2019吉林长春中考数学解析练习题

这是一份2019吉林长春中考数学解析练习题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019吉林省长春市初中学业水平考试试卷
数学
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（2019吉林长春，1，3分）如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是
A.-2 B.2 C. D.

（第1题）
【答案】B.
【解析】解：数轴上表示-2的点A到原点的距离是2，
故选B．
【知识点】数轴
2.（2019吉林长春，2，3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路水路、民航共累计发送旅客月275 000 000人次，275 000 000这个数用科学计数法表示为
A.27.5×10 B.0.275×10 C.2.75×10 D.2.75×10
【答案】C.
【解析】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75×108，
故选C．
【知识点】科学记数法—表示较大的数
3.（2019吉林长春，3，3分）右图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是

【答案】A.
【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形，
故选A．
【知识点】简单组合体的三视图．网版权所有
4.（2019吉林长春，4，3分）不等式-x+2≥0的解集为
A.x≥-2 B.x≤-2 C.x≥2 D.x≤2
【答案】D
【解析】解：-x+2≥0，
移项得：-x≥-2，
系数化为1，得x≤2
∴不等式的解集为：x≤2，
故选D．
【知识点】解一元一次不等式．
5．（2019吉林长春，5，3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：，
故选D．
【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

6．（2019吉林长春，6，3分） 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为
A.3sinα米 B.3cosα米 C.米 D.米

【答案】A.
【思路分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系得出sinα=，进而得出答案．
【解答过程】解：由题意可得：sinα=，故BC=3sinα（m）．
故选：A．
【知识点】解直角三角形的应用
7.（2019吉林长春，7，3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角。用直尺和圆规在边AB上确定一点D. 使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是

【答案】B
【思路分析】本题主要考查作图-复杂作图，根据∠ADC=2∠B可得∠B=∠BCD，进而得出点D在线段BC的垂直平分线上，据此可得答案．
【解答过程】解：∵∠ADC=2∠B，且∠ADC=∠B+∠BCD，
∴∠B=∠BCD，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
故选B．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．
8.（2019吉林长春，8，3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）。∠ACB=90°，AC=2BC，则函数的图象经过点B，则的值为
A. B.9 C. D.


【答案】D.
【思路分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，过点B作BD⊥x轴，首先根A，C两点坐标得出OA，OC的长以及∠ACO的度数，进而得出BC的长和∠BCD的度数，然后根据等腰直角三角形的性质得出点B的坐标，进而求出k的值.
【解答过程】解：过B作BD⊥x轴，垂足为D.
∵A，C的坐标分别为（0，3），（3，0），
∴OA=OC=3，∠ACO=45°，
∴AC=3.
∵AC=2BC，
∴BC=.
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，
∴BD=CD=，
∴点B的坐标为（，）.
∵函数y=的图象经过点B，
∴k=×=，
故选D.

【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形的性质.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
9．（2019吉林长春，9，3分）计算： .
【答案】.
【解析】解：，
故答案为.
【知识点】二次根式的减法.
10.（2019吉林长春，10，3分）分解因式：ab+2b= .
【答案】b(a+2)．
【解析】解：ab+2b=b(a+2)．
故答案为b(a+2)．
【知识点】因式分解.
11.（2019吉林长春，11，3分）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为 .
【答案】5．
【解析】解：∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5，
故答案为5．
【知识点】根的判别式.
12.（2019吉林长春，12，3分）如图，直线MN//PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°.过线段上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为 度


【答案】57．
【思路分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．
【解题过程】解：∵直线MN∥PQ，
∴∠MAB=∠ABD=33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=90°，
∴∠CDB=90°-33°=57°．
故答案为57．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理.
13.（2019吉林长春，13，3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为


【答案】4+2
【思路分析】本题主要考查翻折变换以及等腰直角三角形的性质，根据折叠的性质可得CE=2，∠A=∠AFC=45°，进而得出FG的长，进而得出答案.
【解题过程】解：由折叠的性质可知∠A=45°，AD=DF，
∴FC=2，∠AFC=45°，
∴CG=2，
∴FG=2，
∴△GCF的周长为4+2.
故答案为4+2.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形的性质.
14.（2019吉林长春，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+(a＞0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则ɑ的值为


【答案】2.
【思路分析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点A和点M的坐标，然后将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)2+-a的形式，得出点P的坐标，进而得出OP的方程，进而得出点B的坐标，最后根据M为线段AB的中点，可得=4，进而得出答案.
【解题过程】解：令x=0，可得y=，
∴点A的坐标为（0，），
∴点M的坐标为（2，）.
∵y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a，
∴抛物线的顶点P的坐标为（1，-a），
∴直线OP的方程为y=(-a)x，
令y=，可得x=，
∴点B的坐标为（，）.
∵M为线段AB的中点，
∴=4，解得a=2，
故答案为2.
【知识点】二次函数的性质；中点坐标公式.
三、解答题（本大题共10小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2019吉林长春，15，6分） 先化简，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中
【思路分析】本题主要考查了整式的混合运算，直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．
【解题过程】解：原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1，
当时，原式=8a+1=2．
【知识点】整式的混合运算—化简求值．
16.（2019吉林长春，16，6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同。小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.
【思路分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．
【解题过程】解：画树状图如图：

