专题04 一次函数的应用-图像问题-备战2022年中考数学必刷题

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注意横纵坐标表示的含义
分析清楚拐点的含义
若图像为两条线的交点，交点的含义要清楚
例题演练
一．选择题（共4小题）
1．货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；②OA∥CD；③点D的坐标为（65，27500）；④图中a的值是，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【解答】解：①由图象可知，当x＝10时，轿车开始出发；当x＝45时，轿车开始发生故障，则x＝45﹣5＝40（分钟），即货车出发40分钟时，轿车追上了货车，
设货车，轿车的速度分别为m，n米/分，
根据题意，得，
解得，
所以货车的速度为1500米/分，故①正确；
②由题意可知，OA段货车在行驶，轿车停止；CD段货车在行驶，轿车发生故障停止，
则OA与x轴夹角和CD与x轴夹角相等，所以OA∥CD，故②正确；
③轿车故障花了20分钟修好，由题意图象可知，B点时x＝45，此时轿车开始分钟故障，D点时轿车刚修好，即此时x＝45+20＝65，
∴D点纵坐标为：（20﹣）×1500＝30000﹣2500＝27500，
∴D点坐标为：（65，27500），故③正确；
④在D点时，轿车的速度变为原来的，
即此时轿车的速度为：2000×＝1800（米/分），
D点坐标为：（65，27500），到x＝a时轿车开始追赶货车直到两车相遇，
∴（a﹣65）×（1800﹣1500）＝27500，
解得a＝65+＝，
即图中a的值是，故④正确．
综上所述，正确的结论①②③④．
故选：D．
2．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，以下选项中正确的个数是（ ）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为70千米/小时；③货车的速度为45千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由图可得，
甲乙两地的距离为150×3＝450（千米），故①正确；
∵两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，两车相遇时正好是3小时，
∴轿车每小时比货车多行驶30千米，
∴轿车的速度为：[450÷3﹣30]÷2+30＝90（千米/小时），故②错误；
货车的速度为：[450÷3﹣30]÷2＝60（千米/小时），故③错误；
轿车到达乙地用的时间为：450÷90＝5（小时），此时两车间的距离为：60×5＝300（千米），故④正确；
由上可得，正确的是①④，
故选：B．
3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，对于以下说法：①甲车从A地到达B地的行驶时间为2小时；②甲车返回时，y与x之间的关系式是y＝﹣100x+550；③甲车返回时用了3个小时；④乙车到达A地时，甲车距A地的路程是170千米．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
【解答】解：①300÷（180÷1.5）＝2.5（小时），所以甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时，故①错误；
②设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣100x+550，故②正确；
③5.5﹣2.5＝3，
∴甲车返回时用了3个小时，故③正确；
④乙车的速度为（300﹣180）÷1.5＝80（千米/小时），
300÷80＝3.75，
x＝3.75时，y＝﹣100×3.75+550＝175千米，
所以乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米，故④错误，
所以②③正确，
故选：B．
4．在一条笔直的马路上，依次有A，B，C三地，小华，小伟两闪送员从B地同时出发匀速运动，分别到A，C两地送货，小华将货物送到A地并停留3分钟后，掉头以原速的倍途经B地前往C地，两人各自到达C地后原地休息，小华与小伟的距离y（单位：米）和小华所用的时间x（单位：分钟）之间的的函数关系如图所示，设A，B之间的距离为d米，则下列说法正确的是（ ）
A．a＝90B．b＝101C．c＝1050D．d＝450
【解答】解：设小华的速度是x米/分，小伟的速度是y米/分，
根据题意得：，
解得：，
∴c＝36×3+900＝1008；
在两人相距270米时，小伟已到达C地，此时小华已从B地到A地再到距C270米处，
∴（×54﹣36）（a﹣25）＝900﹣270，
解得：a＝95；
b＝95+270÷（×54）＝101；
d＝10×54＝540（米），
故选：B．
二．填空题（共14小题）
