2022高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算学案文

这是一份2022高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算学案文，共10页。

第1讲　集合及其运算



1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
[注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)

真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)

集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B

3.集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言



符号
语言
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
常用结论
(1)对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
(3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)
(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
常见误区|　(1)忽视集合中元素的互异性致误；
(2)忽视空集的情况致误；
(3)忽视区间端点值致误．
1．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．
解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.
答案：0或3
2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝.
答案：0或
3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________．
解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．
答案：(2，3)　(1，4)　(－∞，1]∪(2，＋∞)


集合的概念(自主练透)
1．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．1　　 B．2
C．3 D．4
解析：选A．若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；
当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；
当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；
当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，
所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.
2．已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C．因为∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
3．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________．
解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
答案：2

解决集合概念问题的3个关键点
(1)确定构成集合的元素；
(2)确定元素的限制条件；
(3)根据元素特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
[提醒]　含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．　

集合的基本关系(典例迁移)
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 A．B⊆A　 B．A＝B
C．AB D．BA
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 A．1 B．2
C．3 D．4
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【解析】　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C．
(2)因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．
(3)因为B⊆A，
所以①若B＝∅，则2m－1 ②若B≠∅，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
【答案】　(1)C　(2)D　(3)(－∞，3]
【迁移探究1】　(变条件)本例(3)中，若BA，求m的取值范围？
解：因为BA，
①若B＝∅，成立，此时m＜2.
②若B≠∅，则且边界点不能同时取得，
解得2≤m≤3.
综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．
【迁移探究2】　(变条件)本例(3)中，若A⊆B，求m的取值范围．
解：若A⊆B，则即所以m的取值范围为∅.
【迁移探究3】　(变条件)若将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，试求m的取值范围．
解：因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，2m－1 ②当B≠∅时，或
解得或即m>4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．


[提醒]　题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行分类讨论．　

1．设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，则(　　)
A．MN B．NM
C．M＝N D．M∪N＝R
解析：选C．集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.故答案为C．
2．设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
解析：选A．由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．
3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．
解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2，符合题意；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．
答案：[－2，2)

集合的基本运算(多维探究)
角度一　集合的运算
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝(　　)
A．{－4，1}　 B．{1，5}
C．{3，5} D．{1，3}
(2)(2021·东北三校第一次联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝，则∁U(A∪B)＝　(　　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
(3)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】　(1)方法一：由x2－3x－4<0，得－1 方法二：因为(－4)2－3×(－4)－4>0，所以－4∉A，故排除A；又12－3×1－4<0，所以1∈A，则1∈(A∩B)，故排除C；又32－3×3－4<0，所以3∈A，则3∈(A∩B)，故排除B．故选D．
方法三：观察集合A与集合B，发现3∈A，故3∈(A∩B)，所以排除选项A和B，又52－3×5－4>0，所以5∉A，5∉(A∩B)，排除C．故选D．
(2)由已知，得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜1}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x≥3}，故选B．
(3)由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C．
【答案】　(1)D　(2)B　(3)C

集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
角度二　利用集合的运算求参数
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)(2021·福州市适应性考试)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
【解析】　(1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B．
方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B．
(2)因为A∩B＝∅，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝，故选C．
【答案】　(1)B　(2)C

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)对于与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒]　在求出参数后，注意对结果的验证(满足互异性)．　

1．(2021·河北九校第二次联考)已知集合A＝{x|x2－x－2＜0，x∈Z}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B＝(　　)
A．{1} B．{0，1，2}
C． D．{0，1，2，4}
解析：选B．A＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝{1，2}，所以A∪B＝{0，1，2}，故选B．
2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D．∁UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
3．(2021·广东省七校联考)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝(　　)
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
解析：选C．由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，故选C．

核心素养系列1　数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
若集合A具有以下性质：
(1)0∈A，1∈A；
(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．
给出下列说法：
①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的个数是(　　)
A．0　　　　 B．1
C．2 D．3
【解析】　①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．
②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．
③因为集合A是“好集”，则0∈A，由性质(2)知，若y∈A，则0－y∈A，知－y∈A，因此x－(－y)＝x＋y∈A，所以③正确．故正确的说法是②③.故选C．
【答案】　C

解决集合的新定义问题的两个切入点
(1)正确理解新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；
(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．　

1．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
解析：由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．
答案：{0，6}
2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0 解析：由已知A＝{x|0 又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)