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2021~2022人教版数学七年级下册重难点专项突破专题04 根据平行线的性质求角的度数（原卷版+解析版）
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这是一份2021~2022人教版数学七年级下册重难点专项突破专题04 根据平行线的性质求角的度数（原卷版+解析版），文件包含专题04根据平行线的性质求角的度数解析版doc、专题04根据平行线的性质求角的度数原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
专题04 根据平行线的性质求角的度数
一、单选题
1．如图，在中，，，，则大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据AD∥BC，得∠B+∠BAD=180°,则有∠BAD=120°, 再由∠BAC=40°,即得所求结果．
【详解】
∵AD∥BC
∴∠B+∠BAD=180°
∵∠B=40°
∴∠BAD=120°
∵∠BAC=40°
∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=120°-40°=80°
故选：D
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
2．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=40°，则∠2=（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【分析】
根据两直线平行，同位角相等并结合平角的概念求解
【详解】
解：如图，由题意知：AB∥CD，∠FEG=90°，
，
∴∠2=∠3．
∵∠1+∠3+90°=180°，
∴∠1+∠2=90°．
∵∠1=40°，
∴∠2=50°．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等正确推理计算是解题关键．
3．如图，已知，射线平分交于点，，则的度数是（ ）
A．80° B．85° C．70° D．75°
【答案】A
【分析】
先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得 ，进而求得 的度数．
【详解】
∵，，
∴，
∵DE平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
4．如图，∥，⊥，＝40°，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，然后结合垂直的定义即可计算求解．
【详解】
解：∵∥，
∴∠BAC+∠ACD=180°
又∵⊥，＝40°
∴∠CAD=90°
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补正确推理计算是解题关键．
5．如图，是等边三角形，是上的高，，图中与（除外）相等的线段共有（ ）条
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件等边三角形ABC中，AD是BC上的高，得到BD= DC，由DE//AC可推出DE=AE，然后由∠C=60°，即可推出△EDB为等边三角形，所以DE=BD=BE，即可解答.
【详解】
∵等边三角形ABC中，AD是BC上的高，AD⊥BC，
∴ BD= DC
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠DAC=30°
∴∠EDA=∠DAE=30°
∴ED=EA，
又DE//AC
∴∠EDB =∠C=60°，
∴∠EDB =∠B
∴△EDB为等边三角形，DE= DB=BE，
∴DE= DB=BE=EA=DC，
所以图中与 BD （ BD 除外）相等的线段共有4条，
故选择D.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质与判定、平行线的性质，关键在于推出AD⊥BC，BD=DC，以及证明△EDB为等边三角形.
6．如图，直线，点B在直线b上，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据垂直定义和互余关系求出∠3，根据平行线的性质得出∠1＝∠3，代入求出即可．
【详解】
∵a∥b，
∴∠1＝∠3．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠2＝90°−∠3＝90°−56°＝34°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直定义，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．
7．如图，直线a，b被直线c所截，，则的度数是（ ）
A．130° B．30° C．45° D．50°
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质即可得．
【详解】
，
（两直线平行，同位角相等），
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
8．如图，直线为直角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
【详解】
解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．
∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA．
∵∠C＝40°，∠AEC为直角，
∴∠FEC＝40°，∠BAE＝∠AEF＝90°−40°＝50°．
∴∠1＝180°−∠BAE＝180°−50°＝130°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
9．如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由求解 结合，利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：如图，先标注字母，
由题意得：
．
故选D．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，角的和差，掌握以上知识是解题的关键．
10．如图，已知，将一个含45°角的三角尺按图中方式放置，，则的度数为（ ）
A．21° B．24° C．30° D．66°
【答案】A
【分析】
作，则，可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，结合已知条件求解即可．
【详解】
作，则，
∵，
∴ ∠3＝∠1＝24°，
∴∠4＝45°－∠3＝21°，
∵ ，
∴ ∠2＝∠4＝21°，
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，熟练掌握辅助线的添加方法是关键．
11．如图所示，长方形中，点在边上，，与直线相交，，构成则，，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质可得∠AFG+∠BGF=180°，再根据三角形外角的性质可得∠AFG+∠1=∠α，∠2+∠BGF=∠β，由此可得．
【详解】
解：∵在长方形中AD//BC，
∴∠AFG+∠BGF=180°，
又∵∠AFG+∠1=∠α，∠2+∠BGF=∠β，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，能正确识图是解题关键．
12．如图，已知∠1=65°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．
【详解】
解：如图，∵∠1=70°，
∴∠2=∠1=70°，
∵CD∥BE，
∴∠B=180°-∠2=180°-65°=115°．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠B=180°-∠2是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．
13．如图所示，已知a∥b，将含30°角的三角板如图所示放置，∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】
由直线a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠3的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠2的度数．
【详解】
解：∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=115°．
又∵∠3=∠2+∠4，
∴∠2=∠3-∠4=115°-60°=55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
14．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）．
A．75° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【分析】
根据三角板的角度，通过计算可得三角板直角边和直尺夹角的角度，再根据直尺两条边平行的性质，即可得到答案．
【详解】
如图：
∵三角板、
∴
∵直尺上、下两条边平行
∴
