（word)重庆南开中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份（word)重庆南开中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题，共49页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（word)重庆南开中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题（学生版）
一、单选题
1．下列数中最大的数是（       ）
A． B．-2 C．0 D．3.14
2．以下是一些常见的交通标识，其中不是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（       ）
A． B． C． D．
4．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的位似比是（       ）

A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，添加一个条件不能证明的是（       ）

A． B．
C． D．
6．估计的值在（       ）之间．
A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
7．如图，为圆的直径，直线为圆的切线，且，则（       ）

A． B． C． D．
8．下列命题中，是假命题的是（       ）
A．对角线相互平分且相等的四边形为菱形
B．多边形的外角和为
C．若，则
D．过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线
9．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，连接，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

10．周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离（米）与小胜出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（       ）．

A．小胜加速后的速度为250米/分钟
B．老张用了24分钟到达体育馆
C．小胜回家后用了0.6分钟取装备
D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米
11．若关于的不等式组有解，且使关于的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数的和为（       ）
A．-9 B．-8 C．-5 D．-4
12．如图，矩形中，连接对角线、、平分交于点，为上一点，为延长线上一点，连接，，的延长线交于点，交于点，且，以下结论：①，②，③；④若，则四边形的面积为．其中正确结论的序号是（       ）

A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
13．2022年1月17日，2022年春运正式开启，本次春运从1月17日一直持续到2月25日，共40天，而在春运期间，全国预计发送旅客1180000000人次，相比去年提升了，将数据1180000000用科学记数法表示为__________．
14．有四张完全相同且不透明的的卡片，正面分别标有数字-1，-2，1，2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为，则函数与函数的交点在第一，三象限的概率是__________．
15．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作，交于点，交于点，连接，则图中阴影部分的面积为__________．

16．现防疫已成为常态化，防疫包成为每个家庭的必需品，某药品商店配制防疫包进行售卖，防疫包包含一次性医用口罩，医用棉签，消毒液，医用橡胶手套若干个，一包医用棉签的成本价为一个医用口罩的4倍，一瓶消毒液和一副医用手套成本价之和为一包医用棉签成本价的3倍，一瓶消毒液成本价与一副医用手套成本价之差为一个医用口罩的2倍．商店根据需求配置甲，乙，丙三种防疫包，甲包含若干个医用口罩（个数介于10和20之间），1包医用棉签，1瓶消毒液，2副医用手套，乙包含5个医用口罩，含5个医用手套，2包医用棉签，一瓶消毒液，3副医用手套，丙包含4个医用口罩，1包医用棉签，2瓶消毒液，2副医用手套，每种防疫包的成本等于四种物品的成本之和，每个甲种防疫包利润率为，丙种防疫包利润率为，乙种防疫包利润率为甲和丙的平均数．一小区过年为360户业主每户分发一个防疫包作为新年礼物，从该商店购买甲种防疫包100个，最终商店获得的总利润率等于单个乙防疫包的利润率．经调查，三种防疫包中更受欢迎的是乙防疫包，为了更多购买乙防疫包，则该小区购买丙种防疫包__________个．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)

18．“双减”政策落实下，学生在完成寒假作业之余，每天有更多时间进行体育锻炼．为了了解学生体育锻炼时间具体情况，北关中学入学后，对八，九年级学生寒假每天体育锻炼时间进行了问卷调查，现从八、九年级各抽取了15名同学的调查数据进行整理、描述和分析如下：（调查数据用表示，共分成四组：：，：，：，：，单位为小时）
八年级抽取的15名同学的调查数据是：0.1，0.4，0.6，0.7，0.8，1，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.4，1.6，1.8，2
九年级抽取的15名同学调查数据中，、两组数据个数相等，，两组同学的调查数据是：0.4，1.2，1.3，1.4，1.4，1.4，1.4
年级
八年级
九年级
平均数
1.1
1.3
中位数
1.2

众数

1.4


根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中，，的值：__________，__________，__________；
(2)根据以上数据，你认为该校八，九年级中哪个年级学生锻炼时间更多？并说明理由（说明一条理由即可）
(3)若每天体育锻炼时间超过1小时视为有良好的生活习惯，该校八年级共有600人，九年级共有900人参加了此次问卷调查，估计两个年级有良好生活习惯的学生人数一共是多少人？
19．如图，四边形为平行四边形，连接、交于点．

