31《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解

《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；

2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；

3．会根据实际问题列方程解应用题．

【知识网络】

【要点梳理】

知识点一、一元一次方程的概念

1．方程：含有未知数的等式叫做方程．

2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．

要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：

①只含有一个未知数，未知数的次数为1；

②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．

3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．

4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．

知识点二、等式的性质与去括号法则

1．等式的性质：

等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．

    等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．

2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．

3．去括号法则：

（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．

知识点三、一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：

 (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．

 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．

 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．

 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．

 (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．

 (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．

知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型

1.行程问题：路程＝速度×时间

2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 

3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 

4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量

5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 

6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.

【典型例题】

类型一、一元一次方程的相关概念 

1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值．

 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．

【答案与解析】

解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，

所以3m-4＝0且5-3m≠0．

由3m-4＝0解得，又能使5-3m≠0，所以m的值是．

将代入原方程，则原方程变为，解得．

所以，．

【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m2是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3m-4＝0，而x的一次项系数5-3m≠0，m的值必须同时符合这两个条件．

举一反三：

【变式】下面方程变形中，错在哪里：

(1)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).

方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.

（2），去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.

【答案】（1）答：错在第二步，方程两边都除以x-y.

       （2）答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6.

2. 如果5(x+2)＝2a+3与的解相同，那么a的值是________．

【答案】

【解析】 由5(x+2)＝2a+3，解得．

    由，解得．

    所以，解得．

【总结升华】因为两方程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a的一元一次方程．

举一反三：

【变式】（2015•温州模拟）已知3x=4y，则=　　．

【答案】．

解：根据等式性质2，等式3x=4y两边同时除以3y，

得：=．

类型二、一元一次方程的解法

3．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．

【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．

【答案与解析】

解：原方程可化为6x﹣=，

两边同乘以6得36x﹣21x=5x﹣7，

解得：x=﹣0.7．

【总结升华】此题考查了解一元一次方程，注意第一步用到的是分数的基本性质：分子和分母扩大相同的倍数，分数的值不变.

举一反三：

【变式1】解方程

【答案】

解：把方程两边含有分母的项化整为零，得

    ．

移项，合并同类项得：，系数化为1得：z＝1．

【变式2】解方程： .

【答案】

解：把方程可化为：，

再去分母得：

    解得：

4．解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．

【答案与解析】

解：把2x-1看做一个整体．去括号，得：

    3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．

    合并同类项，得-6(2x-1)＝14．  系数化为1得：，解得．

【总结升华】把题目中的2x-1看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：设2x-1＝a，则原方程化为3[a-(3a+3)]＝5．

类型三、特殊的一元一次方程的解法

1．解含字母系数的方程

5.解关于的方程：

【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系．

【答案与解析】

解：原方程可化为：

当时，原方程有唯一解：；

当时，原方程无数个解；

当时，原方程无解；

【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．

2．解含绝对值的方程

6. 解方程|x-2|＝3．

【答案与解析】

解：当x-2≥0时，原方程可化为x-2＝3，得x＝5．

    当x-2＜0时，原方程可化为-(x-2)＝3，得 x＝-1．

    所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．

【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|＝3的解为x＝-1和x＝5．

举一反三：

【变式1】若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，

则的大小关系为：  (  )

A.    B.   C.   D.

【答案】A

【变式2】若是方程的解，则；又若当时，则方程的解是   ．

【答案】1；  9或3．

类型四、一元一次方程的应用

7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?

【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．

【答案与解析】

解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：

，解得：

由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为(小时)．

李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时, 则有：

(千米/时)

答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．

【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．

8.（2015春•万州区校级月考）一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？

【答案与解析】    

解：设乙还需x天完成，由题意得

4×（+）+=1，

解得x=5．

答：乙还需5天完成．

【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．

举一反三：

【变式】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？

【答案】

解：设售货员可以打折出售此商品，得：

解得：

答：售货员最低可以打六折出售此商品．