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了角的计算、平行线的性质；解题的关键是熟练掌握平行线性质，结合生活中三角板的特点，即可完成求解．
15．如图，，点在直线上，且，那么的度数为（ ）
A． B．55 C． D．
【答案】C
【分析】
由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．
【详解】
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠3＝180°−90°−∠1＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠3的度数是解决问题的关键．
16．如图，AB∥CD，∠2＝36°，∠3＝80°，则∠1的度数为( )
A．54° B．34° C．46° D．44°
【答案】D
【分析】
利用平行线的性质和三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】
解：如图，∵AB∥CD，
∴∠1=∠4，
∵∠3=∠4+∠2，∠2=36°，∠3=80°，
∴∠4=44°，
∴∠1=44°，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17．如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝( )
A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入求出即可．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠DCE+∠BEF=180°，
∵∠DCE=80°，
∴∠BEF=180°-80°=100°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键．
18．如图，已知，则∠1的度数是( )
A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【分析】
由两直线平行，同位角相等可以得到∠1的补角为60°，即可求得∠1的度数为120°．
【详解】
解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线性质定理．
19．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝42°，则∠1＝( )
A．48° B．42° C．40° D．45°
【答案】A
【分析】
由互余得出可求得∠3的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得∠1的度数．
【详解】
如图，∵∠2＝42°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝48°，
∴∠1＝48°．
故选A．
【点睛】
考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
20．在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若，则的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【分析】
直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数.
【详解】
解:如图
由题意可得:∠1＝∠3＝55°
∠2＝∠4＝90°-55°＝35°
故选:A
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键.
21．如图，直线，，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据两直线平行同位角相等得到∠2=∠3，再根据得到∠CMB=90°，得到∠3+∠1=90°，又因为∠1=22°，继而可求得∠2．
【详解】
解：如图所示：
∵直线，
∴∠2=∠3，
∵，
∴∠CMB=90°，
∴∠3+∠1=90°，
又∵∠1=22°，
∴∠3=68°，
∴∠2=68°，
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质．
22．将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°，则∠1的度数为（ ）
A．52° B．62° C．64° D．42°
【答案】A
【分析】
根据折叠的性质得出∠GEF=64°，利用平行线的性质进行解答即可
【详解】
∵一张长方形纸条ABCD折叠，
∴∠GEF=∠FEC=64°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠GEB=180°-64°-64°=52°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
23．将一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质得出∠1=∠3=130°，代入∠2=∠3-∠A求出即可．
【详解】
解：∵直尺的对边互相平行，
∴∠1=∠3=130°，
在直角三角板中，∠A=90°，
∴∠2=∠3-∠A=130°-90°=40°，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线性质，三角形外角性质的应用，解题的关键是求出∠1=∠3和∠2=∠3-∠A．
24．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．22° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】
过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2=∠EFG=70°，再根据∠AFE=90°，即可得出∠AFG=90°-70°=20°，进而得到∠1=∠AFG=20°．
【详解】
解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，
∴∠2=∠EFG=70°，
又∵∠AFE=90°，
∴∠AFG=90°-70°=20°，
∴∠1=∠AFG=20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键．
25．如图所示，l∥m，等腰直角△ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠的度数为（ ）
A．25° B．30° C．20° D．35°
【答案】A
【分析】
首先过点B作BD∥l，可得BD∥l∥m，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【详解】
解：过点B作BD∥l，
∵l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠2=∠α，∠1=∠β=20°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠α=∠2=∠ABC-∠1=25°．
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，内错角相等．
26．如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接作CM∥AB，再利用平行线的判定和性质得出答案．
【详解】
证明：如图，作CM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥CM，
∴∠B=∠BCM，∠D=∠MCD，
∵∠B=40°，∠D=20°，
∴∠BCM=40°，∠MCD=20°，
∴∠BCD=40°+20°=60°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
27．将一个矩形纸片按如图所示的方式折叠，则的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】
如图，根据折叠的性质，得2α+∠ABC=180°，∠ABC=∠DCE=40°，计算即可．
【详解】
如图，根据折叠的性质，得2α+∠ABC=180°，
∵折叠的纸片是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE=40°，
∴2α+40°=180°，
∴α=70°，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
28．如图，直线l//m，等腰Rt△ABC，直角顶点C在直线l上，另一个顶点B在直线m上，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）
A．17° B．62° C．73° D．75°
【答案】C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可．
【详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝∠1+∠ABC＝73°，
∵l∥m，
∴∠2＝∠EBC＝73°，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
29．如图（1）是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【答案】D
【分析】
