2020年辽宁省本溪市中考数学一模试卷(含答案解析)

2020年辽宁省本溪市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的倒数是

A. 5 B.  C.  D.

2. 如图的几何体是由一些小正方形组合而成的，则这个几何体的俯视图是

A.
B.
C.
D.

3. 甲、乙、丙、丁四位同学在四次数学检测中，他们成绩的平均数相同，方差分别为：，，，，则成绩最稳定的是

A. 甲同学 B. 乙同学 C. 丙同学 D. 丁同学

4. 估计的值应该在       

A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间

5. 下列命题中，假命题是

A. 矩形的对角线相等
B. 矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C. 矩形的对角线互相平分
D. 矩形对角线交点到四条边的距离相等

6. 以下问题，适合用普查的是

A. 调查某一电视节目的收视率
B. 调查一批冷饮的质量是否合格
C. 调查你们班同学是否喜欢科普类书籍
D. 调查我国中学生的节水意识

7. 甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米时，可列方程为

A.  B.
C.  D.

8. 如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数的图象上，则k的值为   

A.
B.
C. 8
D. 4

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 分解因式：______．
10. 如图，已知，，则的度数为________．

11. 若与的平均数为6，则与的平均数为______ ．
12. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球4只，红球5只，黑球7只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取1只球，则取出白球的概率是______．
13. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是_________________．
14. 如图，在中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且，则的度数为          ．
    
    
     

15. 二次函数b，c为常数，的图象如图所示，下列结论：；；；；：b：：2：3，其中正确的结论有______．
     

16. 如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作直线BP与x轴正半轴相交于点P，且使，则的面积是________．
    
     

三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）

17. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
18. 某中学开学前准备购进A、B两种品牌足球，已知购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需210元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． 
    求A、B两种品牌的足球售价各是多少元？
    为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，问至少可购买A品牌足球多少个？
    在条件下，如果购买A品牌足球的数量不超过22个，问怎样购买总费用最低？最低费用为多少元？
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共8小题，共84.0分）

19. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，，求四边形EFGH的周长．
    
     

20. 设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分．规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
    
     

请根据图中的信息，解答下列问题：

在这次调查中，一共抽取了__________________名学生，图2中等级为A的扇形的圆心角等于___________________________．

补全条形统计图；

若该校共有3000名学生，请你估计该校等级为D的学生有多少名．






 

21. 在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b，除颜色外其它均相同用树状图或列表法解答问题：小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回，第二次又从袋子中摸出一个球，则小丽两次都摸到白球的概率是多少？
    
    
    
    
    
    
     
22. 某校王老师组织九班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子折线恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，在C处测得电线杆顶端A的仰角为，斜坡与地面成角，，请你根据这些数据求电线杆的高结果用根号表示
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使，连接DF．
    
    
     

判断直线DF与的位置关系，并说明理由；

当，时，求的半径．






 

24. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．莫小贝按照政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件120元，出厂价为每件165元，每月销售量件与销售单价元之间的关系近似满足一次函数：．
    莫小贝在开始创业的第1个月将销售单价定为180元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
    设莫小贝获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
    物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于250元，如果莫小贝想要每月获得的利润不低于19500元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，两个等腰直角和中，．

如图1，点E在BC上，线段AE与BD的关系是________；

把绕直角顶点C旋转到图2的位置，中的结论还成立吗？说明理由；

把绕点C在平面内自由旋转，若，，当A，E，D三点在直线上时，请直接写出AD的长．






 

26. 如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点点A在点B的右侧，与y轴交于点C．
    

求直线BC的解析式；

点F是直线BC下方抛物线上的一点，当的面积最大时，请求出点F的坐标；

在的条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

【答案与解析】

1.答案：C
 

解析：解：的倒数是，
故选：C．
根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.答案：D
 

解析：解：从几何体的上面看共有3列小正方形，右边有2个，左边有2个，中间上面有1个，
故选：D．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.答案：D
 

解析：分析
由题意易得，根据方差的意义即可得到答案．
本题考查了方差的意义：方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，越稳定．掌握方差的意义是本题解题的关键．
详解
解：，，，，
，
成绩最稳定的是丁．
故选D．
4.答案：C
 