(1)请用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为；在直线上作点使得，连接（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求证：．
20．新春佳节期间，家家户户需购置大量年货，其中零食和水果是必需品．某小区商贩大批购进旺旺大礼包和沙田柚，已知购进4个旺旺大礼包和5个沙田柚共需120元，购进2个旺旺大礼包和3个沙田柚共需62元．
(1)请求出每个旺旺大礼包和沙田柚的进价．
(2)年前该商贩将旺旺大礼包进价提高出售，沙田柚售价每个8元，每天可销售沙田柚50个，年后需求量下降，该商贩决定在年前售价的基础上降价促销以增加销量，尽可能多地减少库存，若旺旺大礼包每降价2元，每天销量在40个的基础上增加10个，年后沙田柚打7.5折出售，每天销量在年前基础上增加10个，若要使年后每天利润达到780元，则旺旺大礼包售价每天降低多少元出售？

21．如图，反比例函数过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为-3，一次函数经过，两点，与轴交于点，连接，．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)当时，直接写出自变量的取值范围．
22．如图，重庆是著名的山城，为了测量坡度为的斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组站在山脚点处沿水平方向走了6米到达点，再沿斜坡行走26米到达点，再向前走了20米到达一个比较好的测量点，在点测量得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为，已知斜坡的坡度为，测量员的身高忽略不计，，，，，，，，在同一平面内，于点，于点．

(1)求点到山脚的水平距离；
(2)求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）
23．对于任意一个四位数，如果满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数为“双减数”．对于一个“双减数”，将它的千位和百位构成的两位数为，个位和十位构成的两位数为，规定：．例如：．因为，故7028是一个“双减数”，则，
(1)判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出的值；
(2)若自然数为“双減数”，是3的倍数，且各个数位上的数字之和能被13整除，求的值．

24．如图1，二次函数与轴交于点、点（点在点左侧），与轴交于点，．

图1                                        图2
(1)求二次函数解析式；
(2)如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴交于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕原点顺时针旋转至；将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，点为平面内任意一点，当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的坐标．
25．在与中，，且，，，，四点共线，为中点，连接与．

图1                                图2                                图3
(1)如图1，若点与点重合，点与点重合，且，，求的长；
(2)如图2，若点与点重合，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，为上一点，连接．将沿翻折到，与交于点，连接，当最大时，直接写出的值．




















重庆南开中学2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列数中最大的数是（       ）
A． B．-2 C．0 D．3.14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据实数的大小比较即可求得答案．
【详解】
解：∵
∴最大的数是
故选A
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较是解题的关键．
2．以下是一些常见的交通标识，其中不是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，根据中心对称图形的定义对各选项进行一一分析即可．
【详解】
解：选项A是中心对称图形，故不合题意；
选项B是中心对称图形，故不合题意；
选项C是旋转对称图形，因为绕旋转中心旋转180°，与原图形不重合，故符合题意；
选项D是中心对称图形，故不合题意．
故选Ｃ．
【点睛】
本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的定义与特征是解题关键．
3．下列运算正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则、单项式乘除法法则、积的乘方法则逐一进行分析判断即可得．
【详解】
A. ，故该选项不正确，不符合题意，       
B. ，故该选项正确，符合题意，
C. ，故该选项不正确，不符合题意，
D. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意．
故选B
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，涉及了积的乘方，单项式乘除法，合并同类项等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
4．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的位似比是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据位似定义性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到．
【详解】
解：和是以点为位似中心的位似图形，
,
,
和的相似比为，
和的位似比为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查位似变换的概念，相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比是相似比的平方解决问题的关键．
5．如图，在菱形中，添加一个条件不能证明的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据菱形性质得出AB=CD，∠ABE=∠CDF，利用ASA可判断A；利用AAS可判断B；根据SSA不能判断C；利用SAS可判断D．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
A. 添加，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
故选项A正确，不合题意；
B. 添加，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
故选项B正确，不合题意；
C. 添加，根据SSA条件不能判断△ABE和△CDF全等；
故选项C不正确，符合题意；
D. ，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
故选项D正确，不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查菱形的性质，添加条件判断三角形全等，掌握菱形性质，三角形全等判定方法是解题关键．
6．估计的值在（       ）之间．A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简二次根式混合运算，得出，再估值，得出，三边同时加2即可．
【详解】
解：，
=，
=，
=，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式混合运算，估值，掌握二次根式混合运算法则和估值方法是解题关键．
7．如图，为圆的直径，直线为圆的切线，且，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由为的直径，可得， 根据可得，利用弦切角定理可得，根据三角形外角定义可得，即可得到答案。
【详解】
解：为的直径，
，
，
连接并延长交于，连接，