由长方形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE=∠DEF=30°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=30°．
由翻折的性质可知：图2中，
∠EFC=180°-∠BFE=150°，∠BFC=∠EFC-∠BFE=120°，
∴图3中，∠CFE=∠BFC-∠BFE=90°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换以及平行线的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
30．如图，设是四边形的对角线，的交点，若，且，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，过点作，交于，通过证明，可求，通过证明，可求，即可求，即可求解．
【详解】
解：如图，过点作，交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
31．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
【答案】C
【分析】
首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
32．一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为（ ）
A．45°，75°，120°，165° B．45°，60°，105°，135°
C．15°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120°
【答案】A
【分析】
分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分别画出图形，根据平行线的性质和三角板的特点求解．
【详解】
解：如图，
①DE∥AB，
∴∠D+∠ABD=180°
∴∠ABD=90°
∴∠ABE=45°；
②DE∥AC，
∵∠D=∠C=90°，
∴B，C，D共线，
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°；
③BE∥AC，
∴∠C=∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°；
④AC∥BD，
∴∠ABD=180°-∠A=120°，
∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°，
综上：∠ABE的度数为：45°或75°或120°或165°．
【点睛】
本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是注意分类讨论，做到不重不漏．
33．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，下列结论中：①若∠DCE=35°，∠ACB=145°；②∠ACB+∠DCE=180°；③当三角尺BCE的边与AD平行时∠ACE=30°或120°；④当三角尺BCE的边与AD垂直时∠ACE=30°或75°或120°，正确个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
根据余角的定义、补角的定义和角的和差可判断①②；画出对应图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理可判断③；画出对应图形，结合垂直的定义和三角形内角和定理可判断④．
【详解】
解：∵∠ECB=90°，∠DCE=35°，
∴∠DCB=90°-35°=55°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+55°=145°，故①正确；
∵∠ACD+∠BCE=∠ACD+∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠ACB+∠DCE=180°，故②正确；
当AD//BC时，如图所示：
∵AD//BC，
∴∠DCB=∠D=30°，
∵∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠DCB=30°；
当AD//CE时，如图所示：
∵AD//CE；
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°,
当BE//AD时，延长AC交BE于F，如图所示：
∵BE//AD,
∴∠CFB=∠A=60°，
∴∠CFE=120°，
∵∠E=45°，
∴∠ECF=180°-∠E-∠CFE=15°，
∴∠ACE=165°，
综上，当三角尺BCE的边与AD平行时，∠ACE=30°或120°或165°，故③错误；
当CE⊥AD时，如下图
∵CE⊥AD，
∴∠A+∠ACE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ACE=30°，
当EB⊥CD时，如下图，
∵EB⊥CD，
∴∠E+∠EFD=90°，
∵∠E=45°，
∴∠AFC=∠EFD=∠E=45°，
∴∠ACE=180°-∠A-∠AFC=75°，
当BC⊥AD时，如下图，
∵BC⊥AD，BC⊥CE，
∴AD//CE，
∴∠DCE=∠ADC=30°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°．
综上所述当三角尺BCE的边与AD垂直时∠ACE=30°或75°或120°，④正确．
故正确的有3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角板中角度的计算．主要考查平行线的性质、三角形内角和定理、垂直的定义等．三角板是我们生活中常用的工具，可借助实物拼凑得出图形，再结合图形分析，注意分情况讨论．
34．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】
延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．
【详解】
解：如图延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′＋∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
二、填空题
35．如图，直线∥，△的顶点和分别落在直线和上，若∠1＝60°，且∠1＋∠2＝90°，则的度数是______°．
【答案】30
【分析】
根据平行线的性质可证得∠1=∠ACB+∠2，由∠1=60°且∠1＋∠2＝90°可求解的度数．
【详解】
解：∵直线a∥b，
∴∠1=∠ACB+∠2=60°，
∵∠1=60°且∠1＋∠2＝90°
∴∠2=90°-60°=30°
∴∠ACB=60°-30°=30°，
故答案为：30．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
36．如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C，若，则_________．
【答案】105°20′
【分析】
利用垂直定义得到∠A=90°，再根据三角形外角性质得到∠CDB=105°20′，然后根据平行线的性质得到∠2的度数．
【详解】
解：∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠CDB=∠1+∠A=15°20′+90°=105°20′，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠CDB=105°20′．
故答案为：105°20′，
【点睛】
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
37．如图，直线，直线c分别交直线a，b于点A，B，若是的3倍，则_________．
【答案】45°
【分析】
由直线a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1=∠3，又由∠2=3∠1，根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
【详解】
解：∵直线a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2=3∠1，
∴∠2=3∠3，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠3=45°．
故答案为：45°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，此题难度不大．
38．如图，，若，，则______．
【答案】12°
【分析】
由AB∥EF，∠ABE=32°，易求∠BEF，又CD∥EF，∠DCE=160°，那么易求∠CEF，于是∠BEC=∠BEF-∠CEF可求．
【详解】
解：∵AB∥EF，∠ABE=32°，
∴∠BEF=∠ABE=32°；
又∵CD∥EF，∠DCE=160°，
∴∠DCE+∠CEF=180°，
∴∠CEF=20°；
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=32°-20°=12°．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解此题的关键．
39．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知，则=____.
