2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性周期性集训含解析文

这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性周期性集训含解析文，共6页。

[A级 基础练]
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)
解析：选B．y＝eq \f(1,x)为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(|x|)在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．
2．(2020·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－eq \f(1,x3)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
解析：选A．方法一：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,（－x）3)＝－x3＋eq \f(1,x3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x3)))＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D．因为函数y＝x3，y＝－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)＝x3－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．
方法二：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为f(－x)＝(－x)3－eq \f(1,（－x）3)＝－x3＋eq \f(1,x3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x3)))＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D．当x∈(0，＋∞)时，由f(x)＝x3－eq \f(1,x3)，
得f′(x)＝3x2＋eq \f(3,x4)>0，所以f(x)＝x3－eq \f(1,x3)在(0，＋∞)上为增函数，排除B，故选A．
3．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝( )
A．6 B．－6
C．4 D．－4
解析：选A．因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b，
所以f(0)＝1＋2b＝0，
所以b＝－eq \f(1,2).
所以f(x)＝3x－7x－1，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.选A．
4.已知定义域为R的奇函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))，且当0≤ x≤1时，f(x)＝x3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝( )
A．－eq \f(27,8) B．－eq \f(1,8)
C．eq \f(1,8) D．eq \f(27,8)
解析：选B．因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，又因为函数为奇函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝－eq \f(1,8).
5．已知函数f(x)＝eq \f(2|x|＋x3＋1,2|x|＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：选B．f(x)＝eq \f(2|x|＋x3＋1,2|x|＋1)＝1＋eq \f(x3,2|x|＋1).设g(x)＝eq \f(x3,2|x|＋1)，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝1＋g(x)max，m＝f(x)min＝1＋g(x)min，所以M＋m＝1＋g(x)max＋1＋g(x)min＝2.
6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝________.
解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，
由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.
答案：3
7．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝________．
解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3（x＋1），x≥0，,g（x），x<0，))则g(f(－8))＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－8)＝－f(8)＝－lg39＝－2，
所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－lg33＝－1.
答案：－1
9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x，x∈[－1，0]，,x，x∈（0，1），,－x＋2，x∈[1，2].))
10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4.
[B级 综合练]
11．已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝eq \f(π,3)，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)
C．π D．eq \f(4π,3)
解析：选B．由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知，f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，则F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝eq \f(2π,3)，故选B．
12．(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x＞eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，则f(5)＝( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．－2 D．2
解析：选B．因为当x＞eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－eq \f(1,2)，故选B．
13．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．
解析：在f(x)－g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.联立方程组解得f(x)＝eq \f(2－x－2x,2)，g(x)＝－eq \f(2－x＋2x,2)，于是f(1)＝－eq \f(3,4)，g(0)＝－1，g(－1)＝－eq \f(5,4)，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1故实数a的取值范围是(1，3]．
[C级 提升练]
15．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝lg2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝( )
A．404 B．405
C．806 D．809
解析：选A．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝lg2x，所以f(1)＝lg21＝0，f(2)＝lg22＝1.当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝404×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 021)＝404×1＋f(1)＝404＋0＝404.
16．已知R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，当x∈(－1，1)时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，0≤x＜1，,ax2＋bx，－1＜x＜0，))则f(lgb a)＋f(a)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 021,b)))＝________．
解析：当0＜x＜1时，－1＜－x＜0，f(x)＝－x2＋2x，f(－x)＝a(－x)2＋b(－x)＝ax2－bx，
由f(－x)＝－f(x)，得ax2－bx＝－(－x2＋2x)，求得a＝1，b＝2.
又函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，
则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数．
所以f(lgb a)＋f(a)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 021,b)))＝f(lg21)＋f(1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 021,2)))
＝f(0)＋f(1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 010＋\f(1,2)))＝f(0)＋[－f(0)]＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)