再由锐角三角函数定义即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和坡度坡角定义，求出的长是解题的关键．
 22.【答案】证明：如图，连接，

，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：如图，过点作于，连接，，则，
，
四边形是矩形，
，，

设的半径为，
中，，，
，
，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径是．
 【解析】如图，连接，先根据四边形内接于，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；
如图，过点作于，连接，，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，设的半径为，根据勾股定理列方程可得结论．
本题考查了切线的判定，圆的有关知识，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是本题的关键．
 23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入，
可得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
设销售收入为万元，
，
与之间的函数关系式为；
设销售总利润为，
，
整理，可得：，
，
，
当时，有最大值为，
原料的质量为吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元．
 【解析】利用待定系数法求函数关系式；
根据销售收入销售价销售量列出函数关系式；
设销售总利润为，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中销售量，销售价，销售利润之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键．
 24.【答案】证明：如图中，

，，
是等边三角形，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌．

解：结论：．
如图中，过点作于．
，
可以假设，，则，，
，
，，，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
．

如图中，过点作交的延长线于作点关于的对称点，连接，，过点作于．
，
由可知，，，，
∽，，，
全等三角形对应边上的高的比等于相似比，
，
点的运动轨迹是射线，
，关于对称，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
 【解析】首先证明，都是等边三角形，再根据证明三角形全等即可．
结论：利用相似三角形的性质解决问题即可．
如图中，过点作交的延长线于作点关于的对称点，连接，，过点作于利用相似三角形的性质求出，推出点的运动轨迹是射线，利用面积法求出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题．
 25.【答案】解：令，则，
点坐标为，
令，则，
，
点坐标为，
令，则，
点坐标为，
将，两点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
抛物线的表达式为：；
设，
四边形为平行四边形，
由平移与坐标关系可得，
点在抛物线上，
，
，
，
点的坐标为或；
第一种情况：如图，当轴时，分别过，作轴的垂线，垂足分别为，，
在直角中，，，
，
，
，
，
直线与直线关于直线对称，
，
轴，
，
，
，
，

令，则，
点坐标为，
设直线的解析式为，代入点得，，
直线的解析式为，
联立，
解得，，
点的横坐标为或，
第二种情况，如图，当轴时，设交轴于，
，
直线与直线关于直线对称，
，
，
过作于，
轴，
，
，
，
，
，
，
，轴，
，
四边形为矩形，
，，
，
点的坐标为，
直线的解析式为，
联立，
化简得，，
，
点在直线下方，
，
，
点的横坐标为，
即点的横坐标为或或．
 【解析】先由直线解析式求出，，的坐标，再由，坐标求出抛物线解析式；
因为直线与坐标轴平行，所以轴和轴分类讨论，以轴为例，画出草图，由于平分，又，等量代换，可以证得是等腰三角形，求出的长度，并且有和点坐标，求出的三角函数值，过作轴于，在直角中，利用的长度，和的三角函数值，求出和的长度，得到点坐标，进一步得到直线的解析式，联立直线和抛物线解析式，求得交点点坐标，当轴，用同样的方法解决．
本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时，对于“平行线角平分线”这种条件，要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三角形的能力也有一定要求．