2021年辽宁省营口市中考数学试卷（含答案解析）

2021年辽宁省营口市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术下列四个剪纸图案中，是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 中央财政下达年支持学前教育发展资金预算为元数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

4. 某班名男生引体向上成绩如表：

则这组数据的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，与，，分别交于点，，，且，，则下列结论错误的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，中，点为弦中点，连接，，，点是上任意一点，则度数为

A.
B.
C.
D.

9. 已知一次函数过点，则下列结论正确的是

A. 随增大而增大 B.
C. 直线过点 D. 与坐标轴围成的三角形面积为

10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与轴平行，，两点纵坐标分别为，，反比例函数经过，两点，若菱形面积为，则值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 若代数式有意义，则的取值范围是______ ．
12. 若，则的补角为______ ．
13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______ ．
14. 如图，是的中位线，为中点，连接并延长交于点，若，则 ______ ．

15. 如图，，以为圆心，为半径作弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为______ ．

16. 如图，矩形中，，，点是边上一点，，连接，点是延长线上一点，连接，且，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）

17. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
18. 为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通知识”测试，学校随机抽取了部分学生的测试成绩，并根据测试成绩绘制两种统计图表不完整，请结合图中信息解答下列问题：
    学生测试成绩频数分布表

表中的值为______ ，值为______ ；
求扇形统计图中部分所在扇形的圆心角度数；
若测试成绩分以上含分为优秀，根据调查结果请估计全校名学生中测试成绩为优秀的人数．

19. 李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同不透明的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：转移注意力，合理宣泄，自我暗示，放松训练．
    若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是______ ；
    若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊走后不放回，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了元，购买“文学类”图书花费了元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多本．
    求这两种图书的单价分别是多少元？
    学校决定再次购买这两种图书共本，且总费用不超过元，求最多能购买“科普类”图书多少本？
    
    
    
    
    
    
     
21. 小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在处时，处学校和处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了到达处时，处图书馆在他的北偏东方向，然后他由处继续向正东方向跑到达处，此时处学校在他的北偏西方向，求处学校和处图书馆之间的距离结果保留整数
    参考数据：，，，，，

22. 如图，是直径，点，为上的两点，且，连接，交于点，的切线与延长线相交于点，为切点．
    求证：；
    若，，求的长．
    
    
     

23. 某商家正在热销一种商品，其成本为元件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少商家决定当售价为元件时，改变销售策略，此时售价每增加元需支付由此产生的额外费用元该商品销售量件与售价元件满足如图所示的函数关系其中，且为整数．
    直接写出与的函数关系式；
    当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

24. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，，为边中点，连接，且、、三点恰好在一条直线上，交于点，连接，．
    求证：；
    猜想，，之间的数量关系，并证明；
    若，，请直接写出线段，的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，其中与轴交于点，且．
    求点坐标；
    点为线段上一动点不与，重合，过点作平行于轴的直线与的边分别交于，两点，将沿直线翻折得到，设四边形的面积为，在点移动过程中，求与的函数关系式；
    在的条件下，若，请直接写出所有满足条件的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
，
故选：．
先写出的范围，再写出的范围．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：出现的次数最多，出现了次，所以众数为；
第个数是，所以中位数为．
故选：．
根据中位数与众数的定义，众数是出现次数最多的一个，从小到大排列后，中位数是第个数，解答即可．
本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

5.【答案】
 

【解析】解：和，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
A.直接利用合并同类项法则计算判断即可；
B.直接利用单项式除以单项式计算得出答案；
C.直接利用完全平方公式计算得出答案；
D.直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项、单项式除以单项式、完全平方公式、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，

六边形是正六边形，
，
，
，
，，
，
故选：．
由正六边形的内角和及三角形的内角和求得，根据平行线的性质得到．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，故A不符合题意；
，
，
，故B不符合题意；
，
，故C符合题意；
，，
，故D不符合题意．
故选：．
先根据平行线的判定可得，根据直角三角形的性质可得，根据含的直角三角形的性质可得，再由平行线的性质得到，即可得出结论．
本题考查的是垂线，平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
 

8.【答案】
 

【解析】解：作所对的圆周角，如图，
，，
平分，
，
，
，
．
故选：．
作所对的圆周角，如图，先利用等腰三角形的性质得到平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：求出所对的圆周角的度数是解决问题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：把点代入一次函数，得，
，
解得，
，
A、，随增大而减小，选项A不符合题意；
B、，选项B不符合题意；
C、当时，，解得：，
一次函数的图象与轴的交点为，选项C符合题意；
D、当时，，与坐标轴围成的三角形面积为，选项D不符合题意．
故选：．
把点代入一次函数，求得的值，根据一次函数图象与性质的关系对、、进行判断；根据题意求得直线与坐标轴的交点，然后算出三角形的面积，即可对进行判断断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数、为常数，是一条直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为，与轴交点．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
、两点的纵坐标分别是、，反比例函数经过、两点，
，，即，，
，
，
又菱形的面积为，
，
即，
整理得，
解得，
函数图象在第二象限，
，即
方法二：过点作于点，

