专题05 一线三垂直模型--中考数学必备几何模型讲义（全国通用）

专题05 一线三垂直模型

模型一、一线三垂直模型（全等三角形）

如图所示，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA

例.如图，将边长为5正方形OACD放在平面直角坐标系中，О是坐标原点，点D的坐标为横坐标为3，求A的坐标．

【答案】

【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，∴

∵四边形OACD是正方形，∴，，∴，

又∵，∴，

在和中，，∴，∴，，

∵正方形边长为5，点D的横坐标为3，即，，∴

∴，，又∵点A在第二象限，∴点A的坐标为，

答：点A的坐标为．

【变式训练1】如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．

【答案】3

【详解】解：∵，，∴，∴．

∵，∴．

在和中，，∴≌（AAS），

∴，，

∴．

【变式训练2】如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________ 

【答案】

【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC．

∵CD⊥BD，BO⊥AO，∴∠CDB＝∠BOA＝90°．

∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD．

在△ABO和△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD＝AO，CD＝BO，

∵A（4，0），B（0，6），∴BD＝4，CD＝6，∴点C的坐标为，

故答案为：．

【变式训练3】在平面直角坐标系中，，点在第一象限，，

（1）如图，求点的坐标．

（2）如图，作的角平分线，交于点，过点作于点，求证：

（3）若点在第二象限，且为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．

【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或或

【详解】解：如图中，作垂足为，

，，，

在和中，

，

点坐标；

如图，延长相交于点，

，

在和中，，，，

在和中，，，；

（3）①如图，，，过点P作轴于点D，

在和中，，∴，

∴，，

∴，∴；

②如图，，，过点P作轴于点D，

在和中，，∴，∴，，

∴，∴；

③如图，，，过点P作轴于点E，过点A作于点D，

∵，，∴，

在和中，，∴，

设，，

∵，，∴，解得，

∴，，

∴；

综上：点P的坐标是或或．

模型二、一线三垂直模型（相似三角形）

如图，∠B=∠C=∠APE推出△ABP∽△PCD（一线三等角）

例．如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长度为________．

【答案】

【详解】解：在中，设，，，解得：，

，，

，

，，

，，

，

，，

，

，故答案为：．

【变式训练1】如图，在平面直角坐标系内，矩形的顶点与原点重合，点在第二象限，点和点在第一象限，对角线的中点为点，且点在反比例函数的图像上，若点的纵坐标为4，且，则的值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】如图，过点C作FE⊥x轴，垂足为E，过点B作BF⊥EF，垂足为F，设点C（a，b），则OE=a，EC=b，

∵四边形OCBA是矩形，∴∠BCO=90°，∴∠OCE+∠FCB=90°，

∵∠FBC+∠FCB=90°，∴∠FBC=∠ECO，

∵∠F=∠CEO=90°，∴△ECO∽△FBC∴，

∴FB=EC=b，FC=EO=a，

∵点的纵坐标为4，∴FC+EC=4，∴a +b=4，

过点B作BM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，

则四边形BFEM是矩形，BM=4，∴OM=OE-ME=a-b，

∵的中点为点，∴DN是三角形OBM的中位线，

∴DN=2，ON=，∴点D（，2），

∵点在反比例函数的图像上，

∴×2=ab，∴a-（4-a）=a（4-a），

∴a-4+3a=4a-，∴=4，∴a=2或a= -2，

∵点C在第一象限，∴a＞0，∴a= -2 不符合题意，舍去，∴a=2，

∴b=4-a=4-2，∴k=ab=2（4-2）=，

故选A．

【变式训练2】如图，在正方形中，点在上，交于点．

（1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．

【答案】见解析

【解析】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，

∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．

在△ABE和△DEF中，∴△ABE∽△DEF ；

（2）∵△ABE∽△DEF，∴，

∵△ABE∽△EBF，∴，∴，∴DE=AE，∴点E为AD的中点．

【变式训练3】如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．

【答案】

【详解】解：点在直线上，点的横坐标为2，

点纵坐标为1．

分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；

,

类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有

，

不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：

，，

，

按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长，故答案是：．

课后训练

1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE，∠AED＝∠B，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，