【答案】120°
【分析】
先根据图形折叠的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图，
∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠3+∠1=120°．
故答案为120°．
【点睛】
本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题
40．如图．直线．
（1）判断与的数量关系．并说明理由．
（2）设，求的度数．
【答案】（1）∠B=∠D，理由见解析；（2）35°
【分析】
（1）先根据直线AB∥CD得出∠1=∠B，再由DE∥BC得出∠1=∠D，由此可得出结论；
（2）根据（1）中的结论列出关于x的方程，求出x的值，进而可得出结论．
【详解】
解：（1）∵直线AB∥CD，
∴∠1=∠B．
∵DE∥BC，
∴∠1=∠D，
∴∠B=∠D．
（2）∵∠B=∠D，∠B=（2x+15°），∠D=（65-3x）°，
∴2x+15=65-3x，解得x=10，
∴∠1=∠B=2×10+15=35°．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
41．如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为，点，分别落在，的位置上，若．求的度数．
【答案】116°
【分析】
由平行线的性质知∠DEF=∠EFB=58°，由题意知∠GEF=∠DEF=58°，则可由平行线的性质求得∠2=∠GED=116°．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=58°，
由对称性知∠GEF=∠DEF，
∴∠GEF=58°，
∴∠GED=116°，
∴∠2=∠GED=116°．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，对应角相等及平行线的性质，关键是求得∠GEF的度数．
42．如图，平分，,，求的度数 ．
【答案】60°
【分析】
根据角平分线的定义得到∠CAB=2∠1=60°，由平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠1=60°，
∵DE∥AC，
∴∠2=∠CAB=60°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
43．如图，点A是∠MON边OM上一点，AE//ON．
(1)尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若∠MAE=48°，则∠OBE的大小为________．
【答案】（1）见解析；（2）156°
【分析】
（1）利用基本作图作OB平分∠MON；
（2）先利用平行线的性质得到∠MON=∠MAE=48°，再根据角平分线的定义得到∠NOB=24°，接着根据平行线的性质得到∠OBA的度数，然后利用邻补角的定义计算∠OBE的度数．
【详解】
解：（1）如图，OB为所作；
（2）∵AE∥ON，
∴∠MON=∠MAE=48°，
∵OB平分∠MON，
∴∠NOB=∠MON=24°，
∵AB∥ON，
∴∠OBA=∠NOB=24°，
∴∠OBE=180°-∠OBA=180°-24°=156°．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．
44．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
，，．
（1）如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上．求出此图中的度数；
（2）如图2，如果把图1所示的以为中心顺时针旋转得到，当平分时，求为多少度；
（3）如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边，请直接写出答案．
【答案】（1）75°；（2）105°；（3）105°或285°
【分析】
（1）由平角的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得∠AOB=∠A'OB'=45°，由角的数量关系可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【详解】
解：（1）由三角板的性质可知：
∵∠AOB=45°，∠COD=60°，
∴∠BOC=75°；
（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOB=∠A'OB'=45°，
∵∠COD=60°，OB′平分∠COD，
∴∠COB'=30°，
∴∠COA'=∠A'OB'-∠COB'=15°，
∴∠A'OB=∠COB-∠COA'=60°，
∴∠AOA'=∠AOB+∠A'OB=105°；
（3）当A'B'与OD相交于点E时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D=∠A'EO=60°，
∵∠A'EO=∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'=60°-45°=15°，
∴∠BOB'=105°，
当A'B'与AO相交于点F时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D=∠A'FO=60°，
∴∠A'OF=180°-∠A'FO-∠A'=75°，
∴旋转的角度=360°-75°=285°，
综上所述：旋转的角度为105°或285°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，灵活运用性质进行推理是本题的关键．
45．如图，中，平分交于 交于
（1）求证：
（2）求的度数
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由三角形内角和180°解得，利用角平分线的性质解得，再结合题意，根据内错角相等，两直线平行解题即可；
（2）由两直线平行同位角相等解题．
【详解】
解：（1）在中，
平分
；
（2）
．
【点睛】
本题考查平行线的判断与性质，涉及角平分线性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
46．如图，直线，直线分别交、于点、，，平分，交于，求和的度数．
【答案】∠EMB=40°，∠MGN=70°
【分析】
根据平行线的性质以及对顶角的性质，即可得到∠EMB的度数，再根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得出∠MGN的度数．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠AMN=∠CNF=40°，
∴∠EMB=∠AMN=40°，
∴∠BMN=140°，
又∵MG平分∠BMF，
∴∠BMG=∠BMN=70°，
∵AB∥CD，
∴∠MGN=∠BMG=70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
47．如图，已知，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；
（2））根据AB//CD，∠2=60°，得到∠BAE=∠2=60°，∠BAC=∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC=60°，又根据∠BAC=2∠EAC，得到∠BAC=∠ACD=40°，根据内角和定理即可求出∠DCE的度数．
【详解】
解：（1）∵，
∴
∵，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
∴
∵，
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解答此题的关键．
专题04 根据平行线的性质求角的度数
一、单选题
1．如图，在中，，，，则大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据AD∥BC，得∠B+∠BAD=180°,则有∠BAD=120°, 再由∠BAC=40°,即得所求结果．
【详解】
∵AD∥BC
∴∠B+∠BAD=180°
∵∠B=40°
∴∠BAD=120°
∵∠BAC=40°
∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=120°-40°=80°
故选：D
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
2．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=40°，则∠2=（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【分析】
根据两直线平行，同位角相等并结合平角的概念求解
【详解】
解：如图，由题意知：AB∥CD，∠FEG=90°，
，
∴∠2=∠3．
∵∠1+∠3+90°=180°，
∴∠1+∠2=90°．
∵∠1=40°，
∴∠2=50°．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等正确推理计算是解题关键．
3．如图，已知，射线平分交于点，，则的度数是（ ）
A．80° B．85° C．70° D．75°
【答案】A
【分析】
先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得 ，进而求得 的度数．
【详解】
∵，，
∴，
∵DE平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
4．如图，∥，⊥，＝40°，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，然后结合垂直的定义即可计算求解．
【详解】
解：∵∥，
∴∠BAC+∠ACD=180°
又∵⊥，＝40°
∴∠CAD=90°
