专题15 动点最值之阿氏圆模型--中考数学必备几何模型讲义（全国通用）

专题15 动点最值之阿氏圆模型

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：

易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.

对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需

【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

②计算出这两条线段的长度比

③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，

④则，当A、P、C三点共线时可得最小值

例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）

A．7 B．5 C． D．

【答案】B

【详解】如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．

∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，

∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，

∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，

∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．

例2.在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值_____________的最小值_______

【答案】       

【详解】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，

∵⊙A的半径为6，即AP=6，∴，又，且，

∴，∴，∴，∴，

当三点共线时，的值最小，最小值为的长，

过C作CI⊥AB于I，∴，

在Rt△CIB中，∵，BC=8，，∴，

∴，，

在Rt△CIQ中，，∴的最小值为；故答案为：；

②连接AP，由①得：在Rt△CIA中，，

在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，

∴，

∵，∴，且，∴，

∴，

∴，∴，

当三点共线时，的值最小，最小值为的长，

过G作GH⊥AB于H，∴，

在Rt△CIA中，，在Rt△GAH中，，

∴，

∴，，

在Rt△GHB中，，

∴的最小值为．

故答案为：．

例题3. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．

【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．

【变式训练1】如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______

【答案】       

【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，作DF⊥BC交BC延长线于F．

∵，，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，

∵，∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，

在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2，CF=2，

在Rt△GDF中，DG，故答案为：；

②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N．

∵四边形ABCD是菱形，且，　∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，

∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，∴，，

∴，且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴，

∴，∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，

在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=，∴CN=4-，

∴MC=，∴的最小值为．

【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则的最小值为                 ，的最大值为                 .

【答案】最小值为5，最大值为5

【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示：

∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴，

在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为；

当点P在DG的延长线时，的值最大，如图所示：此时最大值也是DG，最大值为5.

【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值是             .

【答案】5

【解析】取点K（1，0），连接OP、PK、BK，如图所示：

∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，，

∵∠POK＝∠AOP，∴△POK ∽△AOP，

，

在△PBK中，，的最小值为BK的长，

∵B（4，4），K（1，0），，∴的最小值为5.

【变式训练4】如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________．

【答案】．

【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F，

∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=，∴，

∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴，∴PH=，

当B、P、H共线时，的最小，最小值为BH长，

BH=；故答案为：．

课后训练

1.如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，

∵，，∴，∵G是BE的中点，∴，∴，

∵，∴，∴，∴，

则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，

．故选：C．

2.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2PD＋PC的最小值是             .

【答案】

【解析】依题意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135º，∴点P的轨迹是以原点为圆心，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DF⊥OC于点F，如图所示：

，∠POC＝∠EOP，∴△POC ∽△EOP，，，

，

当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最小，最小值为DE的值，

∵DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，，∴的最小值为2DE.

3.如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值______________的最小值_______

【答案】       

【详解】①在BC上取点D，使CD=BC=1，连接AD，PD，PC，

由题意知：PC=2，∵，∠PCD=∠BCP，∴，∴，

且，∴，

∴的最小值为，故答案为：；

②在AC上取点E，使CE=，连接PE，BE，PC，

∵，，∴，且∠PCE=∠ACP，

∴，∴，∴，∴，

∴，∴的最小值为，故答案为：．

4.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，点P为弧AB上一动点，求的最小值.

【答案】

【解析】当A、P、D三点共线时，的值最小.

连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：

∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,

∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,

∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90º

∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC是正方形,

，∴PC＋PD＝PM＋PD＝DM,

∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"可知此时PC＋PD的值最小，

最小值为.

5.（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：

（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小值；

（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．

【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；

∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，

∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．

（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．

∵PA2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴PA2＝AE•AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，

∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，

∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，

在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，

∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．

（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．

∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，

∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，

∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．

6.如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．

【解答】（1）；（2）m＝2；（3）

【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，

∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或，

∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴＝4，∴a＝．

∵A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线AB解析式为．

（2）如图1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，

∴，

∵NE∥OB，∴，∴AN＝（4﹣m），

∵抛物线解析式为，

∴PN＝﹣（）＝，

∴，解得m＝2．

（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，

∴，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，

∴，∴M′E′＝BE′，

∴AE′＋BE′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），

最小值＝AM′＝．