初中数学湘教版七年级下册第1章 二元一次方程组1.3 二元一次方程组的应用学案

这是一份初中数学湘教版七年级下册第1章 二元一次方程组1.3 二元一次方程组的应用学案，共10页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；
2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1.在一次数学测验中，甲、乙两校各有100名同学参加测试．测试结果显示，甲校男生的优分率为60％，女生的优分率为40％，全校的优分率为49.6％；乙校男生的优分率为57％，女生的优分率为37％．
(男(女)生优分率＝，全校优分率＝)
(1)求甲校参加测试的男、女生人数各是多少?
(2)从已知数据中不难发现甲校男、女生的优分率都相应高于乙校男、女生的优分率，但最终的统计结果却显示甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低，请举例说明原因．
【思路点拨】 (1)求甲校参加测试的男、女生人数需设两个未知数，故可建立二元一次方程组求解．(2)由于甲校男、女生的优分率相应高于乙校的男、女生的优分率，要使乙校的全校优分率比甲校的全校优分率高，此时，只有乙校的男生较多时，才能提高全校的优分率．
【答案与解析】
解：(1)设甲校参加测试的男生人数是x人，女生人数是y人．
由题意可列方程组：
解之得：．
答：甲校参加测试的男生有48人，女生有52人．
(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，则乙校的全校优分率为
．51％＞49.6％
(说明：只要所举例子中男生人数多于63人，且女生优分率合适，即可得全分．)
【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题的第（2）问也可以用不等式求出甲乙两校男生人数满足什么关系时，才满足甲校的全校优分率比乙校的全校的优分率低．
举一反三：
【变式】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%．
(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?
(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？
【答案】
解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x辆，自动型汽车为y辆，
由题意可得：
解之得：．
答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560辆，自动型汽车为400辆．
(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元)
答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元．
类型二、配套问题
2. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？
【答案与解析】
解：设女生人，男生人，由题意得：
解得：
答：这个班的男生有32人，女生有21人.
【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和40根扁担，从而列出方程组，解出即可．
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例2练习】
举一反三：
【变式】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
【答案】
解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺母，则根据题意可得：
答：应分配25人生产螺栓，35人生产螺母.
类型三、工程问题
3. （2015春•定陶县期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）
【思路点拨】（1）本题的等量关系是：甲做8天需要的费用+乙作8天需要的费用=3520元．
甲组6天需付的费用+乙做12天需付的费用=3480元，由此可得出方程组求出解．
（2）根据（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的费用，然后分别计算出甲单独做12天需要的费用，乙单独做24天需要的费用，让两者进行比较即可．
（3）本题可将每种施工方法的施工费加上施工期间商店损失的费用，然后将不同方案计算出的结果进行比较，损失最少的方案就是最有利商店的方案．
【答案与解析】
解：（1）设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．
由题意得
解得
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元．
（2）单独请甲组需要的费用：300×12=3600元．
单独请乙组需要的费用：24×140=3360元．
答：单独请乙组需要的费用少．
（3）请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；
乙单独做，需费用3360元，少赢利200×24=4800元，相当于损失8160元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；
因为5120＜6000＜8160，
所以甲乙合作损失费用最少．
答：甲乙合作施工更有利于商店．
【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：甲做8天需要的费用+乙作8天需要的费用=3520元．列出方程组，再求解．
类型四、利润问题
4.甲乙两件服装的成本为500元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按50%的利润定价，乙种服装按40%的利润定价．实际出售时，两种服装均按九折出售，这样商店共获利157元．求甲乙两件服装的成本各是多少元？
【答案与解析】
解：设甲、乙两件服装的成本分别为元和元，由题意：
解得：
答：甲、乙两件服装的成本分别为300元和200元
【总结升华】本题也可以用一元一次方程的知识解答．
举一反三：
【变式】（2015春•宁城县期末）为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共位880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是多少？
【答案】
解：设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元．
根据题意，得：，
解得：，
即：甲、乙两种服装的原单价分别是480元、400元．
ADDIN CNKISM.UserStyle【巩固练习】
一、选择题
1．某鞋店有甲、乙两款鞋各30双，甲鞋一双200元，乙鞋一双50元．该店促销的方式：买一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠．若打烊后得知，此两款鞋共卖得1800元，还剩甲鞋x双、乙鞋y双，则依题意可列出下列哪一个方程式? ( ) .
A．200(30-x)+50(30-y) ＝ 1800 B．200(30-x)十50(30-x-y)＝1800
C．200(30-x)+50(60-x-y)＝1800 D．200(30-x)十50[30-(30-x)-y]＝1800
2.（2015春•承德校级月考）现有大、小两种船，1艘大船与4艘小船一次最多可以载客46名，2艘大船与3艘小船一次最多可以载客57名，某旅游点的船有3艘大船与6艘小船，一次最多可以载客的人数为（ ）
A．129B．120C．108D．96
3．欣平超市推出如下优惠方案：(1)一次性购物不超过100元不享受优惠；(2)一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；(3)一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( ).
A．288元 B．322 元 C．288元或316元 D．332元或363元
4．某次知识竞赛共出了25道试题．评分标准如下：答对一道题加4分；答错1道题扣1分；不答记0分，已知李刚不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了 ( ).