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补正确推理计算是解题关键．
5．如图，是等边三角形，是上的高，，图中与（除外）相等的线段共有（ ）条
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件等边三角形ABC中，AD是BC上的高，得到BD= DC，由DE//AC可推出DE=AE，然后由∠C=60°，即可推出△EDB为等边三角形，所以DE=BD=BE，即可解答.
【详解】
∵等边三角形ABC中，AD是BC上的高，AD⊥BC，
∴ BD= DC
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠DAC=30°
∴∠EDA=∠DAE=30°
∴ED=EA，
又DE//AC
∴∠EDB =∠C=60°，
∴∠EDB =∠B
∴△EDB为等边三角形，DE= DB=BE，
∴DE= DB=BE=EA=DC，
所以图中与 BD （ BD 除外）相等的线段共有4条，
故选择D.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质与判定、平行线的性质，关键在于推出AD⊥BC，BD=DC，以及证明△EDB为等边三角形.
6．如图，直线，点B在直线b上，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据垂直定义和互余关系求出∠3，根据平行线的性质得出∠1＝∠3，代入求出即可．
【详解】
∵a∥b，
∴∠1＝∠3．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠2＝90°−∠3＝90°−56°＝34°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直定义，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．
7．如图，直线a，b被直线c所截，，则的度数是（ ）
A．130° B．30° C．45° D．50°
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质即可得．
【详解】
，
（两直线平行，同位角相等），
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
8．如图，直线为直角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
【详解】
解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．
∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA．
∵∠C＝40°，∠AEC为直角，
∴∠FEC＝40°，∠BAE＝∠AEF＝90°−40°＝50°．
∴∠1＝180°−∠BAE＝180°−50°＝130°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
9．如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由求解 结合，利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：如图，先标注字母，
由题意得：
．
故选D．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，角的和差，掌握以上知识是解题的关键．
10．如图，已知，将一个含45°角的三角尺按图中方式放置，，则的度数为（ ）
A．21° B．24° C．30° D．66°
【答案】A
【分析】
作，则，可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，结合已知条件求解即可．
【详解】
作，则，
∵，
∴ ∠3＝∠1＝24°，
∴∠4＝45°－∠3＝21°，
∵ ，
∴ ∠2＝∠4＝21°，
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，熟练掌握辅助线的添加方法是关键．
11．如图所示，长方形中，点在边上，，与直线相交，，构成则，，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质可得∠AFG+∠BGF=180°，再根据三角形外角的性质可得∠AFG+∠1=∠α，∠2+∠BGF=∠β，由此可得．
【详解】
解：∵在长方形中AD//BC，
∴∠AFG+∠BGF=180°，
又∵∠AFG+∠1=∠α，∠2+∠BGF=∠β，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，能正确识图是解题关键．
12．如图，已知∠1=65°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．
【详解】
解：如图，∵∠1=70°，
∴∠2=∠1=70°，
∵CD∥BE，
∴∠B=180°-∠2=180°-65°=115°．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠B=180°-∠2是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．
13．如图所示，已知a∥b，将含30°角的三角板如图所示放置，∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】
由直线a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠3的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠2的度数．
【详解】
解：∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=115°．
又∵∠3=∠2+∠4，
∴∠2=∠3-∠4=115°-60°=55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
14．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）．
A．75° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【分析】
根据三角板的角度，通过计算可得三角板直角边和直尺夹角的角度，再根据直尺两条边平行的性质，即可得到答案．
【详解】
如图：
∵三角板、
∴
∵直尺上、下两条边平行
∴
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了角的计算、平行线的性质；解题的关键是熟练掌握平行线性质，结合生活中三角板的特点，即可完成求解．
15．如图，，点在直线上，且，那么的度数为（ ）
A． B．55 C． D．
【答案】C
【分析】
由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．
【详解】
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠3＝180°−90°−∠1＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠3的度数是解决问题的关键．
16．如图，AB∥CD，∠2＝36°，∠3＝80°，则∠1的度数为( )
A．54° B．34° C．46° D．44°
【答案】D
【分析】
利用平行线的性质和三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】
解：如图，∵AB∥CD，
∴∠1=∠4，
∵∠3=∠4+∠2，∠2=36°，∠3=80°，
∴∠4=44°，
∴∠1=44°，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17．如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝( )
A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入求出即可．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠DCE+∠BEF=180°，
∵∠DCE=80°，
∴∠BEF=180°-80°=100°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键．
18．如图，已知，则∠1的度数是( )
A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【分析】
由两直线平行，同位角相等可以得到∠1的补角为60°，即可求得∠1的度数为120°．
【详解】
解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线性质定理．
19．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝42°，则∠1＝( )
A．48° B．42° C．40° D．45°
【答案】A
【分析】
由互余得出可求得∠3的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得∠1的度数．
【详解】
如图，∵∠2＝42°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝48°，
∴∠1＝48°．
故选A．
【点睛】
考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
20．在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若，则的度数是（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【分析】
直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数.
