专题13 圆计算综合-备战2022年中考数学必刷题

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十三、圆的综合计算
知识点拨
圆的基本性质
1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。
3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。

例题演练

1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图：

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即＝，
∴＝，
解得BM＝﹣1，（BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，
∴∠BCD＝∠BCM，
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴＝＝，
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2；
方法二：过C作CM⊥AB于M，连接OC，如图：

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△MOC中，OM＝＝1，
∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，
∴△DCM∽△COM，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：

∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF，
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x，则MF＝2x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝2，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
2．如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．

【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．

∵＝，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝ED．

（2）①证明：如图2中，

∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF，
∵∠AFO＝∠CFH，
∴∠AFO＝∠CHF，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴△AFO∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴CF•AF＝OF•AH．

②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．

∵＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OB，
∴OD⊥BC，CG＝BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，
∴x＝，即OG＝，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC，
∴AC＝．
3．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，
∴AE∥OD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．

（2）证明：如图，连接BF．
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，
∴＝，
∴DF•AC＝AD•DC．

（3）解：过点D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C＝＝，
∴可以假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，
∵•OD•DC＝•OC•DH，
∴DH＝k，
∴OH＝＝k，
∴AH＝OA+OH＝k，
∵AD2＝AH2+DH2，
∴（4）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍弃），
∴DH＝2，AC＝5k＝40，DC＝8，
∵DF•AC＝AD•DC，
∴DF＝4，
∵∠ADE＝∠DAC+∠C＝∠ADF+∠EDF，∠ADF＝∠C，
∴∠EDF＝∠DAC，
∴sin∠EDF＝sin∠DAH，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝6．

4．如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图1，

∵AD＝CD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝60°，
∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，
∵OC是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，
∴△DCO是等边三角形，
∴CD＝AD＝OD＝1，
作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，

∴CH＝＝＝，
∵AB＝AD+BD＝3，
∴S△ABC＝＝．
（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，

∵BD为⊙O的直径，
∴CE＝2CK＝，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∵∠CDB＝∠CEB＝60°，
∴CF＝CE•tan60°＝＝3，
②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，
在Rt△ECF中，tan60°＝，
∴CF＝CE，
∴当CE最大时，CF取得最大值，
∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．

【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，
∴BE＝＝4，
∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BC＝2BE＝8，
∵BG是⊙O的直径，
∴∠BCG＝90°，
∴GC＝＝6，
∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，
∴AE∥GC，
∴△AFO∽△CFG，
∴＝，即＝，
解得：OF＝．

6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．

【解答】（1）证明：连接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直径，
∵F是的中点，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∴AF∥CD，
∴四边形CDMF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝2BE，
设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，FC＝＝2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．

7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径，过点C作CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：∠BAC＝∠BCE；
（2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD的长．

【解答】（1）证明：连接CD，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DCE+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCE，
由圆周角定理得，∠D＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠BCE；
（2）解：∵∠BAC＝60°，
∴∠D＝60°，
∴∠DBC＝30°，
在Rt△CDE中，sinD＝，
∴CD＝＝＝2，
在Rt△CBD中，∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝4．

8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代数式表示）

【解答】解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3，
∴DE＝2，AE＝3，
∴AD＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为；
（3）法一：过O作OH⊥AD于H，如图：

∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，
∴ED＝a，
∵F为DE的中点，
∴CF＝DF＝DE＝a，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD＝b，
∴AD＝ED+AE＝a+b，
∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，
∴OH∥BD，
∵AO＝OB，
∴DH＝AD＝a+b，OH＝BD＝b，
∴HF＝DH﹣DF＝（a+b）﹣a＝b，
在Rt△OHF中，FO＝＝b，
∴CF+FO＝a+b．
法二：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图：

由（1）得△ACE≌△BCD，
∴BD＝AE＝DH，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDH＝90°，
∴△BDH为等腰直角三角形，
∵BD＝b，
∴BH＝b，
∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，
∴ED＝a，CF＝a＝DF＝EF，
而DH＝AE，
∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，
∴F为AH中点，
∵O为AB中点，
∴FO＝BD＝b，
∴CF+FO＝a+b．
9．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

