人教版八年级下册18.2.3 正方形课时练习

这是一份人教版八年级下册18.2.3 正方形课时练习，共18页。试卷主要包含了基本概念，典例分析，针对训练等内容，欢迎下载使用。
18.2.3正方形
一、基本概念
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一览表
图形性质
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
√
√
√
√
四条边都相等
×
×
√
√
对角相等
√
√
√
√
四个角都是直角
×
√
×
√
对角线互相平分
√
√
√
√
对角线互相垂直
×
×
√
√
对角线相等
×
√
×
√
每条对角线平分一组对角
×
×
√
√
中心对称图形
√
√
√
√
轴对称图形
×
√
√
√
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定一览表
平行四边形
矩形
菱形
正方形
两组对边分别平行
三个直角
四边相等
平行四边形+
直角+
一组邻边相等
两组对边分别相等
平行四边形+
一组邻边相等
平行四边形+
一个直角
平行四边形+
对角线互相垂直
菱形+
直角
平行四边形+
对角线相等
一组对边平行且相等
平行四边形+一条对角线平分一组对角
矩形+
一组邻边相等
二、典例分析
例．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．

答案：（1）证明见解析；（2）73°．
【分析】
（1）根据正方形的性质及各角之间的关系可得：，由全等三角形的判定定理可得，再根据其性质即可得证；
（2）根据垂直及等腰三角形的性质可得，再由三角形的外角的性质可得，由此计算即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵°，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵BE⊥BF，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的值为．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的外角性质，理解题意，熟练运用各个定理性质是解题关键．
三、针对训练
1．下列说法正确的有（ ）
①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形
②有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为（　　）

A．2 B． C． D．1
3．如图，正方形的面积为256，点F在上，点E在的延长线上，的面积为200，则的长为（ ）

A．10 B．11 C．12 D．15
4．如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（ ）

A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
5．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A． B． C．4.5 D．4.3
6．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________．
7．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是___________(填上一个符合题目要求的条件即可)．
8．如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 _____．

9．如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．

10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为________．

11．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），，且．求证：四边形ABCD是正方形．







12．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:．







13．如图，在正方形中，是边上的一点，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．
求证：．







14．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．
（1）求证：BE＝FM；
（2）求BE的长度．







15．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．






参考答案
1．D
【分析】
根据 正方形的判定定理依次分析判断．
【详解】
解：①有一组邻边相等的矩形是正方形，故该项正确；
②对角线互相垂直的矩形是正方形，故该项正确；
②有一个角是直角的菱形是正方形，故该项正确；
④对角线相等的菱形是正方形，故该项正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查了正方形的判定定理，正确掌握正方形与矩形菱形的特殊关系及对应添加的条件证得正方形是解题的关键．
2．B
【分析】
由折叠的性质可得，∠BMN=90°，FB=AB=2，由此利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，AB=2，
∴，∠BMN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，
则在Rt△BMF中，，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．
3．C
【分析】
先证明Rt△CDF≌Rt△CBE，故CE=CF，根据△CEF的面积计算CE，根据正方形ABCD的面积计算BC，根据勾股定理计算BE．
【详解】
解：∵∠ECF=90°，∠DCB=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
∴，
∴△CDF≌△CBE，故CF=CE．
因为Rt△CEF的面积是200，即
•CE•CF=200，故CE=20，
正方形ABCD的面积=BC2=256，得BC=16．
根据勾股定理得：BE==12．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形，等腰直角三角形面积的计算，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证CF=CE是解题的关键．
4．D
【分析】
根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.
【详解】
解：当，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP，
∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，
∴BE=CP=6厘米，
∴BP=10-6=4厘米，
∴运动时间t=4÷2=2（秒）；
当，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t=（秒）.
综上t的值为2.5或2.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．
5．A
【分析】
根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH＝DE，利用勾股定理求出DE的长即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
在△CBE和△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，
∴∠CDF+∠DCH＝90°，
∴∠DHC＝∠DHE＝90°，
∵点G为DE的中点，
∴GH＝DE，
∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
∴，
∴GH＝．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6．8
【分析】
正方形边长相等设为，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积．
【详解】
解：设边长为，对角线为


故答案为：．
【点睛】
本题考察了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．
7．AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）
【分析】
根据正方形的判定定理，即可求解．
【详解】
解：当AC=BD时，平行四边形ABCD为菱形，
又由AC⊥BD，可得菱形ABCD为正方形，
所以当AC=BD且AC⊥BD时，平行四边形ABCD为正方形．
故答案为：AC=BD且AC⊥BD（答案不唯一）
【点睛】
本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
8．
【分析】
由正方形的对称性可知，PB＝PD，当B、P、E共线时PD+PE最小，求出BE即可．
【详解】
解：∵正方形中B与D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE，此时PD+PE最小，
∵正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，
∴BE＝3，
∴PD+PE最小值是3，
故答案为：3．

【点睛】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
9．
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
【详解】
解：如图，

∵四边形CDEF是正方形，
，

，

，
在与中，
，
，
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ,
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=,
∴AB=．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．
10．①②③
【分析】
①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2．
【详解】
解：①连接BE，交FG于点O，如图，

∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝4．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键．
11．证明见解析．
【分析】
可作于点，由可得，进一步可得，从而可得，再根据四边形ABCD是矩形即可得到结论．
【详解】
证明：如图，作于点，

∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，，∠ABC=90°
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴
∴矩形是正方形．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
12．证明见解析．
【分析】
由正方形的性质结合，，证明即可得到答案．
【详解】
解：是正方形，


，，



在与中，



【点睛】
本题考查的正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
13．证明见解析．
【分析】
连接AF，根据对称得：△ABE≌△AFE，再由HL证明Rt△AFG≌Rt△ADG，可得结论．
【详解】
证明：连接，
四边形是正方形，
，，
点关于直线的对称点为，
∴△ABE≌△AFE，
，，
，
在和中，
，，
∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)，
．

【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
14．（1）见解析；（2）—4
【分析】
（1）由旋转和正方形的性质得出∠FAM＝∠EAB，再证≌即可；
（2）求出正方形对角线长，再求出MC=—4即可．
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF
∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF
∠FAM＝∠EAB
∵FM⊥AC
∠FMA＝∠B＝90°
≌（AAS）
BE＝FM
（2）在正方形ABCD中，边长为4
AC＝，∠DCA＝45°
≌
∴AM＝AB＝4
MC＝AC—AM＝—4
∵是等腰直角三角形
BE＝MF＝MC＝—4
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定进行证明推理．
15．（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为
【分析】
（1）由等边三角形的性质得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；
（2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC （三线合一），
即BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵▱ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键．