【详解】
解:如图
由题意可得:∠1＝∠3＝55°
∠2＝∠4＝90°-55°＝35°
故选:A
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键.
21．如图，直线，，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据两直线平行同位角相等得到∠2=∠3，再根据得到∠CMB=90°，得到∠3+∠1=90°，又因为∠1=22°，继而可求得∠2．
【详解】
解：如图所示：
∵直线，
∴∠2=∠3，
∵，
∴∠CMB=90°，
∴∠3+∠1=90°，
又∵∠1=22°，
∴∠3=68°，
∴∠2=68°，
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质．
22．将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°，则∠1的度数为（ ）
A．52° B．62° C．64° D．42°
【答案】A
【分析】
根据折叠的性质得出∠GEF=64°，利用平行线的性质进行解答即可
【详解】
∵一张长方形纸条ABCD折叠，
∴∠GEF=∠FEC=64°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠GEB=180°-64°-64°=52°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
23．将一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质得出∠1=∠3=130°，代入∠2=∠3-∠A求出即可．
【详解】
解：∵直尺的对边互相平行，
∴∠1=∠3=130°，
在直角三角板中，∠A=90°，
∴∠2=∠3-∠A=130°-90°=40°，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线性质，三角形外角性质的应用，解题的关键是求出∠1=∠3和∠2=∠3-∠A．
24．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．22° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】
过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2=∠EFG=70°，再根据∠AFE=90°，即可得出∠AFG=90°-70°=20°，进而得到∠1=∠AFG=20°．
【详解】
解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，
∴∠2=∠EFG=70°，
又∵∠AFE=90°，
∴∠AFG=90°-70°=20°，
∴∠1=∠AFG=20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键．
25．如图所示，l∥m，等腰直角△ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠的度数为（ ）
A．25° B．30° C．20° D．35°
【答案】A
【分析】
首先过点B作BD∥l，可得BD∥l∥m，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【详解】
解：过点B作BD∥l，
∵l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠2=∠α，∠1=∠β=20°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠α=∠2=∠ABC-∠1=25°．
故选：A．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，内错角相等．
26．如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接作CM∥AB，再利用平行线的判定和性质得出答案．
【详解】
证明：如图，作CM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥CM，
∴∠B=∠BCM，∠D=∠MCD，
∵∠B=40°，∠D=20°，
∴∠BCM=40°，∠MCD=20°，
∴∠BCD=40°+20°=60°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
27．将一个矩形纸片按如图所示的方式折叠，则的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】
如图，根据折叠的性质，得2α+∠ABC=180°，∠ABC=∠DCE=40°，计算即可．
【详解】
如图，根据折叠的性质，得2α+∠ABC=180°，
∵折叠的纸片是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCE=40°，
∴2α+40°=180°，
∴α=70°，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
28．如图，直线l//m，等腰Rt△ABC，直角顶点C在直线l上，另一个顶点B在直线m上，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）
A．17° B．62° C．73° D．75°
【答案】C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可．
【详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝∠1+∠ABC＝73°，
∵l∥m，
∴∠2＝∠EBC＝73°，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
29．如图（1）是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【答案】D
【分析】
由长方形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE=∠DEF=30°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=30°．
由翻折的性质可知：图2中，
∠EFC=180°-∠BFE=150°，∠BFC=∠EFC-∠BFE=120°，
∴图3中，∠CFE=∠BFC-∠BFE=90°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换以及平行线的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
30．如图，设是四边形的对角线，的交点，若，且，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，过点作，交于，通过证明，可求，通过证明，可求，即可求，即可求解．
【详解】
解：如图，过点作，交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
31．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
【答案】C
【分析】
首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
32．一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为（ ）
A．45°，75°，120°，165° B．45°，60°，105°，135°
C．15°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120°
