2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第4讲函数性质的综合问题习题课学案文

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函数的奇偶性与单调性(师生共研)
已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝lneq \f(1,3)，b＝(ln 3)2，c＝lneq \r(3)，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
【解析】 由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
又因为|a|＝ln 3>1，b＝(ln 3)2>|a|，0所以f(c)>f(|a|)>f(b)．又由题意知f(a)＝f(|a|)，所以f(c)>f(a)>f(b)．故选C．
【答案】 C
eq \a\vs4\al()
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1) 已知定义域为(－1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是( )
A．(2eq \r(2)，3) B．(3，eq \r(10))
C．(2eq \r(2)，4) D．(－2，3)
解析：选A．由f(a－3)＋f(9－a2)<0得f(a－3)<－f(9－a2)．又由奇函数性质得f(a－3)a2－9，))解得2eq \r(2)函数的奇偶性与周期性(典例迁移)
(一题多解)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数y＝f(x－1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝________．
【解析】 方法一：因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期T＝4，因为0≤x≤1时，f(x)＝x3，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－4))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,8).
方法二：因为f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，由题意知，当－1≤x<0时，f(x)＝x3，故当－1≤x≤1时，f(x)＝x3，当1【答案】 －eq \f(1,8)
【迁移探究】 (变条件)本例变为：已知f(x)是定义域为R的偶函数，且函数y＝f(x＋1)为奇函数，当0≤x<1时，f(x)＝x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝________．
解析：因为f(x)是R上的偶函数，y＝f(x＋1)为奇函数，
所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)＝－f(x－1)，
所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期T＝4，因为0≤x<1时，f(x)＝x2，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－4))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
＝－eq \f(1,4).
答案：－eq \f(1,4)
eq \a\vs4\al()
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．
定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0，1]上有f(x)＝x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 021\f(1,2)))＝( )
A．eq \f(9,4) B．eq \f(1,4)
C．－eq \f(9,4) D．－eq \f(1,4)
解析：选B．函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数．又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 021\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 020＋\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).因为在[0，1]上有f(x)＝x2，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 021\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，故选B．
函数的奇偶性与对称性(师生共研)
(1)已知定义域为R的函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是( )
A．f(0)＞f(1) B．f(0)＞f(2)
C．f(1)＞f(2) D．f(1)＞f(3)
(2)设函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(3)＝0，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)＜0的解集为________．
【解析】 (1)函数y＝f(x＋2)为偶函数，将函数y＝f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，则函数f(x)在(－∞，2)上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(0)＞f(1)，f(0)＞f(2)，f(1)＞f(2)都成立，f(1)＞f(3)不成立，故选D．
(2)f(x)在[1，＋∞)上为增函数，将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x＋1)的图象，则f(x＋1)在[0，＋∞)上为增函数，
即g(x)在[0，＋∞)上为增函数，
且g(2)＝f(2＋1)＝f(3)＝0.
不等式g(2－2x)＜0等价为g(2－2x)＜g(2)，
因为g(x)＝f(x＋1)为偶函数，
所以|2－2x|＜2，得0＜x＜2，
即不等式的解集为(0，2)．
【答案】 (1)D (2)(0，2)
eq \a\vs4\al()
(1)由奇偶性延伸所得对称性问题的常见形式有：
①若函数y＝f(x)为奇函数(偶函数)，则函数y＝f(x＋a)的图象关于点(－a，0)对称(关于直线x＝－a)对称；
②若函数y＝f(x＋a)为奇函数(偶函数)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称(关于直线x＝a对称)．
(2)几个等价关系：
①函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(a＋x)及f(a－x)都是偶函数．
②函数y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(a＋x)及f(a－x)都是奇函数．
1．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq \f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq \i\su(i＝1,m, )(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：选B．由f(－x)＝2－f(x)可知f(x)的图象关于点(0，1)对称，又易知y＝eq \f(x＋1,x)＝1＋eq \f(1,x)的图象关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0，1)对称，则x1＋xm＝x2＋xm－1＝…＝0，y1＋ym＝y2＋ym－1＝…＝2，所以eq \i\su(i＝1,m, )(xi＋yi)＝0×eq \f(m,2)＋2×eq \f(m,2)＝m.故选B．
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
解析：因为定义在R上的奇函数满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)．由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称，且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数的周期为8.又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以函数在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由对称性可知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.
答案：－8
函数性质的综合性应用(师生共研)
(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－1，则在(1，3)上，f(x)≤1的解集是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)) D．[2，3)
(2)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，现给出下列命题：①函数f(x)是以2为周期的周期函数；②函数f(x)是以4为周期的周期函数；③函数f(x－1)为奇函数；④函数f(x－3)为偶函数，其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 (1)因为0≤x≤1时，f(x)＝4x－1，所以f(x)在区间[0，1]上是增函数，又函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，因为f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)在区间(1，3)上是减函数，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝1，所以在区间(1，3)上不等式f(x)≤1的解集为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))，故选C．
(2)偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，
所以f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，f(x＋2)＝－f(x)，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故①错误，②正确；
由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋1)＝－f(x－1)．
又f(－x－1)＝f(x＋1)，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，故f(x－1)为奇函数，③正确；
若f(x－3)为偶函数，则f(x－3)＝f(－x－3)，
又f(－x－3)＝f(x＋3)，
所以f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误，故选B．
【答案】 (1)C (2)B
eq \a\vs4\al()
求解函数的综合性应用的策略
(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．
1．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)( )
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
解析：选B．由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数．
2．已知定义在R上的函数f(x)满足条件：①对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②对任意的x1，x2∈[0，2]且x1A．f(7)B．f(7)C．f(4.5)D．f(4.5)解析：选C．因为对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，所以函数是以4为周期的周期函数，
因为函数f(x＋2)的图象关于y轴对称，
所以函数f(x)的图象关于x＝2对称，
因为x1，x2∈[0，2]且x1所以函数f(x)在[0，2]上为增函数，
所以函数f(x)在[2，4]上为减函数．
易知f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)＝f(3.5)，则f(3.5)思想方法系列3 函数性质中“三个二级结论”的应用
一、奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
设函数f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
【解析】 函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1)＝1＋eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，
设g(x)＝eq \f(2x＋sin x,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
【答案】 2
二、抽象函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋2eq \r(2)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(1)＝2，则f(17)＝________．
【解析】 由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
由f(x＋4)＝－f(x)＋2eq \r(2)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2eq \r(2)＝f(x)，所以f(x)是最小正周期为8的偶函数，所以f(17)＝f(1＋2×8)＝f(1)＝2.
【答案】 2
三、抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．
设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则下面关于f(x)的判定中正确命题的个数为( )
①f(4)＝0；
②f(x)是以4为周期的函数；
③f(x)的图象关于直线x＝1对称；
④f(x)的图象关于直线x＝2对称．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是以4为周期的周期函数，f(4)＝f(0)＝0，
因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f[(x＋1)＋1]＝f(－x)，
令t＝x＋1，则f(t＋1)＝f(1－t)，所以f(x＋1)＝f(1－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，而f(2＋x)＝f(2－x)显然不成立．
故正确的命题是①②③，故选C．
【答案】 C