为直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的外角，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查圆的切线，弦切角定理、圆周角定理、三角形外角定义，解决本题的关键是对这些性质的理解与掌握．
8．下列命题中，是假命题的是（       ）
A．对角线相互平分且相等的四边形为菱形
B．多边形的外角和为
C．若，则
D．过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线
【答案】A
【解析】
【分析】
根据菱形的判定定理，多边形的外角和，等式的性质，切线的定义逐项分析判断即可
【详解】
解：A. 对角线相互平分且垂直的四边形为菱形，故该选项是假命题，符合题意；
B. 多边形的外角和为，故该选项是真命题，不符合题意；
C. 若，则，故该选项是真命题，不符合题意；
D. 过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线，故该选项是真命题，不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查了命题的判定，掌握菱形的判定定理，多边形的外角和，等式的性质，切线的定义是解题的关键．
9．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，连接，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接DG，过点D作交EC于点H，根据全等三角形的判定和性质可得，，再由正方形的性质及全等三角形的判定和性质可得，，设，则，在中，计算，利用等量代换即可得出结果．
【详解】
解：如图所示：连接DG，过点D作交EC于点H，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在正方形ABCD中，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求正切函数值等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
10．周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离（米）与小胜出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（       ）．

A．小胜加速后的速度为250米/分钟
B．老张用了24分钟到达体育馆
C．小胜回家后用了0.6分钟取装备
D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以在图上分辨出老张和小胜的函数图像，根据6.4分钟后的图像曲线可以计算出小张加速后的速度，从而判断出A选项；再根据共行4分钟，可以计算出老张的速度，从而算出老张的总用时，判断出B选项；根据老张总共用时，可以计算出小胜赶往体育馆用时，从而可以判断出C选项；再通过设方程求出小胜追上老张所用时间，可以计算出老张从家到被小胜追上所用时间，最后即可计算出最后答案．
【详解】
A、小胜加速后用min走了m，
速度为m/min，
故选项A正确，不符合题意；
B、老张全程速度不变，和小胜一起用4分钟走了m，
速度为m/min，由图可知小胜家到体育馆距离为3000m，
老张用时min，再加上之前找小胜家用的4分钟，
总共用时24分钟，
故选项B正确，不符合题意；
C、因老张用20分钟到体育馆，所以小胜花19分钟到，
所以小胜赶往体育馆用时min，
所以图中他逗留家中的时间为min，
故选项C正确，不符合题意；
D、6.4分钟时，老张走了m，
距离体育馆还剩m，小胜开始返回体育馆，
设t分钟时小胜追上老张，
得，解得，
此时从家开始老张总共用了分钟，
距离老张家m，
故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考察了函数图像的实际运用，行程问题的基本关系，一元一次方程的应用，解本题的关键是计算出两个人的速度．
11．若关于的不等式组有解，且使关于的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数的和为（       ）
A．-9 B．-8 C．-5 D．-4
【答案】A
【解析】
【分析】
先求不等式组的解集，根据不等式组有解，可得，然后再解出分式方程，再根据分式方程的解为非负数，可得，即可求解．
【详解】
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵不等式组有解，
∴，解得：，
，
去分母得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴，即，
∴，
∴满足条件的所有整数有-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3，
∴满足条件的所有整数的和．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的基本步骤是解题的关键．
12．如图，矩形中，连接对角线、、平分交于点，为上一点，为延长线上一点，连接，，的延长线交于点，交于点，且，以下结论：①，②，③；④若，则四边形的面积为．其中正确结论的序号是（       ）