【答案】A
【分析】
分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分别画出图形，根据平行线的性质和三角板的特点求解．
【详解】
解：如图，
①DE∥AB，
∴∠D+∠ABD=180°
∴∠ABD=90°
∴∠ABE=45°；
②DE∥AC，
∵∠D=∠C=90°，
∴B，C，D共线，
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°；
③BE∥AC，
∴∠C=∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°；
④AC∥BD，
∴∠ABD=180°-∠A=120°，
∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°，
综上：∠ABE的度数为：45°或75°或120°或165°．
【点睛】
本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是注意分类讨论，做到不重不漏．
33．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，下列结论中：①若∠DCE=35°，∠ACB=145°；②∠ACB+∠DCE=180°；③当三角尺BCE的边与AD平行时∠ACE=30°或120°；④当三角尺BCE的边与AD垂直时∠ACE=30°或75°或120°，正确个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
根据余角的定义、补角的定义和角的和差可判断①②；画出对应图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理可判断③；画出对应图形，结合垂直的定义和三角形内角和定理可判断④．
【详解】
解：∵∠ECB=90°，∠DCE=35°，
∴∠DCB=90°-35°=55°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+55°=145°，故①正确；
∵∠ACD+∠BCE=∠ACD+∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠ACB+∠DCE=180°，故②正确；
当AD//BC时，如图所示：
∵AD//BC，
∴∠DCB=∠D=30°，
∵∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠DCB=30°；
当AD//CE时，如图所示：
∵AD//CE；
∴∠DCE=∠D=30°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°,
当BE//AD时，延长AC交BE于F，如图所示：
∵BE//AD,
∴∠CFB=∠A=60°，
∴∠CFE=120°，
∵∠E=45°，
∴∠ECF=180°-∠E-∠CFE=15°，
∴∠ACE=165°，
综上，当三角尺BCE的边与AD平行时，∠ACE=30°或120°或165°，故③错误；
当CE⊥AD时，如下图
∵CE⊥AD，
∴∠A+∠ACE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ACE=30°，
当EB⊥CD时，如下图，
∵EB⊥CD，
∴∠E+∠EFD=90°，
∵∠E=45°，
∴∠AFC=∠EFD=∠E=45°，
∴∠ACE=180°-∠A-∠AFC=75°，
当BC⊥AD时，如下图，
∵BC⊥AD，BC⊥CE，
∴AD//CE，
∴∠DCE=∠ADC=30°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°．
综上所述当三角尺BCE的边与AD垂直时∠ACE=30°或75°或120°，④正确．
故正确的有3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角板中角度的计算．主要考查平行线的性质、三角形内角和定理、垂直的定义等．三角板是我们生活中常用的工具，可借助实物拼凑得出图形，再结合图形分析，注意分情况讨论．
34．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】
延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．
【详解】
解：如图延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′＋∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
二、填空题
35．如图，直线∥，△的顶点和分别落在直线和上，若∠1＝60°，且∠1＋∠2＝90°，则的度数是______°．
【答案】30
【分析】
根据平行线的性质可证得∠1=∠ACB+∠2，由∠1=60°且∠1＋∠2＝90°可求解的度数．
【详解】
解：∵直线a∥b，
∴∠1=∠ACB+∠2=60°，
∵∠1=60°且∠1＋∠2＝90°
∴∠2=90°-60°=30°
∴∠ACB=60°-30°=30°，
故答案为：30．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
36．如图，直线，直线AB交，于D，B两点，交直线于点C，若，则_________．
【答案】105°20′
【分析】
利用垂直定义得到∠A=90°，再根据三角形外角性质得到∠CDB=105°20′，然后根据平行线的性质得到∠2的度数．
【详解】
解：∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠CDB=∠1+∠A=15°20′+90°=105°20′，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠CDB=105°20′．
故答案为：105°20′，
【点睛】
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
37．如图，直线，直线c分别交直线a，b于点A，B，若是的3倍，则_________．
【答案】45°
【分析】
由直线a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠1=∠3，又由∠2=3∠1，根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
【详解】
解：∵直线a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2=3∠1，
∴∠2=3∠3，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠3=45°．
故答案为：45°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，此题难度不大．
38．如图，，若，，则______．
【答案】12°
【分析】
由AB∥EF，∠ABE=32°，易求∠BEF，又CD∥EF，∠DCE=160°，那么易求∠CEF，于是∠BEC=∠BEF-∠CEF可求．
【详解】
解：∵AB∥EF，∠ABE=32°，
∴∠BEF=∠ABE=32°；
又∵CD∥EF，∠DCE=160°，
∴∠DCE+∠CEF=180°，
∴∠CEF=20°；
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=32°-20°=12°．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解此题的关键．
39．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知，则=____.