5．一艘轮船和一艘快艇分别从甲、乙两个港口同时出发（水流速度不计）相向而行，快艇匀速航行到达甲港后，立即原速返回乙港（掉头时间忽略不计），在返回途中追上轮船时刚好到达一个景点，轮船靠岸1小时供游客观赏游玩，然后继续以原速航行到乙港，两船到达乙港均停止航行，轮船和快艇之间的距离y（千米）与轮船出发时间x（小时）之间的函数图象如图所示，当快艇返回到乙港时，轮船距乙港还有 65 千米．
【解答】解：设轮船的速度为x千米/小时，快艇的速度为y千米/小时，依题意得：
，
解得，
150﹣15×（300÷45﹣1）＝65（千米）．
答：当快艇返回到乙港时，轮船距乙港还有65千米．
故答案为：65
6．“十一黄金周”期间张老师与朋友小王相约从重庆同一地点出发自驾私家车到都江堰风景区去旅游，出发时张老师因临时有事比朋友晚出发了10分钟，途中加油又用了5分钟，假设张老师与朋友小王驾驶途中均保持匀速行驶，如图是张老师与朋友小王之间的距离y（千米）与张老师出发的时间x（小时）之间的函数图象，则当张老师到达都江堰风景区时，朋友小王离景区还有 21 千米．
【解答】解：由图可得，
小王的速度为：15÷＝15×＝90（千米/小时），
张老师的速度为：[90×（2.5+）+10]÷2.5＝100（千米/小时），
当张老师到达都江堰风景区时，朋友小王离景区还有：100×（4.5﹣）﹣90×（4.5+）＝21（千米），
故答案为：21．
7．一辆慢车和一辆快车分别从甲、乙两地同时出发匀速相向而行，去往对方所在地运送货物．两车恰好在服务区相遇，快车司机因长途行车进入服务区休息12小时后，继续以原速向甲地行驶，此时慢车末到达乙地．慢车因为是两位司机轮流驾驶，所以没有休息．两车分别到达目的地卸下货物后，以原路原速返回（卸货时间忽略不计），已知慢车的速度为60千米小时，两车之间的路程y（千米）与慢车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，则慢车出发 小时两车第二次相遇．
【解答】解：设全程为skm，快车速度为vkm/h，
由图列方程组为，
解得，，
设第二次相遇的时间为xh，则有，
60t+（x﹣12）×80＝1680×3，
解得，x＝．
故答案为：．
8．A，B两地相距1385米，甲乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行．甲在中途休息了5分钟．他们两人在A，B之间的C地第一次相遇，相遇后，乙立即返回B地，到达B地后停止运动．甲继续向B地前行，甲到达B地后又立即返回A地，到达A地后停止运动．在整个运动过程中，甲乙两人始终保持各自的速度匀速行走．甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙达到B地时，甲与A地之间的路程是 1125 米．
【解答】解：由图可得，
乙的速度为：（1085﹣960）÷（10﹣5）＝25（米/分钟），
甲的速度为：（1385﹣1085）÷5﹣25＝35（米/分钟），
设甲、乙第一次相遇所用的时间为a分钟，
（a﹣10）×（25+35）＝960，
解得，a＝26，
故乙达到B地时，甲与A地之间的路程是：1385×2﹣（26×2﹣5）×35＝1125（米），
故答案为：1125．
9．如图所示，小明、小白两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知小明先出发6分钟后，小白才出发，他们两人相遇后，小白立即以原速返回B地，小明以原速继续向B地前行，小明、小白分别到达B地后都停止行走，小明、小白两人相距的路程y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则小白到达B地时，小明与B地相距的路程是 137.5 米．
【解答】解：由图可得，
小明的速度为：（1400﹣1100）÷6＝50（米/分钟），
小白的速度为：（1100﹣300）÷（13﹣6）﹣50＝（米/分钟），
小白从B地出发到与小明相遇的时间为：＝（分钟），
故小白从相遇到又回到B地的时间为分钟，
故小白到达B地时，小明与B地相距的路程是：1100﹣50××2＝137.5（米），
故答案为：137.5．
10．学校“青春礼”活动当天，小明和妈妈以不同的速度匀速从家里前往学校，小明害怕集合迟到先出发2分钟，随后妈妈出发，妈妈出发几分钟后，两人相遇，相遇后两人以小明的速度匀速前进，行进2分钟后，通过与妈妈交谈，小明发现忘记穿校服，于是小明立即掉头以原速度的2倍跑回家中，妈妈速度减半，继续匀速赶往学校，小明到家后，花了3分钟换校服，换好校服后，小明再次从家里出发，并以返回时的速度跑回学校，最后小明和妈妈同时到达学校．小明和妈妈之间的距离y与小明出发时间x之间的关系如图所示．则小明家与学校之间的距离是 1760 米．
【解答】解：小明离家2分钟走了160米，
∴小明初始速度为160÷2＝80米/分；
小明返回家速度为80×2＝160米/分，妈妈继续行进速度80÷2＝40米/分；
小明在家换衣服3分钟时间，妈妈走了40×3＝120米，