A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质可得，从而可得，由此即可判断①；设与交于点，先根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质、等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可判断②；设与交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可判断③；先根据矩形的性质、三角形的面积公式求出，再利用勾股定理可得，过点作于点，然后分别在和中，利用正切三角函数分别求出的长，最后根据四边形的面积等于即可判断④．
【详解】
解：四边形是矩形，
，
，
，
，即，结论①正确；
如图，设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，结论②正确；
如图，设与交于点，
四边形是矩形，平分，
，，
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，   
，即，
，
，
由上已得：，
，即，
在和中，，
，
，
，结论③正确；
四边形是矩形，，
，
，即，
解得，
，
由上已证：，，
，
，
，
，
，即，
解得，
过点作于点，则是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
，
则四边形的面积为

，结论④正确；
综上，正确结论的序号是①②③④
故选：D．

【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、正切三角函数等知识点，较难的是③，正确找出两组全等三角形是解题关键．
二、填空题
13．2022年1月17日，2022年春运正式开启，本次春运从1月17日一直持续到2月25日，共40天，而在春运期间，全国预计发送旅客1180000000人次，相比去年提升了，将数据1180000000用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
将绝对值大于1的数表示为，，n为正整数，n等于整数位数减1，据此求解即可得．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查绝对值大于1的科学记数法的表示方法，熟练掌握变换方法是解题关键．
14．有四张完全相同且不透明的的卡片，正面分别标有数字-1，-2，1，2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为，则函数与函数的交点在第一，三象限的概率是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据函数与函数的交点在第一，三象限可得，，根据列表法求解即可
【详解】
函数与函数的交点在第一，三象限
，，
列表如下：






，
，
，
，

，
，
，
，

，
，
，
，

，
，
，
，

根据列表可得共有16种等可能结果，其中的结果有4种，则
函数与函数的交点在第一，三象限的概率是
故答案为：
【点睛】
本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，列表法求概率，掌握函数的性质是解题的关键．
15．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作，交于点，交于点，连接，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
连接，，证明是等边三角形，根据圆心角相等，半径相等，可得扇形面积相等，图中阴影部分的面积为，进而求得即可求解．
【详解】
如图，连接，，过作于

根据作图可得

是等边三角形
,
四边形是平行四边形
，

是等边三角形
，

扇形面积相等
图中阴影部分的面积为
，，
，

故答案为：
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等的性质，将图中阴影部分的面积转化为求解是解题的关键．
16．现防疫已成为常态化，防疫包成为每个家庭的必需品，某药品商店配制防疫包进行售卖，防疫包包含一次性医用口罩，医用棉签，消毒液，医用橡胶手套若干个，一包医用棉签的成本价为一个医用口罩的4倍，一瓶消毒液和一副医用手套成本价之和为一包医用棉签成本价的3倍，一瓶消毒液成本价与一副医用手套成本价之差为一个医用口罩的2倍．商店根据需求配置甲，乙，丙三种防疫包，甲包含若干个医用口罩（个数介于10和20之间），1包医用棉签，1瓶消毒液，2副医用手套，乙包含5个医用口罩，含5个医用手套，2包医用棉签，一瓶消毒液，3副医用手套，丙包含4个医用口罩，1包医用棉签，2瓶消毒液，2副医用手套，每种防疫包的成本等于四种物品的成本之和，每个甲种防疫包利润率为，丙种防疫包利润率为，乙种防疫包利润率为甲和丙的平均数．一小区过年为360户业主每户分发一个防疫包作为新年礼物，从该商店购买甲种防疫包100个，最终商店获得的总利润率等于单个乙防疫包的利润率．经调查，三种防疫包中更受欢迎的是乙防疫包，为了更多购买乙防疫包，则该小区购买丙种防疫包__________个．
【答案】80．
【解析】
【分析】
先将甲乙丙三种防疫包列表，设口罩成本价为m，一包医用棉签的成本价为4m，一瓶消毒液成本为a,一副医用手套成本价b，根据等量关系一瓶消毒液和一副医用手套成本价之和为一包医用棉签成本价的3倍，一瓶消毒液成本价与一副医用手套成本价之差为一个医用口罩的2倍．列方程组解方程组得出，求出甲乙丙的成本，根据总获利等于三种防疫包利润之和，列等式得出，根据，列不等式，解不等式即可．
【详解】
解：

