山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试模拟检测数学试题（三） Word版含解析

山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年第二学期高一数学期中模拟检测(三)

（时间：120分钟  满分150分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 设是纯虚数，是虚数单位，若是实数，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设，根据复数除法将复数表示为一般形式，由题意得出该复数的虚部为零，可求出实数的值，由此可得出复数的值.

【详解】为纯虚数，设（且），

则，

又实数，，即，因此，.

故选：A.

【点睛】本题考查利用复数类型求复数，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.

2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

详解：根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

3. 已知非零向量，满足，且，则的形状是　　

A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形

C. 等腰（非等边）三角形 D. 等边三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状．

【详解】解：，，分别为单位向量，

的角平分线与垂直，

，

，

，

，

三角形为等边三角形．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．

4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，

高中生的近视人数为，故选B.

【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.

5. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可

【详解】记两道题分别为A，B，

所有抽取务情况为，，，，，，，，(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种，其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为，，，，共4种.

故所求事件概率为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了古典型概率的计算，列举法是确定基本事件的常用方法，属于基础题.

6. 已知所在平面内的一点满足，则（    ）

A. 1∶2∶3 B. 1∶2∶1 C. 2∶1∶1 D. 1∶1∶2

【答案】B

【解析】

【分析】

延长至，可得出点是的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】延长至，使得，于是有，即点是的重心，依据重心的性质，有.由是的中点，得.

故选：B

【点睛】本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。

7. 已知外接圆半径为6的三边为，面积为,且,则面积的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正弦定理可得，再根据面积公式和余弦定理可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，最后利用基本不等式可得的最大值，从而可得面积的最大值.

【详解】因为外接圆的半径为，所以可化为：

，即，

由余弦定理可得，因，故，

即，而，故，

由可以得到，故，当且仅当时等号成立，

所以，故选C.

【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式以及基本不等式，属于中档题.

8. 在中，，，，则在方向上的投影是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

将转化为，将两边平方，证得，在直角三角形中，求得夹角的余弦值，以及 ，代入公式求得题目所求在方向上的投影.

【详解】，两边平方并化简得，即，故三角形为直角三角形，所以，.所以在方向上的投影.故选D.

【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积，考查向量投影的计算，属于基础题.

二、多选题（每小题5分，共20分）

9. 已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确的是(    )

A. z不可能为纯虚数 B. 若z的共轭复数为,且,则z是实数

C. 若,则z是实数 D. 可以等于

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.

【详解】当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由得,又,因此,,无解,即不可以等于,D错误.

故选：BC

【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.

10. （多选题）关于平面向量，下列命题中错误的是（    ）

A. 若，则存在使得. B. 若为非零向量且，则的夹角为直角.

C. 若，则 D.

【答案】CD

【解析】

【分析】

利用共线向量定理和向量数量积的定义与运算律逐项判断后可得正确的选项.

【详解】由共线向量定理可知选项A正确；

因为为非零向量，故当时，它们的夹角为，所以，选项B正确；

因为，所以，所以选项C错误；

对于非零向量，当与不共线，且时，，所以，选项D错误.

故选：CD.

【点睛】本题考查对向量数量积的运算律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律和结合律，本题属于基础题.

11. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有(    )

A. 若,则点O为的重心

B. 若,则点O为的垂心

C. 若,则点O为的外心

D. 若,则点O为的内心

【答案】AC

【解析】

【分析】

逐项进行分析即可.

【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心；

选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；

选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心；

选项D，由得，

∴，即，

∴．同理可证，

∴，，，即点O是的垂心；

故选：AC．

【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题．

12. 甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（    ）

A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同

B. 甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大

C. 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）

D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据图表直接计算平均数、方差和众数与甲、乙两班学生每分钟输入汉字数≥150个的人数分析即可.

【详解】甲、乙两班学生成绩的平均数都是35，故两班成绩的平均数相同，A正确；，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B正确.

甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误.

故选：ABC

【点睛】本题主要考查了根据平均数、方差和众数分析实际意义的问题,属于基础题型.

三、填空题（每小题5分，共20小题）

13. 已知复数z的模为1，则的最大值是________，最小值是________.

【答案】    (1). 4    (2). 0

【解析】

【分析】

首先设，结合z的模为1，即可求得的轨迹，结合图像即可求解.

【详解】设，则，则，故所对应的点在以(0,1)为圆心，1为半径的圆上，故到原点的最大距离为2，最小距离为0，所以的最大值是4，最小值是0.

故答案为：4,0

【点睛】本题考查复数的几何意义，恰当转化是关键，属于中档题.

14. 若向量＝(k，3)，＝(1，4)，＝(2，1)，已知2－3与的夹角为钝角，则k的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由夹角为钝角，则数量积为负数，再排除(2－3)∥对应的参数值，即可求得结果.

【详解】∵2－3与的夹角为钝角，

∴(2－3)<0，

即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.