设小明换好衣服离开家到与妈妈同时到达学校的时间为t分，
则有160t＝1200+120+40t，
∴t＝11，
∴小明离家距离为11×160＝1760米．
故答案为1760米．
11．一天学生小明早上从家去学校，已知小明家离学校路程为2280米（小明每次走的路程），小明从家匀速步行了10.5分钟后，爸爸发现小明的一科作业忘带，爸爸立刻拿起小明忘带的作业匀速跑步追赶小明，追上小明后爸爸立即将作业交给小明，小明继续以原速向学校行走（假定爸爸将作业交给小明的时间忽略不计），爸爸将作业带给小明后，原地接了2分钟的电话后，立即以更快的速度匀速返回家中．小明和爸爸两人相距的路程y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则爸爸到达家时，小明与学校相距的路程是 270 米．
【解答】解：由题意知，图形的纵坐标表示为两人相距的路程，横坐标表示为小明的出发时间，
从0～10.5分钟时，小明自己走，爸爸还没有出发，
∴小明的速度v1＝630÷10.5＝60米/分钟
从10.5～21分钟时，爸爸开始从家出发，并在时间t＝21分钟时追上小明
∴此时小明的路程为：60×21＝1260米
∴爸爸的速度为v2＝1260÷（21﹣10.5）＝120米/分钟，
设爸爸返回时的速度为v，
根据题意得，4v+60×6＝920，
∴v＝140米/分钟，
∴等爸爸送完作业返回家时所用时间为 21×60÷140＝9分钟
∴等爸爸到家小明总用时：21+9+2＝32
∴此时小明与学校相距的距离为：2280﹣32×60＝360米，
故答案为360．
12．小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步．小亮从AB之间的C地出发，到达终点B地停止运动，小明从起点A地与小亮同时出发，到达B地休息20秒后立即以原速度的1.5倍返回C地并停止运动，在返途经过某地时小明的体力下降，并将速度降至3米/秒跑回终点C地，结果两人同时到达各自的终点．在跑步过程中，小亮和小明均保持匀速，两人距C地的路程和记为y（米），小亮跑步的时间记为x（秒），y与x的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时，他距C地还有 180 米．
【解答】解：由图象可知，x＝0时，y＝100，即开始时小亮在C地小明在A地，两人相距100米，
∴AC＝100，
当x＝25时，y最小，即小明到达C地，
∴小明开始速度为：100÷25＝4（米/秒），返回速度为4×1.5＝6（米/秒），
当x＝100时，小明到达B地，
∴AB＝4×100＝400（米），
∴BC＝AB﹣AC＝300（米），
当y＝480最大时，小明休息完20秒，即x＝120，
此时，小亮离C地距离为480﹣300＝180（米），
∴小亮速度为：180÷120＝（米/秒），
∴两人走完全程所用时间为：300÷＝200（秒），
∴小明返回C地所用时间为：200﹣120＝80（秒），
设小明返回时在a秒时速度下降到3米/秒，列方程得：
6a+3（80﹣a）＝300，
解得：a＝20．
此时离C地距离为：3×（80﹣20）＝180（米）．
故答案为：180
13．达达闪送1小时同城快递因其承诺10分钟上门取件，60分钟送达全城而备受人们追捧，现有甲、乙两个快递员在总部A地分别接到一个需送往位于总部正东方向C地的快件的快递单，两人同时出发，其中甲需到位于总部正西方向的B处先取件，取到件后，再送到C地，而乙的快递单只需从总部出发在去往C地的途中取件后且接送达（取件和交货时间忽略不计），出于甲在去往B地的途中发生交通拥堵，所以甲去取件时的速度是乙的，甲到达B地后立即返回，加速追赶还在送件的乙，到达C地送件后停止．乙一直匀速到达C地，送达后立即以原速返回总部后停止，设甲、乙两人之间的距离为y（km），乙行驶的时间为x（h），y与x的部分函数图象如图所示，当甲、乙相遇时，甲距离C地的距离 千米．
【解答】解：甲提速后，甲、乙的速度和为20÷（﹣）＝140km/h，
设乙的速度为vkm/h，则甲提速前的速度为vkm/h，甲提速后的速度为（140﹣v）km/h，
根据题意得：（v+v）+（﹣）[v﹣（140﹣v）]＝20，
解得：v＝60，
∴（﹣）v＝．
故答案为：．
14．甲、乙两人同时骑自行车分别从A、B两地出发到AB之间的C地，且A、B、C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲会合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地．甲乙两人距C地的距离之和y（米）与甲所用时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计），则A、B两地之间的距离为 6875 米．
【解答】解：车坏处距C地距离：5250÷2＝2625米，