口罩
棉签
手套
消毒液
甲
10~20
1
2
1
乙
5
2
5
1
丙
4
1
3
2

设口罩成本价为m，一包医用棉签的成本价为4m，
设一瓶消毒液成本为a,一副医用手套成本价b，
根据题意，
解得，
设乙种防疫包购进n个，丙360-100-n=(260-n)个，甲防疫包中x个口罩，
甲防疫包成本4m+10m+7m+xm31m=(21+x)m，
乙防疫包成本5m+8m+35m+5m=53m，
丙防疫包成本4m+4m+21m+10m=39m，
∵每个甲种防疫包利润率为，丙种防疫包利润率为，
乙种防疫包利润率为．
，整理得39n+100x=8040，
∴，
∵，即，
解得，
∵三种防疫包中更受欢迎的是乙防疫包，
∴n=180，
丙：260-n=80，
∴该小区购买丙种防疫包80个，
故答案为80．
【点睛】
本题考查列代数式，列二元一次方程组解应用题，成本，利率，利润三者关系，函数关系式，列不等式组，解不等式组，最值，平均数，掌握列代数式，列二元一次方程组解应用题，成本，利率，利润三者关系，函数关系式，列不等式组，解不等式组，最值，平均数是解题关键．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行计算即可；
（2）先根据整式与分式的加法计算括号内的，根据分式的加减运算进行计算即可
(1)



(2)






【点睛】
本题考查了整式的混合运算，分式的加减混合运算，正确的计算是解题的关键．
18．“双减”政策落实下，学生在完成寒假作业之余，每天有更多时间进行体育锻炼．为了了解学生体育锻炼时间具体情况，北关中学入学后，对八，九年级学生寒假每天体育锻炼时间进行了问卷调查，现从八、九年级各抽取了15名同学的调查数据进行整理、描述和分析如下：（调查数据用表示，共分成四组：：，：，：，：，单位为小时）
八年级抽取的15名同学的调查数据是：0.1，0.4，0.6，0.7，0.8，1，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.4，1.6，1.8，2
九年级抽取的15名同学调查数据中，、两组数据个数相等，，两组同学的调查数据是：0.4，1.2，1.3，1.4，1.4，1.4，1.4
年级
八年级
九年级
平均数
1.1
1.3
中位数
1.2

众数

1.4


根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中，，的值：__________，__________，__________；
(2)根据以上数据，你认为该校八，九年级中哪个年级学生锻炼时间更多？并说明理由（说明一条理由即可）
(3)若每天体育锻炼时间超过1小时视为有良好的生活习惯，该校八年级共有600人，九年级共有900人参加了此次问卷调查，估计两个年级有良好生活习惯的学生人数一共是多少人？
【答案】(1)1.4，1.2，144；
(2)根据以上数据，从平均数看九年级平均数1.3大于八年级平均数1.1，从中位数看九年级中位数1.4大于八年级中位数1.2，从众数看，九年级众数1.4大于八年级众数1.2，从三方面分析，九年级学生锻炼时间多；
(3)两个年级良好人数为1000人．
【解析】
【分析】
（1）从八年级15人中找出重复出现次数最多的数据为众数，先确定九年级A组1个数据，B组4个数据，将C组从小到大排序，根据中位数定义，求出中间位置的数据即可；
（2）根据表格信息，从平均数，中位数，众数三个方面分析高的说明锻炼时间长即可；
（3）先分别计算每个年级良好人数与样本的比，利用样本的比例估计总体的数量，再求两个年级良好的和即可．
(1)
解：八年级抽取的15名同学的调查数据中重复出现最多的数据是1.2，
∴八年级众数为b=1.2，
∵，两组同学的调查数据是：0.4，1.2，1.3，1.4，1.4，1.4，1.4，共七个，
∴、两组数据共有8个数据，
∵、两组数据个数相等，
∴每组各有4个数据，
∵：，
∵0.4，属于A组，1个，A、B两组共有5个，
把C组排序1.2，1.3，1.4，1.4，1.4，1.4，第8位数据为1.4，
∴a=1.4；
∵C组的频率为：，
∴m=360×40%=144°，
故答案为：1.4，1.2，144；
(2)
根据以上数据，从平均数看九年级平均数1.3大于八年级平均数1.1，从中位数看九年级中位数1.4大于八年级中位数1.2，从众数看，九年级众数1.4大于八年级众数1.2，从三方面分析，九年级学生锻炼时间多；
(3)
解八年级15人中，良好的人数有10人，占样本的比为：，
∴八年级600人，良好的人数有人，
九年级15人中，良好的人数有10人，占样本的比为，
九年级有900人，良好的人数有人，
两个年级良好人数为400+600=1000人．
【点睛】
本题考查集中趋势的数据，中位数，众数，利用集中趋势的数据进行决策，用样本的比例估计总体的数量是解题关键．
19．如图，四边形为平行四边形，连接、交于点．