∴∠DEC＝∠BAE，

∴△BAE∽△CED，∴，

∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE，∴，∴CE，

故选：C．

2.如图，，，且，，，点P是线段DB上一动点，当______时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．

【答案】2或12或5.6

【详解】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，∴∠D=∠B= 90°，

设DP= x,当PD：AB= CD ：PB时，△PDC△ABP，∴，解得DP = 2或12，

当PD：PB= CD：AB时，△PCD△PAB，∴，

解得DP= 5.6，∴DP = 5.6或2或12．故答案为：2或12或5.6．

3.如图，点A为反比例函数图象上的一点，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点B落在第一象限的反比例函数上，已知点B的横坐标是纵坐标的两倍，则________．

【答案】

【详解】解：∵点B的横坐标是纵坐标的两倍，

∴，可得：或（舍），则x=6，即B（6，3），

过点A作y轴的出现，交y轴于点C，过点B作AC的垂线，交AC的延长线于点D，则CD=6，

∵△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB=90°，OA=AB，即∠OAC+∠BAD=90°，

∵∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BAD=∠AOC，又∠OCA=∠D=90°，∴△OAC≌△ABD（AAS），∴OC=AD，AC=BD，

∴AC=BD=OC-3，AC=CD-AD=CD-OC=6-OC，即OC-3=6-OC，∴OC=，∴AC=OC-3=-3=，

∴点A的坐标为（，），代入，∴，故答案为：．

4.如图，，且，，，在上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，若存在，求的长，若不存在，请说明理由．

【解析】解：存在．∵，，∴，设，则．

①时，，即，解得，，

∴当或12时，；

②当时，，即，解得，

∴当时，．

综上所述，当或12或8.4时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似．

5.在中，，，，点在上，且，过点作射线（与在同侧），若点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒．连结、．

（1）如图①，当时，求证：；

（2）如图②，当于点时，求此时的值．

【答案】（1）见解析；（2）8秒

【详解】（1）证明：，

，即

又，

又，

又，，

在和中，

（2），，即

又，

又，

在和中

，

即秒．

6.如图，在矩形中，为中点，交于，连结．

⑴与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．

⑵设，是否存在这样的值，使得与相似，  若存在，证明你的结论，并求出的值；若不存在，说明理由．

【详解】⑴ 相似．在矩形中，．因为，

、、共线，所以．

又∵，∴

∴，∴

∵，∴

又∵，∴

⑵ 存在，由于，

∴只能是，．

由⑴知，∴．

∴．即．

反过来，在时，，，，

，∴．

∴．

7.如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．

（1）若AD＝6，P仅在边AD运动，求当P，E，C三点在同一直线上时对应的t的值．

（2）在动点P在射线AD上运动的过程中，求使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值．

【答案】见解析

【解析】（1）设AP＝t，则PD＝6﹣t，如图1所示：

∵点A、E关于直线BP对称，∴∠APB＝∠BPE，

∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，

∵P、E、C共线，∴∠BPC＝∠PBC，∴CP＝BC＝AD＝6，

在Rt△CDP中，CD2+DP2＝PC2，即：42+（6﹣t）2＝62，解得：t＝6﹣2或6+2（不合题意舍去），

∴t＝（6﹣2）s时，P、E、C共线；

（2）①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，如图2所示：

则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，

在Rt△EBM中，AN＝BM，

∵点A、E关于直线BP对称，∴∠PEB＝∠PAB＝90°，

∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，∴∠PEN＝∠EBM，∴△BME∽△ENP，

∴，即，∴NP，∴t＝AP＝AN﹣NP；

②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，如图3所示：

则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，

在Rt△BHE中，HE，

∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，

∴∠HAE＝∠APB，∴△AHE∽△PAB，∴，即，解得：t＝AP＝4，

综上所述，t或4．