A．18道 B．19道 C．20道 D．21道
5．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐59个，扁担36根，若设抬土的学生x人，挑土的学生y人，则有 ( ).
A． B． C． D．
6.在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系？ （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
7.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1 m3木料可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现有5 m3木料，设用x cm3木料制作桌面，用y m3木料制作桌腿，恰好配成方桌，则可得方程组为________．
8．如图所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为55cm，则木桶中水的深度是 cm.
9.（2015春•沂源县期末）一个水池有两个进水管，单独开甲管注满水池需2小时，单独开乙管注满水池需3小时，两个同时开注满水池的时间是 小时．
10．某商场出售茶壶和茶杯，茶壶每只15元，茶杯每只3元，商店规定买一只茶壶赠一只茶杯，某人共付款171元得茶壶、茶杯共36只(含赠品在内)，其中茶壶________只，茶杯________只．
11．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为促销而打折销售，若甲商品打8折，乙商品打6折，则可赚50元；若甲商品打6折，乙商品打8折，则可赚30元，则甲、乙两种商品的定价分别是________．
12. 如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与________个砝码C的质量相等．
三、解答题
13. （2015春•自贡期末）某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：
（总利润=单件利润×销售量）
（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B种商品最低售价为每件多少元？
14.某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？
15. [阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)、Q(x2、y2)为端点的线段中点坐标为．
[运用](1)如图所示，长方形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；
(2)平面直角坐标系中，有A(-1，2)、B(3，1)、C(1，4)三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标(平行四边形两条对角线互相平分)．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
【解析】由已知，卖出甲鞋（30-x）双，则送出乙鞋也是（30-x）双，那么乙卖出[30-（30-x）-y]双，卖出甲鞋的钱数加上卖出乙鞋的钱数就等于1800元，由此得出答案．
2.【答案】D．
【解析】设1艘大船的载客量为x人，一艘小船的载客量为y人．
由题意可得：，
解得，
∴3x+6y=96．
∴3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为96人．
3. 【答案】C；
【解析】
解：一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折，则在这个范围内最低付款90元，因而第一次付款80元，没有优惠；
当第二次购物是第二种优惠，可得出原价是 252÷0.9=280(元)（符合超过100不高于300）．则两次共付款：80+280=360元，超过300元，则一次性购买应付款：360×0.8=288元；
当第二次付款是超过300元时：可得出原价是 252÷0.8=315（符合超过300元），
则两次共应付款：80+315=395元，则一次性购买应付款：395×0.8=316元．
故一次性购买应付款：288元或316元．
4. 【答案】B；
【解析】设李刚答错的题为道，答对的题道，则他不答的题道，且有
，
解得.
5. 【答案】B；
【解析】注意了解生活常识：抬土即两个人需要一根扁担和一个箩筐；挑土即一个人需要一根扁担和两个箩筐．
6. 【答案】B；
【解析】设馒头每颗x元，包子每颗y元，根据题意王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元，可列式为5x+3y=52，李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元，可列式为0.9（11x+5y）=90，联立方程即可得到所求方程组．
二、填空题
7. 【答案】；
8.【答案】20；
【解析】设两根铁棒的长度分别是a，b(a＞b)，则有 解得
所以，∴ 木桶中水的深度为20cm
9.【答案】．
【解析】设两个同时开注满水池的时间是x小时，由题意得
（+）x=1，解得：x=．答：两个同时开注满水池的时间是小时．
10．【答案】7， 29；
【解析】设买茶壶x只，那么赠x只茶杯，所以要买（36-2x）茶杯，然后根据共付款171元即可列出方程，解方程就可以解决问题．
11.【答案】150元，50元；
【解析】设甲、乙两种商品的定价分别为元，元，则：
，
解得.
12. 【答案】2.
【解析】此题可以分别设砝码A、B、C的质量是x，y，z．然后根据两个天平列方程组，消去y，得到x和z之间的关系即可．
三、解答题
13.【答案】
解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，
根据题意得
化简得，
解之得．
答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和150件；
（2）由于A商品购进400件，获利为
（1350﹣1200）×400=60000（元），
从而B商品售完获利应不少于75000﹣60000=15000（元），
设B商品每件售价为x元，则
150（x﹣1000）≥15000，
解之得x≥1100．
所以B种商品最低售价为每件1100元．
14.【解析】
解：设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生．
由题意，得，
解得．
答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，l道侧门可通过80名学生．
15.【解析】
解：(1)因为四边形ONEF是长方形，所以点M是OE的中点．
因为O(0，0)，E(4，3)所以点M的坐标为(2，)．
(2)设点D的坐标为(x，y)，若以AB为对角线，AC、BC为邻边构成平行四边形，则AB、CD的中点重合．
所以 解得
若以BC为对角线，AB、AC为邻边构成平行四边形，则AD、BC的中点重合．
所以 解得
若以AC为对角线，AB、BC为邻边构成平行四边形，则BD、AC的中点重合．
所以 解得
综上可知：点D的坐标为(1，-1)或(5，3)或(-3，5)．
商品
价格
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1350
1200