【解答】解：（1）连接OD，如图：

∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，且OM＝3，
∴OD＝＝3，即圆O的半径长为3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：

∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．

【解答】解：（1）如图，连接BD，

∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴EF＝DE＝ADsin60°＝，
∴DF＝2DE＝2．
11．如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

【解答】证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．

12．如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）连接OC，如图：

∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：

∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，＝2，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴＝2，
∴ED＝x+＝CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BD•AD，
∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴⊙O的半径为．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．

【解答】(1)证明:连接OC,

∵OC＝OB,
∴∠OCB＝∠OBC,
∵∠ABC＝∠DCA,
∴∠OCB＝∠DCA,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°,
∴∠ACO+∠OCB＝90°,
∴∠DCA+∠ACO＝90°,
即∠DCO＝90°,
∴DC⊥OC,
∵OC是半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:∵,且OA＝OB,
设OA＝OB＝2x,OD＝3x,
∴DB＝OD+OB＝5x,
∴,
又∵BE⊥DC,DC⊥OC,
∴OC∥BE,
∴△DCO∽△DEB,
∴,
∵BE＝3,
∴OC＝,
∴2x＝,
∴x＝,
∴AD＝OD﹣OA＝x＝,
即AD的长为．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

【解答】解：（1）连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
设BD＝x，则BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD•EM
＝××4
＝．

15．如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．

【解答】（1）证明：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．
∵BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，
∴∠BAC＝∠C＝30°．
∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∵点A在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连结OF，过点O作OH⊥GF于点H．
∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．
∵点D，E分别是AC，OA的中点，
∴OE＝AE＝OA＝×4＝2，DE∥OC．
∴∠OEH＝∠AOB＝60°，OH＝OEsin∠OEH＝．
∴HF＝＝＝．
∴GF＝2HF＝2．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线：
（2）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．

【解答】（1）证明：
连接OD，
由题可知∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BC＝BE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∵OB和OD是圆的半径，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝90°，
即∠ODE＝90°，
故：FE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知BE＝EC＝DE＝BC＝2，
在Rt△FBE中，FE＝＝＝，
∴FD＝FE﹣DE＝﹣2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB，
∴△FDO∽△FBE，
∴，即，
求得OD＝，
∴AB＝2OD＝﹣1，
故：AB长为﹣1．
17．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．

【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
18．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若＝，求cos∠ABD的值．

【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G，
∵点C是的中点，
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，设FG＝x，OB＝r，
∵＝，
设DF＝t，DC＝t，
由（1）得，BC＝CD＝t，BG＝GD＝x+t，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠FCG＝90°，
∵∠DGC＝90°，
∴∠CFB+∠FCG＝90°，
∴∠BCG＝∠CFB，
∴Rt△BCG∽Rt△BFC，
∴BC2＝BG•BF，
∴（t）2＝（x+t）（2x+t）
解得x1＝t，x2＝﹣t（不符合题意，舍去），
∴CG＝＝＝t，
∴OG＝r﹣t，
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2，
∴（r﹣t）2+（2t）2＝r2，
解得r＝t，
∴cos∠ABD＝＝＝．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE是直径，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
又∵EF∥BC，
∴EF⊥AE，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，

∵AE⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝1，
∴HG＝HC+CG＝4，
∴AG＝＝＝5，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得：r＝，
∴AE＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴＝，
∴EF＝，
∵AH＝3，BH＝1，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDG＝180°，
∴∠B＝∠CDG，
又∵∠DGC＝∠AGB，
∴△DCG∽△BAG，
∴，
∴＝，
∴CD＝．
20．如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

【解答】（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，
∵＝2，
∴＝＝，
∴∠COB＝∠BOF，
∵∠A＝∠BOF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：连接BF，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴＝，即＝，解得BD＝8，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽Rt△DAB，
∴＝，即＝，解得DF＝．