初中数学人教版八年级下册18.2.2 菱形当堂检测题

18.2.2菱形

一、基本概念

1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2、菱形的性质：

边：四条边都相等,对边分别平行

角：对角相等

对角线：互相垂直、平分，每一条对角线平分一组对角.

3、菱形的判定方法

    （1）定义：邻边相等的平行四边形

    （2）判定定理：对角线互相垂直的平行四边形            菱形

                 四边相等的四边形

二、典例分析

例．如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF．

（1）求证：四边形EBFD是菱形；

（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．

答案：（1）见详解；（2）120

【分析】

（1）根据菱形的性质和菱形的判定解答即可；

（2）根据菱形的性质以及面积公式解答即可．

【详解】

（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．

∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF．

∴四边形AECF是平行四边形．

∵AC⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形．

（2）解：菱形EBFD的面积=．

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，菱形的面积，正确掌所握菱形的判定和性质是解题的关键．

三、针对训练

1．如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（    ）

A．5 B．6 C．8 D．10

2．若菱形的两条对角线长分别为10和24，则菱形的面积为（　　）

A．13 B．26 C．120 D．240

3．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（     ）

A．22 B．24 C．48 D．44

4．如图，以O为圆心，长为半径画弧别交于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接、，则四边形一定是（    ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（    ）

A． B． C．6 D．

6．菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的对角线分别为________．

7．如图，在菱形ABCD外侧作等边△CBE，连接DE、AE．若∠ABC＝100°，则∠DEA的大小为_________．

8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若，则菱形的周长为__________．

9．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 __．

10．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连BG，DH，且，当＝_______时，四边形BHDG为菱形．

11．如图，矩形ABCD中，，，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

12．如图，在中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EFAB交BC于点E．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=5，AE=6，的面积为36，求DF的长．

13．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：BE＝BF．

14．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝　   　°时，四边形BFDE是菱形．

15．如图，在菱形ABCD中，于点E，于点F．

（1）求证：．

（2）若，，求DE的长．

参考答案

1．A

【分析】

由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，

∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：，

故选：A．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．

2．C

【分析】

根据菱形的面积公式即可得到结论．

【详解】

解：菱形的两条对角线长分别为10和24，

菱形的面积为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的面积公式．

3．B

【分析】

先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．

【详解】

解： 菱形ABCD，

在Rt△BCO中， 即可得BD=8，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴AC=DE=6， 

BE=BC+CE=10，

∴△BDE是直角三角形， 

∴S△BDE=DE•BD=24．

故选：B．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．

4．B

【分析】

根据题意得到，然后根据菱形的判定方法求解即可．

【详解】

解：由题意可得：，

∴四边形是菱形．

故选：B．

【点睛】

此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．

5．B

【分析】

根据菱形的性质求得的长，进而根据菱形的面积等于，即可求得的长

【详解】

解：如图，设的交点为，

四边形是菱形

，，，

在中，，

菱形的面积等于

故选B

【点睛】

本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得的长是解题的关键．

6．6和8

【分析】

根据比例设两条对角线分别为3x、4x，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求出x的值即可．

【详解】

解：设两条对角线分别为3x、4x，

根据题意得，×3x•4x=24，

解得x=2（负值舍去），

∴菱形的两对角线的长分别为，．

故答案为：6和8．

【点睛】

本题考查了菱形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积的求法，需熟记．

7．30°

【分析】

根据菱形的性质得到，，求得，根据等边三角形的性质得到，，求得，，，，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到结论．

【详解】

解：四边形是菱形，

，，

，

是等边三角形，

，，

，，，，

，，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形和等边三角形的性质．

8．16

【分析】

由菱形的性质和三角形中位线定理即可得菱形的边长，从而可求得菱形的周长．

【详解】

∵四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O

∴点O是AC的中点

∵E为DC的中点

∴OE为△CAD的中位线

∴AD=2OE=2×2=4

∴菱形的周长为：4×4=16

故答案为：16

【点睛】

本题考查了菱形的性质及三角形中位线定理、菱形周长等知识，掌握这些知识是解答本题的关键．

9．4.8

【分析】

由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．

【详解】

设AC与BD的交点为O，

∵点P是BC边上的一动点，

∴AP⊥BC时，AP有最小值，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，

∴，

∵，

∴，

故答案为：4.8．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键．

10．

【分析】

设 则再利用矩形的性质建立方程求解 从而可得答案.

【详解】

解： 四边形BHDG为菱形，

设

AD＝3AB，

设 则

矩形ABCD，

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，菱形的性质，利用图形的性质建立方程确定之间的关系是解本题的关键.

11．（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）由题意知，，通过得到，证明四边形BEDF平行四边形．

（2）四边形BEDF为菱形，，；设，；在中用勾股定理，解出的长，在中用勾股定理，得到的长，由得到的值．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点

∴，

在和中

∴（ASA）

∴

∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）解：∵四边形BEDF为菱形，

∴，

又∵，

∴，

设，则

在中，

∴

在中，

∴．

【点睛】

本题考察了平行四边形的判定，三角形全等，菱形的性质，勾股定理．解题的关键与难点在于对平行四边形的性质的灵活运用．

12．（1）见解析；（2）2.5．

【分析】

（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质说明∠ABF=∠AFB、可得AB=AF，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；

（2）过A作AH⊥BE垂足为E，根据菱形的性质可得AO=EO、BO=FO，AF=EF=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后根据ABCD的面积公式求出AD,最后根据线段的和差即可解答．

【详解】

（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，即AF//BE

∴∠FBE=∠AFB，

∵∠ABC的平分线交AD于点F，

∴∠ABF=∠EBF，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

又∵AB//EF，AF//BE

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB=AF，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）如图：过A作AH⊥BE垂足为H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=EO，BO=FO，AF=AB=5，AE⊥BF，

∵AE=6，

∴AO=3，

∴BO=

∴BF=8，

∴S菱形ABEF=AE·BF=×8×6=24，

∴BE·AH=24，

∴AH=;

∵S平行四边形ABCD=BC·AH=36，

∴BC=

∵平行四边形ABCD

∴AD=BC=

∴FD=AD-AF=-5=2.5．

．

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及面积的问题，灵活利用菱形的判定与性质、平行四边形的性质成为解答本题的关键．

13．见解析

【分析】

根据菱形的性质，可得AD＝DC，AB＝BC，∠A＝∠C．从而得到△AED≌△CFD．从而得到AE＝CF．即可求证．

【详解】

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝DC，AB＝BC，∠A＝∠C．

∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠AED＝∠CFD＝90°．

∴△AED≌△CFD（AAS）．

∴AE＝CF．

∴AB﹣AE＝BC﹣CF．

即：BE＝BF．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的对角相等，对边相等是解题的关键．

14．（1）见解析；（2）12

【分析】

（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF；
（2）通过证明BE=DE，可得结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠1=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，

，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当∠ABE=10°时，四边形BFDE是菱形，
理由如下：∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，AE=CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴AD+AE=BC+CF，
∴BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1=32°，∠ADB=22°，
∴∠ABD=∠1-∠ADB=10°，
∵∠ABE=12°，
∴∠DBE=22°，
∴∠DBE=∠ADB=22°，
∴BE=DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为：12．

【点睛】

本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键．

15．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）直接根据AAS证明即可；

（2）由四边形ABCD是菱形，得到，，从而可以证明，推出，再由，可得，则．

【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形

∴，

在和中，

∴（AAS）；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴，，

∵，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBC=90°-∠C=45°，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形两锐角互余等等，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．