初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形第2课时一课一练

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18.2.2第2课时 正方形的判定建议用时:45分钟    总分50分一 选择题（每小题3分，共18分）1．（2020 •漳州期末）在菱形ABCD中，若添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是（　　）A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BADB【解析】根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC＝90°，即AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或∠ABC＝90°或AB⊥BC．故选：B．2．（2020 •东丽区期末）顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，则这个四边形最可能是（　　）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形D【解析】如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形．∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形．∴EF＝EH，EF⊥EH，∵BD＝2EF，AC＝2EH，∴AC＝BD，AC⊥BD，即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，选项D满足题意．故选：D．3．（2020 •永州期末）下列说法正确的是（　　）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是矩形 C．菱形有四条对称轴 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形D【解析】A．因等腰梯形满足“一组对边相等，另一组对边平行”，但它不是平行四边形，故此选项说法错误；B．一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故此选项说法错误；C．菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，因此菱形只有两条对称轴，故此选项错误；D．因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形，若再加上对角线互相垂直条件，则矩形便转化为正方形，所以对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确；故选：D．4．（2020•金牛区模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．则四边形AODE一定是（　　）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．不能确定C【解析】∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形，故选：C．5．（2019•沧州期中）甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测，其中正确的是（　　）A．甲量得构件四边都相等 B．乙量得构件的两条对角线相等 C．丙量得构件的一组邻边相等 D．丁量得构件四边相等且两条对角线也相等D【解析】甲：∵构件四边都相等，∴此四边形是菱形；乙：∵两条对角线相等，∴没法判定是什么四边形；丙：∵一组邻边相等，∴没法判定是什么四边形；丁：∵四边相等，∴此四边形是菱形，∵两条对角线也相等，∴此四边形是正方形．故选：D．6．（2020 •河东区期末）在矩形中，，，，分别为边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形，下面四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③存在无数个四边形是菱形；④至少存在一个四边形是正方形．所有正确结论的序号是　　A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④C【解析】①如图，四边形是矩形，连接，交于，，，，，，过点的直线和，分别交，，，于，，，，，，所以，，所以，，则四边形是平行四边形，故存在无数个四边形是平行四边形；故正确；②如图，当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故正确；③如图，当时，存在无数个四边形是菱形；故正确；④当四边形是正方形时，，则，，，，，四边形是正方形，当四边形为正方形时，四边形是正方形，故错误；故正确结论的序号是①②③．故选：．二、填空题（每小题3分，共9分）7．（2020 •裕华区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF．当∠ACB＝　90　°时，四边形ADCF是正方形．90【解析】当∠ACB＝90°时，四边形ADCF是正方形，理由是：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，∴∠ADC＝90°，∠ACDACB45°＝∠CAB，∴AD＝CD，∵E为AC的中点，∴AE＝CE，∵DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠CDA＝90°，AD＝CD，∴四边形ADCF是正方形，即当∠ACB＝90°时，四边形ADCF是正方形，故答案为：90．8．（2019 •东明县期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P．Q分別是AB、AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点，当点P运动到　AB的中点　时，四边形APDQ是正方形．AB的中点【解析】当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD＝90°，又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，∴四边形APDQ为矩形，又∵DP＝APAB，∴矩形APDQ为正方形，故答案为：AB的中点．9．（2019 •寿县期末）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝　1：2　时，四边形MENF是正方形．1：2【解析】当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，∴AB＝AM＝DM＝DC，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，∴∠BMC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠MBC＝∠MCB＝45°，∴BM＝CM，∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME＝MF，∠BMC＝90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，故答案为：1：2．三、解答题（7分+8分+8分= 23分）10．（2020 •越秀区期末）如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．11．（2019•灞桥区四模）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，（1分）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，（2分）∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，（3分）∴四边形MANP是正方形；（4分）（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，（5分）在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．12．（2020 •徐州期中）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．