(1)请用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为；在直线上作点使得，连接（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求证：．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解．
【解析】
【分析】
（1）以点A为圆心，AO为半径画弧，交OB于H，作OH的垂直平分线IJ交BD于E，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线AE于G，连结BG；
（2）根据平行四边形性质得出OB=OD，AO=CO，根据，得出OE=BE，根据AG为OB的垂直平分线，得出AB=AO即可．
(1)
解：以点A为圆心，AO为半径画弧，交OB于H，分别以O、H为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点I、J，过I、J作直线IJ交BD于E，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线AE于G，连结BG；

(2)
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，
∵，
∴OE+OD=3BE，
∴OE+BE+OE=3BE，
∴OE=BE，
∵AG为OB的垂直平分线，
∴AB=AO，
∵AB=BG，
∴BG=AO=OC．
【点睛】
本题考查尺规作图，过点A作线段BD的垂线，作线段BG=AB，平行四边形性质，垂直平分线性质，线段中点，掌握查尺规作图，平行四边形性质，垂直平分线性质，线段中点是解题关键．
20．新春佳节期间，家家户户需购置大量年货，其中零食和水果是必需品．某小区商贩大批购进旺旺大礼包和沙田柚，已知购进4个旺旺大礼包和5个沙田柚共需120元，购进2个旺旺大礼包和3个沙田柚共需62元．
(1)请求出每个旺旺大礼包和沙田柚的进价．
(2)年前该商贩将旺旺大礼包进价提高出售，沙田柚售价每个8元，每天可销售沙田柚50个，年后需求量下降，该商贩决定在年前售价的基础上降价促销以增加销量，尽可能多地减少库存，若旺旺大礼包每降价2元，每天销量在40个的基础上增加10个，年后沙田柚打7.5折出售，每天销量在年前基础上增加10个，若要使年后每天利润达到780元，则旺旺大礼包售价每天降低多少元出售？
【答案】(1)每个旺旺大礼包的进价为25元和每个沙田柚的进价为4元．
(2)旺旺大礼包售价降低4元出售．
【解析】
【分析】
（1）设每个旺旺大礼包的进价为x元和每个沙田柚的进价为y元．根据等量关系：购进4个旺旺大礼包和5个沙田柚共需120元，购进2个旺旺大礼包和3个沙田柚共需62元，列方程组，解方程组即可；
（2）根据每个旺旺大礼包的利润×礼包的销量+每个田柚的利润×田柚的销量=780列方程，解方程即可．
(1)
解：设每个旺旺大礼包的进价为x元和每个沙田柚的进价为y元．
根据题意，得，
解得，
答每个旺旺大礼包的进价为25元和每个沙田柚的进价为4元．
(2)
解：设旺旺大礼包售价降低m元出售，
旺旺大礼包进价提高出售的售价为：25×(1+60%)=40元，
，
整理得，
解得，
经检验都是方程的解，
因为尽可能多地减少库存，
∴，
所以旺旺大礼包售价降低4元出售．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组解应用题，列一元二次方程解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题，列一元二次方程解应用题方法与步骤是解题关键．
21．如图，反比例函数过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为-3，一次函数经过，两点，与轴交于点，连接，．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)当时，直接写出自变量的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）延长交轴于，根据即可求得；
（3）根据、两点的坐标以及图像即可求得．
(1)
解：将代入得
，
，
反比例函数的解析式为：，
将 代入得，
，
设直线方程为：，
将代入得，
，
联立 解得或，
，
将和代入得
，解得，
一次函数的解析式为：；
(2)
解：延长交轴于，

