6.1.1向量的概念（课件+学案+练习）

6.1.1　向量的概念

最新课程标准

1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．

2．理解平面向量的几何表示和基本要素．

知识点一　向量的概念

既有________，又有________的量称为向量．

知识点二　向量的几何表示

1．向量的表示方法

2．向量的长度(模)

||(或|a|)表示向量(或a)的______，即长度(也称模).

3．与向量有关的概念

知识点三　向量的平行或共线

状元随笔　1.理解向量概念应关注三点

(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．

(3)向量与向量之间不能比较大小．

2．相等向量的理解

任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．

3．共线向量与平行向量

(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．

(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．

(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

基础自测

1.(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是(　　)

A.也可以用表示    B．方向是由M指向N

C．起点是M         D．终点是M

2.

如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是(　　)

A．和    B．和

C．和    D．和

3．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量．

题型1　向量的概念、零向量、单位向量[经典例题]

例1　(1)下列各量中是向量的是(　　)

A．时间

B．加速度

C．面积

D．长度

(1)既有大小又有方向的量是向量．

(2)给出下列说法：

①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________(填上序号)．

(2)长度为0的向量是零向量．长度为1的向量是单位向量. 零向量的方向是任意的．

【解析】　(1)加速度是既有大小又有方向的量，是向量．而时间、面积、长度是只有大小的量，是数量．

【解析】(2)由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．

【答案】　(1)B　(2)②③④

方法归纳

判断一个量是否为向量关键看它是否具备向量的两要素：(1)有大小．(2)有方向．两个条件缺一不可．

跟踪训练1　(1)下列说法中正确的是(　　)

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

C．向量的大小与方向有关

D．向量的模可以比较大小

结合向量的定义，由相等向量、共线向量的定义作出判断．

(2)下列说法正确的是(　　)

A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线

B．长度相等的向量叫做相等向量

C．与非零向量a平行的单位向量只有2个

D．共线向量是在一条直线上的向量

题型2　向量的表示[经典例题]

例2　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；

(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；

(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．

方法归纳

用有向线段表示向量的步骤

跟踪训练2　在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)||＝3，点A在点O的正西方向；

(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；

(3)求出||的值．

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形的知识确定出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．

题型3　共线向量与相等向量[教材P135例2]

例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量相等的向量．

状元随笔　相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，相反向量方向相反，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与平行或共线且长度相等的所有线段，将它们表示成向量．

教材反思

相等向量与共线向量的判断

(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．

(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．

(3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.

注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．

跟踪训练3　如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．

(1)写出与共线的向量；

(2)写出与长度相等的向量；

(3)写出与相等的向量．

(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；

(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；

(3)相等向量既要方向相同，又要大小相等．

6．1.1　向量的概念

新知初探·自主学习

知识点一

大小　方向

知识点二

1．方向　起点　终点　向量　，，　

2．大小

3．长度为0　1个　长度相等　方向相同

知识点三　

相同或相反　非零　a∥b　任一向量

[基础自测]

1．解析：终点是N而不是M.

答案：ABC

2．解析：易知＝.

答案：B

3．解析：由图可知，以A为始点的向量有、、、、、、，共有7个．

答案：7

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．

(2)与非零向量a平行的单位向量只有与a方向相同和方向相反且模长为1的两个向量．

答案：(1)D　(2)C

例2　【解析】　(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．

(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．

(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．

跟踪训练2　解析：取每个方格的单位长为1，

依题意，结合向量的表示可知，

(1)(2)的向量如图所示．

(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，

所以||＝ ＝3.

例3　【解析】　因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，因此

＝＝＝，

＝＝＝，

＝＝＝.

跟踪训练3　解析：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，

∴与共线的向量为.

(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，

∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC.

∵AB，BC，AC均不相等，∴与长度相等的向量为.

(3)与相等的向量为..