又若(2－3)∥，

则2k－3＝－12，即k＝－.

当k＝－时，2－3＝(－12，－6)＝－6，

此时2－3与反向，不合题意.

综上，k的取值范围为∪.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据向量夹角范围求参数范围，属基础题.

15. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值______，病人等待时间方差的估计值______.

【答案】    (1). 9.5    (2). 28.5

【解析】

【分析】

直接套用平均数公式与方差公式，即可得到本题答案.

【详解】（1）；

（2）

故答案为：（1）9.5；（2）28.5

【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属基础题.

16. 如图，在中，，D为边上的点，E为上的点，且，，，则_______；若，则______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

可得出，在三角形中，由余弦定理可求出的值，在中，利用正弦定理求出的值，再由三角形的外角定理得出，从而得知为钝角，然后利用两角差的余弦公式得出的值.

【详解】由题意可得，

在中，由余弦定理得，

即，整理得，

解得（负值舍去）；

，在中，由正弦定理得，

即，所以.

因为点在边上，所以，而，

所以只能为钝角，所以，

.

故答案为：；.

【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同时也涉及了利用三角形的外角定理来求三角函数值，考查计算能力，属于中等题.

四、解答题（17题10分，其它题目每题12分，共70分）

17. 已知复数，，其中为实数，为虚数单位.

（1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围；

（2）若是实数（是的共扼复数），求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据复数对应点所在的象限得出关于实数的不等式组，解出即可；

（2）根据是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数的值，再利用复数的模长公式可计算出的值.

【详解】（1）复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，即.故实数的取值范围是；

（2），，

.

是实数，，解得，

，.

【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.

18. 设是两个不共线的向量，已知.

（1）求证：，，三点共线；

（2）若，且，求实数的值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）证明，，三点共线，只需证明与共线，根据向量减法的三角形法则求出，利用向量共线定理可证.
（2）由，则，再将条件代入，由是两个不共线的向量，从而可求解.

【详解】解析（1）由已知得.

.

又与有公共点，，，三点共线.

（2）由（1）可知，又，

∴可设，

，即，解得.

【点睛】本题考查向量共线定理、减法的三角形法则，考查学生分析解决问题的能力．属于基础题.

19. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.

(1)求出表中M，p及图中a的值；

(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；

(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．

【答案】见解析

【解析】

(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以

M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.

(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.

(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是＝17.5.因为n＝＝

0.6，所以样本中位数是15＋≈17.1，估计这次学生参加社区服务人

数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋

27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.

考点：中位数、众数、平均数.

20. 已知分别为内角对边，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）已知点在边上，，，求．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由余弦定理化简已知可得，可求得，结合范围，可求的值．

（Ⅱ）由已知可求得，由余弦定理求得的值，可求的值，在中，由余弦定理可得的值．

【详解】解：（Ⅰ）∵，

∴整理可得：，

∴，

∵，

∴，

（Ⅱ）∵，，，可得：，

∴由余弦定理，可得，可得：，

∴解得： （负值舍去），

∴，

∴中，由余弦定理可得：．

【点睛】本题主要考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题．

21. 中学生研学旅行是通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动，是学校教育和校外教育衔接的创新形式，是综合实践育人的有效途径.每年暑期都会有大量中学生参加研学旅行活动.为了解某地区中学生暑期研学旅行支出情况，在该地区各个中学随机抽取了部分中学生进行问卷调查，从中统计得到中学生暑期研学旅行支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.

（1）利用分层抽样在，，三组中抽取5人，应从这三组中各抽取几人？

（2）从（1）抽取的5人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率；

（3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值.

【答案】（1）从这三组中抽取的人数分别为3，1，1（2）（3）百元

【解析】

【分析】

（1）利用分层抽样和频率分布直方图先求出再各区间的比例，再求出人数；

（2）先求出基本事件的总数，再求出这2人不在同一组的基本事件数，再求概率即可；

（3）由频率分布直方图的性质和平均数的计算公式即可求解.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，，三组的频数的比为

，

所以从中抽取：人，

从中抽取：人，

从中抽取：人，

所以从这三组中抽取的人数分别为3，1，1；

（2）记中的3人为，，，中的1人为b，中的1人为c，

从这5人中随机选出2人，则样本空间

含个样本点，

设事件A：选出的2人不在同一组，

则含7个样本点，

所以；

（3），

估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值为百元.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质、分层抽样、平均数的求法和古典概型，考查学生的计算能力，属于基础题.

22. 在中，角、、的对边分别是，，满足.

（1）求角的值；

（2）若且，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

(1)化简所得的三角函数式，结合三角形的性质可得角的值；

(2)利用正弦定理将边的取值范围问题转化为三角函数求值域的问题，结合角的范围即可确定的取值范围.

【详解】（1） ，

化简得，所以.

（2）由正弦定理得 ，

则，，

所以，

因为，所以，，

所以

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．