解析：

本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出的范围先估算的范围，再估算的范围．
解：，
，
故选C．
5.答案：D
 

解析：

本题考查了命题，矩形的性质，难度不大．
利用矩形的性质分别判断后，即可确定正确的选项．
解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；
C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；
D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，
故选：D．
6.答案：C
 

解析：

本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
解：A、调查某一电视节目的收视率适合抽样调查；
B、调查一批冷饮的质量是否合格适合抽样调查；
C、调查你们班同学是否喜欢科普类书籍适合全面调查；
D、调查我国中学生的节水意识适合抽样调查；
故选：C．
7.答案：B
 

解析：

设原来的平均速度为x千米时，高速公路开通后平均速度为千米时，根据走过相同的距离时间缩短了2小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
解：设原来的平均速度为x千米时，则高速公路开通后平均速度为千米时，
由题意得，．
故选：B．

8.答案：A
 

解析：

【试题解析】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式求函数的解析式中k的值，只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作轴，轴，分别于C，D．
根据条件得到∽，得到，结合点B所在象限进一步求解即可．
解：过点A，B作轴，轴，分别于C，D．

设点A的坐标是，
则，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
因为点A在反比例函数的图象上，则，
点B在反比例函数的图象上，
又点B在第二象限，点的坐标是，
．
故选A．

9.答案：
 

解析：解：原式，
故答案为：．
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.答案：
 

解析：

本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得．
解：，
，
，
．
故答案为：．
11.答案：8
 

解析：

本题考查的是样本平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．
根据平均数的性质知，要求，的平均数，只要把数、的和表示出来即可．
解：、的平均数为6，
，
、的平均数
．
故答案为8．
12.答案：
 

解析：

此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
先求出总球的个数，再根据概率公式即可得出答案．
解：白球4只，红球5只，黑球7只，共有16个球，
取出白球的概率是；
故答案为．
13.答案：且
 

解析：

本题主要考查了分式方程的解．解答本题的关键是将a看成一个常数，然后按照分式方程的解法求出x，再根据条件即可求出a的取值范围．
解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
关于x的方程的解是正数，且，
且，
解得且．
故答案为：且．
14.答案：
 

解析：

此题考查了垂径定理与圆周角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
解：，
，
，
，
，
故答案为．
15.答案：
 

解析：

本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，会利用对称轴的范围求2a与b的关系．
根据图象的开口可确定a，结合对称轴可确定b，根据图象与y轴的交点位置可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定；根据当时，可以判断的正误；求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标是，即可判断的正误．
解：开口向下，
，
与y轴交于正半轴，
，
对称轴在y轴右侧，
，
，故正确；
二次函数的对称轴是直线，即二次函数的顶点的横坐标为，
，故错误；
抛物线与x轴有两个交点，
，故错误；
，
可将抛物线的解析式化为：；
由函数的图象知：当时，；即，故正确；
二次函数的图象和x轴的一个交点是，对称轴是直线，
另一个交点的坐标是，
，
即，，，
：b：：：：2：3，故正确；
故答案为．

16.答案：9
 

解析：

本题考查了一次函数的图像和三角形的面积，解题的关键是先计算出A、B的坐标．
根据题意求得A，B的坐标，可得OA，OB的值，再计算出AP的长度，进而利用三角形面积公式即可求得结果．
解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
，，
，，
，
点在x轴正半轴，
，
．
故答案为9．
17.答案：解：
，
当时，原式．
 

解析：根据分式的乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求得的方法．
18.答案：解：设购买一个A品牌的足球需x元，购买一个B品牌的足球需y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一个A品牌的足球需50元，购买一个B品牌的足球需80元．
设此次购买B品牌足球m个，则购买A品牌足球个，
根据题意得：，
解得：．
为正整数，
．
答：该中学此次最多可购买31个B品牌足球．
设购买50个足球所需总费用为w元，
根据题意得：．
购买A品牌足球的数量不超过22个，
，
．
又，
．
在中，，
当时，w取最小值，最小值为3204．
答：当购买A品牌足球22个、B品牌足球28个时，总费用最低，最低费用为3204元
 