乙用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：25.5﹣15＝10.5分，因此乙用原来倍的速度为：2625÷10.5＝250米/分，乙原来速度为：250÷＝200米/分；
甲用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：49.5﹣25.5﹣10＝14分，因此甲用原来倍的速度为：2625÷14＝187.5米/分，甲原来速度为：187.5÷＝150米/分；
设乙行至C地用时x分，则甲行至车坏处（x+5）分，由题意得：x+5+（25.5﹣15）+10+（49.5﹣10﹣25.5）＝49.5，
解得：x＝10
∴A、B两地之间的距离为：150×（10+5）+2625+200×10＝6875米，
故答案为：6875
15．在同一直线上有A、B两地，甲车从A地送货到B地，同时乙车从B地前往A地，两车皆匀速行驶．途中某一时刻，甲车发现有货物落在A、B之间的某处C地，于是立刻掉头并以自己原来速度的两倍匀速返回，取到货物后，再以最初的速度继续匀速向B地行驶．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示（途中掉头、取货物耽误时间忽略不计），当乙车到达A地时，甲车到A地的距离为 千米．
【解答】解：由图象可知，AB两地相距1000千米，
相遇后，8.4小时两车相距50千米，说明两车各行驶8.4小时的路程和比AB两地的路程1000千米要多50千米，即：8.4×（v甲+v乙）＝1000+50，
所以，v甲+v乙＝125千米/小时，
返回后，甲以2倍速度行驶3.6小时的路程与乙行驶3.6小时的路程相差40+50＝90千米，即：2v甲×3.6＝v乙×3.6+90，也就是，2v甲﹣v乙＝25，
故求出，v甲＝50千米/小时，v乙＝75千米/小时，
于是AC之间的路程为50×8.4﹣100×3.6＝60千米，
乙车行全程的时间为1000÷75＝小时，
当乙车到达A地时，甲车从C地又行驶（﹣12）＝小时，
因此，甲车距A地距离为：60+50×＝千米．
故答案为：．
16．一条笔直的公路上顺次有A、B、C三地，甲车从B地出发往A地匀速行驶，到达A地后停止，在甲车出发的同时，乙车从B地出发往A地匀速行驶（乙车比甲车快），到达A地停留1小时后，调头按原速向C地行驶，甲乙两车相遇后，甲车速度提升至原速的1.5倍，乙车速度不变，若AB两地相距300千米，在两车行驶的过程中，甲，乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（时）之间的关系如图所示，则甲车到达A地后，经过 时乙车到达C地．
【解答】解：∵最终两车的距离为400千米，
∴AC＝400千米．
∴乙车行驶的距离为AB+AC＝300+400＝700千米．
∵最终时刻为8小时，乙车在A地停留1小时，
∴乙车的速度为700÷（8﹣1）＝100千米/小时．
∴乙车到达a地的时间为300÷100＝3小时．
∴甲车的速度为100﹣180÷3＝40千米/小时．
∵乙车从A地返回时两车的距离为300﹣4×40＝140千米．
∴两车相遇的时间为4+140÷（100+40）＝5小时．
∵相遇后甲车的速度为40×1.5＝60千米/小时，
∴甲车从相遇点到A地的时间为（300﹣40×5）÷60＝小时．
∴甲车从B地到达A地共用5+＝小时．
∴甲车到达A地后，经过小时乙车到达C地．
故答案为．
17．甲、乙两车在依次有A、B、C三地的笔直公路上行驶，甲车从B地出发匀速向C地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，到达A地并在A地停留1小时后，调头按原速向C地行驶，在两车行驶的过程中，甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两车相遇时，距A地的距离为 405 km．
【解答】解：甲、乙两车的速度和为240÷2＝120（km/h），
设甲车的速度为akm/h，则乙车的速度为（120﹣a）km/h，
根据题意得：7.5a＝（7.5﹣2﹣1﹣2）（120﹣a），
解得：a＝30，
∴120﹣a＝90，
∴当甲、乙两车相遇时，距A地的距离为90×（7.5﹣2﹣1）＝405（千米）．
故答案为：405．
18．一条笔直的公路上顺次有A，B，C三地，甲车从B地出发匀速向C地行驶，同时乙车从B地出发匀速向A地行驶，到达A地并在A地停留0.5小时后，调头将速度提高了向C地行驶，两车到达C地均停止运动．在两车行驶的过程中，甲乙两车之间的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象如图所示，当甲乙两车第一次相遇时，距A地的距离为 840 千米．
【解答】解：如图：
设甲的速度为v甲，乙的速度为v乙，
OD段：两人的速度和为：450÷3＝150（km/h），
即v甲+v乙＝150①，
此时乙休息0.5h，则E处的横坐标为：3+0.5＝3.5，
则乙用了：9.5﹣3.5＝6（h）追上甲，
则②，
联立①②得，
则第一次相遇是在9.5h时，
距离A地：（km）．
故答案为：840．