、两点的纵坐标分别是、，
，
菱形的面积为，
，
，
，
，

解得：
故选：．
根据函数解析式和、点的纵坐标，分别写出、点的坐标，根据菱形的面积，得出关于的方程，解方程得出正确取值即可．
本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有的代数式表示出菱形的面积是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】
 

【解析】解：的补角．
故答案为：．
根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解．
本题考查了余角和补角，是基础题，熟记补角的概念是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】
 

【解析】解：是的中位线，
、分别为、的中点，
如图过作交于点，
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，，
点为的中点，且，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
，
是的中位线，
，
故答案为：．
过作交于点，，根据证≌，得出，根据等高关系求出的面积为，证得是的中点，得出，从而得出梯形的面积为，进而得出的面积为，同理可得，即可得出的面积．本题主要考查相似三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由作法得平分，，
，
的长度为，
作过点关于的对称点，连接交于，连接，如图，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
此时的值最小，
阴影部分周长的最小值为
故答案为
利用作图得到，，则根据弧长公式可计算出的长度为，过点关于的对称点，连接交于，连接，如图，证明为等边三角形得到，接着利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，从而得到阴影部分周长的最小值．
本题考查了作图复杂作图：求出的最小值为解决问题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，过点作于．

四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，连接，过点作于证明，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明．
 

17.【答案】解：原式


，
当时，
原式．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由二次根式的性质、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值得出的值，继而代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值、二次根式的性质及绝对值的性质．
 

18.【答案】解：，

扇形统计图中部分所在扇形的圆心角度数是：；

人．
答：估计全校名学生中测试成绩为优秀的人数为人．
 

【解析】根据题意得：抽取学生的总数：人，
人，
人，
故答案为：，；
用的频数和百分比先求出总人数，再根据频数总数百分比求出的值，然后用总数减去、、的人数即可求出的值；
先求得部分所占的比例，然后乘以度，即可求得部分所对应的圆心角的度数；
用全校的总人数乘以试成绩分以上含分的人数所占的比即可．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】
画树状图如图：

共有种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有种，
小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为．
 

【解析】若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是，
故答案为：；
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设“文学类”图书的单价为元本，则“科普类”图书的单价为元本，
依题意：，
解之得：．
经检验，是所列分程的根，且合实际，
所以．
答：科普类书单价为元本，文学类书单价为元本；
设“科普类”书购本，则“文学类”书购本，
依题意：，
解之得：．
因为是正整数，
所以．
答：最多可购“科普类”图书本．
 

【解析】首先设“文学类”图书的单价为元本，则“科普类”图书的单价为元本，根据题意可得等量关系：元购买的科普类图书的本数用元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
设“科普类”书购本，则“文学类”书购本，根据“费用不超过元”列出不等式并解答．
此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程不等式，注意分式方程不要忘记检验．
 

21.【答案】解：过作于，
设，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
过作于，
，，
，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
即处学校和处图书馆之间的距离约是．
 

【解析】过作于，过作于，设，在直角三角形中，利用三角函数即可表示出与，根据即可列方程，从而求得的长，进一步求得的长，在直角三角形中，利用三角函数即可求出与，即可求得，从而求得．
本题考查了直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握方向角的概念，正确作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
是直径，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：是直径，
，
，，
，
，，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】利用是直径，是的切线，得到，利用得到，进而证得，根据等角对等边即可证得；
利用勾股定理求得，利用∽得到，求得，根据即可求得．
本题考查切线的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据切线的性质和圆周角定理得到角．
 

23.【答案】解：设线段的表达式为：，
将点、代入上式得：
，
解得：，
函数的表达式为：，
设线段的表达式为：，
将点、代入上式得：
，
解得：，
函数的表达式为：，
与的函数关系式为：；
设获得的利润为元，
当时，，
，
当时，有最大值，最大值为元；
当时，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大，最大值为：元，
综上，当售价为元时，该商家获得的利润最大，最大利润为元．
 

【解析】先设出一次函数关系式，分和两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；
设获得的利润为元，分当时和当时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，关键要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在处取得．
 

24.【答案】证明：连接．
，，，
，．
，
，
，
≌，
．

结论：．
理由：，都是等腰直角三角形，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
．

解：设．
，，
∽，
，
，
，
，
在中，，
，
，
或舍弃，
，
，
．
 

【解析】连接，证明≌，可得．
结论：利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论．
设证明∽，可得，推出，推出，，在中，根据，构建方程求出即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明≌，≌，∽．
 

25.【答案】解：抛物线过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为，
如图中，设交轴于．
，，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为，
由，解得即点或，
．

对于抛物线，令，得到，解得或，
，
，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
，，
，
．
当时，如图中，，
，，
，
．
综上所述，．

直线交轴于，，
当时，，
解得或都不符合题意舍弃，
当时，，
解得或舍弃或或舍弃，
综上所述，满足条件的的值为或．
 

【解析】如图中，设交轴于利用待定系数法求出，，解直角三角形求出点的坐标，求出直线的解析式，构建方程组确定点的坐标即可．
分两种情形：当时，当时，分别求出，根据，构建关系式即可．
分两种情形：根据，构建方程求出即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，四边形的面积等知识，解题的关键是求出直线与轴的交点，确定直线的解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．