2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第10讲函数与方程学案文

这是一份2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第10讲函数与方程学案文，共10页。


1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
常用结论
有关函数零点的三个结论
1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
二、易错纠偏
常见误区| (1)误用函数零点的定义；
(2)忽略限制条件致误；
(3)错用零点存在性定理致误．
1．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B．由x－2>0，得x>2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以当f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0时，解得x＝1(舍去)或x＝3.
2．函数f(x)＝x2－3x的零点是______．
解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，
即x＝0和x＝3.
答案：0和3
3．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
函数零点所在区间的判断(自主练透)
1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B．因为f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，所以f(1)·f(2)＜0，因为函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为单调递增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：选A．因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，
f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A．
3．设函数y1＝x3与y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2)的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是______．
解析：令f(x)＝x3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－2)，
则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，
有f(1)<0，f(2)>0，
所以x0所在的区间是(1，2)．
答案：(1，2)
eq \a\vs4\al()
确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．
(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
函数零点的个数(师生共研)
(1)已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
(2)(一题多解)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋ln x，x>0))的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】 (1)由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1，6]上至少有3个零点．故选B．
(2)方法一(方程法)：由f(x)＝0，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,－1＋ln x＝0，))
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
【答案】 (1)B (2)B
eq \a\vs4\al()
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln（x－1），x>1，,2x－1－1，x≤1，))则f(x)的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C．
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．
当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.则ex＝－x＋3.
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．
又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
函数零点的应用(多维探究)
角度一 根据函数零点个数或存在情况求参数范围
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))
(2)(2020·郑州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0)) (a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，1]
【解析】 (1)由题意知方程ax＝x2＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).
(2)画出函数f(x)的大致图象如图所示，因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需－a<0≤1－a，即00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0，综上，0【答案】 (1)D (2)A
eq \a\vs4\al()
已知函数零点个数或存在情况求参数范围的常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．
角度二 根据函数零点的范围求参数
(1)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则m的取值范围是______．
(2)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠2，,f（－1）·f（0）<0，,f（1）·f（2）<0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠2，,[m－2－m＋（2m＋1）]（2m＋1）<0，,[m－2＋m＋（2m＋1）][4（m－2）＋2m＋（2m＋1）]<0，))
解得eq \f(1,4)(2)因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4).
因为x∈[－1，1]，所以2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).
【答案】 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2))
eq \a\vs4\al()
根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．
角度三 求函数多个零点(方程根)的和
已知M是函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx(x∈R)的所有零点之和，则M的值为________．
【解析】 将函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx的零点转化为函数h(x)＝|2x－3|与g(x)＝8sin πx图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x＝eq \f(3,2)对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M＝8×eq \f(3,2)＝12.
【答案】 12
eq \a\vs4\al()
求函数的零点和求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等)．
1．已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2，2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，0))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,8))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)，\f(1,8)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)，\f(1,8))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(3,8)))
解析：选D．当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点，x＝－1，满足条件．当m≠0时，若f(x)＝2mx2－x－1有一个零点，必有Δ＝1＋8m＝0⇒m＝－eq \f(1,8)，此时不符合题意，舍去；若f(x)＝2mx2－x－1有两个零点，则有Δ＝1＋8m>0⇒m>－eq \f(1,8)，且f(－2)·f(2)＝(8m＋1)·(8m－3)≤0，解得－eq \f(1,8)2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，x≤0，,ex，x＞0，))则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( )
A．[0，1) B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
解析：选D．函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x≤0，,ex＋x，x＞0))的大致图象(图略)．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．
3．已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x－2)与g(x)＝1－sin πx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2，6]上所有零点的和为( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：选D．F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2，6]上所有零点的和等于函数g(x)，f(x)在区间[－2，6]的图象交点横坐标的和，画出函数g(x)，f(x)的图象，
注意到函数g(x)，f(x)的图象关于点(2，1)对称，则F(x)＝0共有8个零点，其和为16.故选D．
核心素养系列3 直观想象——利用图形快速解决几类常见问题
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．
一、利用图形研究函数的性质
设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1－x)，则下列命题：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3，4)时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x－3).其中正确的命题是________．(填序号)
【解析】 由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(1＋x)，函数y＝f(x)的部分图象如图所示，
由图象知②正确，③不正确；
当3【答案】 ①②④
eq \a\vs4\al()
作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．
二、利用图形解不等式
使lg2(－x)【解析】 在同一直角坐标系内作出y＝lg2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)．
【答案】 (－1，0)
eq \a\vs4\al()
f(x)，g(x)之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．
三、利用图形求解不等式中的参数范围
若不等式|x－2a|≥eq \f(1,2)x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】 作出y＝|x－2a|和y＝eq \f(1,2)x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤eq \f(1,2).
【答案】 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
eq \a\vs4\al()
对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．
四、利用图形研究零点问题
已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝lg3x＋x，h(x)＝x－eq \f(1,\r(x))的零点依次为a，b，c，则( )
A．aC．c【解析】 在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝lg3x，y＝－eq \f(1,\r(x))的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a【答案】 A
eq \a\vs4\al()
零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解． Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6