设直线方程为：，
将和代入得
，解得，
直线方程为：；
令，即，解得，
，
令，即，解得，
，
；
(3)
解：与交点为和，并且结合函数的图像
当时，要使，则，
当时，要使，则，
综上，的取值范围或．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图像的应用，能求出函数的解析式是解决问题的关键．
22．如图，重庆是著名的山城，为了测量坡度为的斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组站在山脚点处沿水平方向走了6米到达点，再沿斜坡行走26米到达点，再向前走了20米到达一个比较好的测量点，在点测量得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为，已知斜坡的坡度为，测量员的身高忽略不计，，，，，，，，在同一平面内，于点，于点．

(1)求点到山脚的水平距离；
(2)求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）
【答案】(1)50米；
(2)8.5米；
【解析】
【分析】
（1）过点C作CI⊥EG，垂足为I，设,，利用勾股定理求得，然后得到EF的长度，即可得到答案；
（2）过点H作HJ⊥EG，垂足为J，设，，则，，利用坡度的比例求得，再结合三角函数，求出BJ、AJ的长度，即可得到答案．
(1)
解：如图，过点C作CI⊥EG，垂足为I，则EI=CD=6，

∵，斜坡的坡度为，
∴设,，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴点到山脚的水平距离为50米；
(2)
解：如图，过点H作HJ⊥EG，垂足为J，则HJ=DE=10，CH=IJ，

∵斜坡的坡度为，
设，，
∴，，
∵点测量得建筑物底部的仰角为，即，
∴，
解得：，
∴，，
∵点测量得建筑物顶部的仰角为，即，
∴，
∴，
∴（米）；
【点睛】
本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
23．对于任意一个四位数，如果满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数为“双减数”．对于一个“双减数”，将它的千位和百位构成的两位数为，个位和十位构成的两位数为，规定：．例如：．因为，故7028是一个“双减数”，则，
(1)判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出的值；
(2)若自然数为“双減数”，是3的倍数，且各个数位上的数字之和能被13整除，求的值．
【答案】(1)9527不是双减数，6713是双减数，
(2)5602
【解析】
【分析】
（1）根据双减数的定义判断并求值即可．
（2）设，根据双减数的性质可推导得，再分两种情况讨论即可：1）当时；2）当时．
(1)
解：9527百位上的数字与十位上的数字之差是3，千位上的数字与个位上的数字之差是2，不满足百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，故不是双减数；
6713百位上的数字与十位上的数字之差是6，千位上的数字与个位上的数字之差是3，满足百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故 6713是双减数；

故9527不是双减数，6713是双减数，．
(2)
解：设
由题意可知，是3的倍数，且各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍
故可得
（n为正整数，能被13整除说明是13的倍数）

由③式可得知，的结果中，个位数是十位数的两倍，而且
，（说明是36的倍数）
根据“双減数”各位数不重复与的性质，最大为98，最小为10
最大为88
36或72（舍去）（根据双减数百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除）

即
将④⑤代入②可得

同理，根据“双减数”的性质可得的最大值为，最小值为

是13的倍数
只能取13或26
1）当时
可得
d与c的值可能为， （舍去），（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除）
即
2）当时
可得
（舍去）（由于不为整数，与题意不符，故舍去）


【点睛】
此题考查了新定义下的实数运算问题，解题的关键是根据新定义的运算规则求解．
24．如图1，二次函数与轴交于点、点（点在点左侧），与轴交于点，．

图1                                        图2
(1)求二次函数解析式；
(2)如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴交于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕原点顺时针旋转至；将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，点为平面内任意一点，当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)二次函数解析式为；
(2)m=3时，函数有最大值，点P（3，）；
(3)以点，，，为顶点的四边形是矩形时，点的坐标为（）或（）．
【解析】
【分析】
（1）根据．求出OB=6，根据二次函数与轴交于点、点（6，0），与轴交于点代入坐标得：，解方程组即可；
（2）设点P的横坐标为m，点P（m, ），用待定系数法求BC的解析式为，得出DF=，求出PD=PF-DF=， 根据PE∥BC，得出∠PEF=∠CBO，利用，求出BE=-(6-m)，求出PD+BE，根据函数性质可求m=3时，函数有最大值即可；
（3）根据当取最大值时，点P（3，），点D（3，）点C（0，3）
绕点O顺时针旋转90°，求出点C′（3，0），D′（，-3），根据AC=，得出抛物线向下平移单位，再先作平移1个单位，平移后的抛物线为，新抛物线的对称轴为x=1，设点N（x,y），点M（1，n），分两种情况四边形MD′C′N为矩形，延长P′D′交新抛物线对称轴与H，过C′作C′I⊥D′P′于I，证明△MDH∽△D′C′I，当四边形MND′C′为矩形，新抛物线对称轴与x轴交于G，△MGC′∽△DIC′即可求解．
(1)
解：∵，
∴OC=3，
∴．
∴OB=6，
点B（6，0），
∵二次函数与轴交于点、点（6，0），与轴交于点代入坐标得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为；
(2)
解：设点P的横坐标为m，
∴点P（m, ），
设BC的解析式为代入坐标得：
，
解得：，
∴BC的解析式为，
∴DF=，
∴PD=PF-DF=，
∵PE∥BC，
∴∠PEF=∠CBO，
∵，
∴EF=2PF=，
∴BE= EF-FB=-(6-m)，
∴PD+BE=，
∵，
∴m=3时，函数有最大值，
，
此时点P（3，）；