【答案】120°
【分析】
先根据图形折叠的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图，
∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠3+∠1=120°．
故答案为120°．
【点睛】
本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题
40．如图．直线．
（1）判断与的数量关系．并说明理由．
（2）设，求的度数．
【答案】（1）∠B=∠D，理由见解析；（2）35°
【分析】
（1）先根据直线AB∥CD得出∠1=∠B，再由DE∥BC得出∠1=∠D，由此可得出结论；
（2）根据（1）中的结论列出关于x的方程，求出x的值，进而可得出结论．
【详解】
解：（1）∵直线AB∥CD，
∴∠1=∠B．
∵DE∥BC，
∴∠1=∠D，
∴∠B=∠D．
（2）∵∠B=∠D，∠B=（2x+15°），∠D=（65-3x）°，
∴2x+15=65-3x，解得x=10，
∴∠1=∠B=2×10+15=35°．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
41．如图，把一张长方形的纸片沿折叠后，与的交点为，点，分别落在，的位置上，若．求的度数．
【答案】116°
【分析】
由平行线的性质知∠DEF=∠EFB=58°，由题意知∠GEF=∠DEF=58°，则可由平行线的性质求得∠2=∠GED=116°．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=58°，
由对称性知∠GEF=∠DEF，
∴∠GEF=58°，
∴∠GED=116°，
∴∠2=∠GED=116°．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，对应角相等及平行线的性质，关键是求得∠GEF的度数．
42．如图，平分，,，求的度数 ．
【答案】60°
【分析】
根据角平分线的定义得到∠CAB=2∠1=60°，由平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠1=60°，
∵DE∥AC，
∴∠2=∠CAB=60°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
43．如图，点A是∠MON边OM上一点，AE//ON．
(1)尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若∠MAE=48°，则∠OBE的大小为________．
【答案】（1）见解析；（2）156°
【分析】
（1）利用基本作图作OB平分∠MON；
（2）先利用平行线的性质得到∠MON=∠MAE=48°，再根据角平分线的定义得到∠NOB=24°，接着根据平行线的性质得到∠OBA的度数，然后利用邻补角的定义计算∠OBE的度数．
【详解】
解：（1）如图，OB为所作；
（2）∵AE∥ON，
∴∠MON=∠MAE=48°，
∵OB平分∠MON，
∴∠NOB=∠MON=24°，
∵AB∥ON，
∴∠OBA=∠NOB=24°，
∴∠OBE=180°-∠OBA=180°-24°=156°．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．
44．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
，，．
（1）如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上．求出此图中的度数；
（2）如图2，如果把图1所示的以为中心顺时针旋转得到，当平分时，求为多少度；
（3）如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边，请直接写出答案．
【答案】（1）75°；（2）105°；（3）105°或285°
【分析】
（1）由平角的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得∠AOB=∠A'OB'=45°，由角的数量关系可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【详解】
解：（1）由三角板的性质可知：
∵∠AOB=45°，∠COD=60°，
∴∠BOC=75°；
（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，
∴∠AOB=∠A'OB'=45°，
∵∠COD=60°，OB′平分∠COD，
∴∠COB'=30°，
∴∠COA'=∠A'OB'-∠COB'=15°，
∴∠A'OB=∠COB-∠COA'=60°，
∴∠AOA'=∠AOB+∠A'OB=105°；
（3）当A'B'与OD相交于点E时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D=∠A'EO=60°，
∵∠A'EO=∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'=60°-45°=15°，
∴∠BOB'=105°，
当A'B'与AO相交于点F时，
∵A'B'∥CD，
∴∠D=∠A'FO=60°，
∴∠A'OF=180°-∠A'FO-∠A'=75°，
∴旋转的角度=360°-75°=285°，
综上所述：旋转的角度为105°或285°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，灵活运用性质进行推理是本题的关键．
45．如图，中，平分交于 交于
（1）求证：
（2）求的度数
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由三角形内角和180°解得，利用角平分线的性质解得，再结合题意，根据内错角相等，两直线平行解题即可；
（2）由两直线平行同位角相等解题．
【详解】
解：（1）在中，
平分
；
（2）
．
【点睛】
本题考查平行线的判断与性质，涉及角平分线性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
46．如图，直线，直线分别交、于点、，，平分，交于，求和的度数．
【答案】∠EMB=40°，∠MGN=70°
【分析】
根据平行线的性质以及对顶角的性质，即可得到∠EMB的度数，再根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得出∠MGN的度数．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠AMN=∠CNF=40°，
∴∠EMB=∠AMN=40°，
∴∠BMN=140°，
又∵MG平分∠BMF，
∴∠BMG=∠BMN=70°，
∵AB∥CD，
∴∠MGN=∠BMG=70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
47．如图，已知，∠B=∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC，求∠DCE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；
（2））根据AB//CD，∠2=60°，得到∠BAE=∠2=60°，∠BAC=∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC=60°，又根据∠BAC=2∠EAC，得到∠BAC=∠ACD=40°，根据内角和定理即可求出∠DCE的度数．
【详解】
解：（1）∵，
∴
∵，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
∴
∵，
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定的应用，能熟练地运用定理进行推理是解答此题的关键．
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