解析：设A、B两种品牌的足球的单价分别为x元和y元．接下来，依据购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需340元：购买1个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需210元列方程组求解即可；
设此次购买B品牌足球m个，则购买A品牌足球个，根据总价单价购买数量结合总费用不超过3260元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最大值即可；
设购买50个足球所需总费用为w元，根据总价单价购买数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；根据总价单价购买数量结合总费用不超过3260元，列出关于m的一元一次不等式；根据总价单价购买数量，找出w关于m的函数关系式．
19.答案：解：，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，，．
，，，，
四边形EFGH为平行四边形，
四边形EFGH的周长为．
 

解析：利用三角形中位线定理，证明四边形EFGH是平行四边形即可解决问题；
本题考查中点四边形，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.答案：解：；；
等级为C的人数是：人，
补图如下： 
 
根据题意得：人，
答：该校D级学生有240人．
 

解析：

此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用用360度乘以A级所占的百分比即可求出扇形统计图中A级对应的圆心角的度数；
用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；
用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．
解：在这次调查中，一共抽取的学生数是：人，
．
故答案为50；；
见答案；
见答案．

21.答案：解：根据题意画图如下：

共有6种等情况数，其中两次都摸到白球的情况数有2种，
则小丽两次都摸到白球的概率是．
 

解析：根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次都摸到白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.答案：解：延长AD交BC的延长线于G，作于H，
在中，，，
则，
，
，，
，
，
设，
，，，
，，
，
，
解得：．
答：电线杆的高为．
 

解析：延长AD交BC的延长线于G，作于H，根据正弦、余弦的定义求出CH、DH，根据正切的定义求出HG，设，根据正切的定义求出BG，结合图形列出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用、仰角俯角问题，掌握仰角俯角的等腰、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.答案：解：结论：DF是的切线．
理由：作于连接OE．

 

，，
，
，
，，
≌，
，
是的切线，
，
，
，
，
四边形CDOE是平行四边形，
，
，
是的切线．
，FD是的切线，
，设，
≌，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得或舍弃，
．

解析：本题考查切线的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，切线长定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
结论：DF是的切线．作于连接想办法证明即可解决问题；
由FA，FD是的切线，推出，设，由≌，推出，推出，由，，推出，由，推出，在中，根据，构建方程即可解决问题．
24.答案：解：当时，，
，即政府这个月为他承担的总差价为16200元．

依题意得，

，
当时，w有最大值24300．
即当销售单价定为210元时，每月可获得最大利润24300元．

由题意得：，
解得：，．
，抛物线开口向下，
当时，．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
．
．
随x的增大而减小，
当时，p有最小值．
即销售单价定为250元时，政府每个月为他承担的总差价最少为6750元．
 

解析：把代入求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
由总利润销售量每件纯赚利润，得，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
令，求出x的值，求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
25.答案：；．
结论成立：

理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．，
，
，，，
≌，
，，
，，
，，即．
或7．
 

解析：

本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的射线思考问题，
如图1中，延长AE交BD于只要证明≌即可；
结论不变．如图2中，延长AE交BD于H，交BC于只要证明≌即可；
分两种情形分别求解即可解决问题；
解：如图1中，延长AE交BD于H．

，，，
≌，
，，
，，
，
，即，
故答案为，．

见答案．
当射线AD在直线AC的上方时，作用H．

，，，
，，
在中，，，
，
．

当射线AD在直线AC的下方时时，作用H．

同法可得：，故AD，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7
故答案为17或7．
26.答案：解：对于抛物线，
令，得到，解得或2，
，，

令，得到，
，，，
设直线BC的解析式为，则有，
解得，
直线BC的解析式为．

如图1中，作轴交BC于设，则

，
当时，的面积有最大值，
此时，
如图2中，

，，
，
当时，．
当时，易知，
当时，设，
则有，
解得，
．
点坐标为或或或．
 

解析：本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．
利用待定系数法求出B、C两点坐标即可解决问题；
如图1中，作轴交BC于设，则，然后利用的面积构建二次函数，利用二次函数的性质求出点F坐标；
如图2中，分三种情形当时，当时，易知，当时，设，构建方程即可解决问题；