(3)
解：当取最大值时，点P（3，），点D（3，）点C（0，3）
绕点O顺时针旋转90°，点C′（3，0），
CD纵坐标之差为3-=，
C′D′横坐标之差为，点D′的横坐标为3-=，
∴D′（，-3），
将抛物线配方，
∵AC=，
∴，
∴抛物线向下平移单位，再先作平移1个单位，
平移后的抛物线为即，
新抛物线的对称轴为x=1，
设点N（x,y），点M（1，n）,
分两种情况:
四边形MD′C′N为矩形，延长P′D′交新抛物线对称轴与H，过C′作C′I⊥D′P′于I，
D′H=，点H（1，-3），
∵∠MD′C′=90°,
∴∠MD′H+∠C′D′I=90°，∠HMD′+∠HD′M=90°，
∴∠C′D′I=∠HMD′,
∵∠MHD′=∠C′ID′=90°，
∴△MDH∽△D′C′I，
∴即，
解得，
∴点M（1，），
∴3-x=，解得x=，
∴y-0=+3，解得y=，
∴点N（）；

当四边形MND′C′为矩形，新抛物线对称轴与x轴交于G，
∵∠M′C′D=90°，
∴∠MC′G+∠GC′D′=∠GC′D′+∠D′C′I=90°，
∴∠MC′G=∠D′C′I，
∵∠MGC′=∠D′IC′=90°，
∴△MGC′∽△DIC′，
∴即，
解得：n=1
∴x+3=1+，解得，
∴y+0=1-3，解得y=-2，
点N（），
综合以点，，，为顶点的四边形是矩形时，点的坐标为（）或（）．

【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，锐角三角函数，解三元一次方程组，平行线性质，函数的最值，勾股定理，矩形性质，三角形相似判定与性质，本题难度大，知识应用多，集难点于一题，利用辅助线画出准确图形，以及利用分类思想是问题得以全面解决是解题关键．
25．在与中，，且，，，，四点共线，为中点，连接与．

图1                                          图2                                           图3
(1)如图1，若点与点重合，点与点重合，且，，求的长；
(2)如图2，若点与点重合，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，为上一点，连接．将沿翻折到，与交于点，连接，当最大时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求得的长，进而根据为的中点求得的长度，根据，列出比例式，即可求得的长；
（2）过点作的垂线，垂足分别为，连接，证明，可得，再证明，，进而证明是等腰直角三角形可得，即可证明；
（3）过点作于，根据，则取得最大值，则取得最大值，，即可知当取得最小值时最大，设，则，，分别解，分别求得，继而根据三角形面积公式计算，即可求得比值．
(1)
解：与中，，
，
又，
，
，
，
，为中点，，
，，
，
，
，

(2)
如图，过点作的垂线，垂足分别为，连接，

与中，，
，
又，
，
即
在与中，


,，

在与中，   


，
设，则
，是的中点，






即
在四边形中，
四边形是矩形

在与中









是等腰直角三角形


即：
(3)
如图，过点作于，

，
设，则，
中，
由（2）可知







为的中点，则
，则取得最大值，则取得最大值，
又，
当取得最小值时最大，
如图，当时，取得最小值，

，．将沿翻折到，

此时，则
在中，





【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练运用以上知识是解题的关键．