专题13 动点最值之隐圆模型--中考数学必备几何模型讲义（全国通用）

专题13 动点最值之隐圆模型

模型一、动点定长模型

若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径             

例. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________．

【答案】．

【解析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．

构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可，答案为．

【变式训练1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．

【解析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案为1.2.

【变式训练2】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．

【答案】8

【解析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．

模型二、直角圆周角模型

固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径

例.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．

【答案】

【解析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，

∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．

当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．

【变式训练1】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（    ）

A．2－2 B．2 C．3－1 D．2

【答案】A

【详解】由题意得：BM＝CN，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，

在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，

∵∠ABP＋∠CBN＝90°，∴∠ABP＋∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG，是这个圆的，

连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，

∴PC＝OC−OP＝2−2；

故选：A．

【变式训练2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．　

【解析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．答案为

【变式训练3】如图，点M是矩形ABCD的边BC、CD上的点，过点B作BN⊥AM于点P，交矩形ABCD的边于点N，连接DP，若AB=6，AD=4，则DP的长的最小值为（ ）

A．2 B． C．4 D．5

【答案】A

【详解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，

∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，

连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：

∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝AB＝3，OD＝＝＝5，

∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A．

模型三、四点共圆模型

固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆

例.如图，∽，，，，是的中点，若点是直线上的动点，连接，则的最小值是（    ）　

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：∵△ABC∽△ADE，ADE＝∠ABE，∴点A，D，B，E四点共圆，

∵∠DAE＝90°，∴∠DBE＝90°，∵F是DE的中点，∴BF＝DE，∴当DE最小时，BF的值最小，

∵若点E是直线BC上的动点，∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，

∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5，∴AE＝，

∵△ABC∽△ADE，∴，∴，

∴DE＝4，∴BF＝2，故选B．

【变式训练1】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为　　．

【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，∴点A，F，C，D四点共圆，

∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，

∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，

∵DF⊥AB，∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，

∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，

∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD+2，∵DF2＝AF2+AD2，∴（2+AD）2＝62+AD2，解得：AD＝8，∴DF＝10，

∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，∴＝，∴DE＝＝＝，

故答案为：．

【变式训练2】如图，为菱形内一动点，连接，，，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】如图，连接．在菱形中，

．又．∴是等边三角形，∴，．

又∵．∴动点一定在的外接圆的劣弧上，

∴．在上取，连接．

∵，，，∴，，，

，∴为等边三角形，，．

当为的直径时，的值最大，此时，．

又，的最大值为．故选：B．

【变式训练3】如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且∠ADB＝90°，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为_____．

【答案】12．

【详解】解：在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，，

，，

∵∠ADB＝90°，共圆

取的中点 连接，过点作于点

如图，当时， 最大，此时， ，

，四边形是矩形，，

，

故答案为：12．

课后训练

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．

【解析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，．

2．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　）

A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3

【答案】B

【详解】解：如图，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，

∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴，O′E＝2，

在Rt△BCO′中，，

∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，

故选：B．

3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以AB为边向右作等边ABE，F为边CD上一点，DF＝2，连接EF，则EF的最小值为___．

【答案】-6

【详解】解：如图，在AB上取点O，使得AO=2，则AO=DF，

∵AO∥DF，∴四边形AOFD是平行四边形，

∴OF=AD=6，即：点F在以O为圆心，6为半径的圆上，

连接OE，当点F恰好在OE上时，EF最小，过点E作EH⊥AB，

在等边ABE中，AB=AE=8，AH=4，∴HE=，

∵在RtOHE中，OH=4-2=2，∴OE=，

∴EF=-6，即EF的最小值为-6．

4．如图，正方形的边长为5，点O是中心，点M在边上，连接，，过O作，交边于点N．若，则的长是__________．

【答案】3

【详解】连接MN、OC，∵∠MON＝ ，∠MBN＝，∴M、O、N、B四点共圆，

∴∠BOM+∠BNO＝，

∵∠BNO+∠ONC＝，∴∠BMO＝∠ONC，

∵点O是正方形ABCD的中心，∴OB＝OC，∠BOC＝，

∵∠MON＝∠MOB+∠BON＝，∠BOC＝∠BON+∠NOC＝，

∴∠MOB＝∠NOC，∴△MOB≌△NOC，∴NC＝MB＝2，

∵正方形ABCD的边长为5，∴BC＝5，∴BN＝BC﹣NC＝5﹣2＝3．故答案为：3．

5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为　8　．

【解答】解：如图，连接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，

∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，

当点Q、E、B共线时BE最小，

∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE的最小值为8，

故答案为8．

6．如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于．若，，则的最小值为（      ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【详解】如图1，过点E作于F，

∵，∴，∴，∴，

∵AC是定值，∴当EF取最大值时有最小值，又∵，∴A，B，E，C四点共圆，

设AB的中点为O，连接OE，当时，EF有最大值，

如图2，当点E是中点时，EF的值最大，

此时，E，F，O共线．∵，，∴，∴，

∵，∴，∴，∴，

∴，∴的最小值为．故选Ｄ．

7.如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　  　．

【解析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．

重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．

∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．答案为　

8.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为　　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，

∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，

设点G到AC的距离为h，

∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，

∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，

∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，

∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，

延长EG交AC于H，则EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，

∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝．

故答案为：