共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，
∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．
【知识点】列表法与树状图法求概率．
17.（2019吉林长春，17，6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.
【思路分析】本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法，该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程：，解方程即可．
【解题过程】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，
由题意得：，
解得：x=300，
经检验，x=300是原方程的解，且符合题意；
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．
【知识点】分式方程的应用．
18.（2019吉林长春，18，7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G
（1） 求证：△ABE≌△BCG.
（2） 若∠AEB=55°，OA=3，求的长.（结果保留根号）

【思路分析】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，
（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，得到∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，根据余角的性质得到∠EBF=∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接OF，根据三角形的内角和得到∠BAE=90°-55°=35°，根据圆周角定理得到∠BOF=2∠BAE=70°，根据弧长公式即可得到结论．
【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠EBF=90°，
∴∠EBF=∠BAF，
在△ABE与△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°，
∴∠BAE=90°-55°=35°，
∴∠BOF=2∠BAE=70°，
∵OA=3，
∴的长==．

【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；弧长的计算．
19．（2019吉林长春，19，7分）网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查.数据如下（单位：时）：
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4
整理上面的数据，得到表格如下：
网上学习时间x（时）
0＜x≤1
1＜x≤2
2＜x≤3
3＜x≤4
人数
2
5
8
5
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

统计量
平均数
中位数
众数
数值
2.4
m
n
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 上表中的中位数m的值为 ，众数的值为
（2） 用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间。
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数
【思路分析】本题主要考查数据的统计和分析的知识，
（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；
（2）由平均数乘以18即可；
（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．
【解题过程】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，
∴中位数m的值为=2.5，众数为2.5；
故答案为：2.5，2.5；
（2）2.4×18=43.2（小时），
答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．
（3）200×=130（人），
答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数．
20.（2019吉林长春，20，7分）图①、图②、图③处均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.
（1） 在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6.
（2） 在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6.
（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG=90°.

【思路分析】本题主要考查了作图-应用与设计作图，
（1）根据AB的位置可作直角△ABM；
（2）根据CD的位置可作出△CDN；
（3）根据EF的位置可作出四边形EFGH.
【解题过程】解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）如图所示：

【知识点】作图—应用与设计作图.
21.（2019吉林长春，21，8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以每小时60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示.
（1） 乙车的速度为 千米/时，a= ，b= ；
（2） 求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（3） 当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程.

【思路分析】本题主要考查函数图象以及待定系数法求一次函数的解析式.
（1）根据图象可得出甲乙两车在甲车行驶2小时相遇，可设乙车的速度为v，得出方程2×60+2v=270即可得出乙车的速度，根据甲乙两车的速度即可求出a和b的值；
（2）根据（1）可得出A、B、C的坐标，根据待定系数法即可求出当2＜x≤3.6时和当3.6＜x≤4.5时的解析式；
（3）根据甲车的速度可得甲车到达距B地70千米时行驶的时间，进而得出甲、乙两车之间的路程.
【解题过程】解：（1）答案：75；3.6；4.5.
设乙车的速度为v，根据图象可得甲乙两车在甲车行驶2小时相遇，可得
2×60+2v=270，
解得v=75，
所以乙车的速度为75千米/时，
∴a=小时，b=小时，
∴ 答案为75；3.6；4.5.
（2）如图，根据（1）可得A（2，0），B（3.6，216），C（4.5，270）.

设当2＜x≤3.6时的解析式为y=k1x+b1，则
，解得，
∴当2＜x≤3.6时，y=135x-270，
设当3.6＜x≤4.5时的解析式为y=k2x+b2，则
，解得，
当2＜x≤3.6时，y=60x.
（3）∵甲车的速度为60千米/时，
∴当甲车到达距B地70千米时行驶的时间为小时，
∴此时甲、乙两车之间的路程为（60+75）×（-2）=180千米.
【知识点】函数图象；待定系数法求一次函数的解析式.
22.（2019吉林长春，22，9分）教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.
结论应用：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F.
（1） 如图②，若平行四边形ABCD为正方形，且AB=6，则OF的长为
（2） 如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则平行四边形ABCD的面积为

【思路分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据D、E分别是BC、AB的中点可得△DEG∽△ACG，进而得出，进而证明出结论；
（1）首先根据四边形ABCD是正方形可得△BEF∽△DAF，进而得出，进而得出，然后根据OF=BD-BD即可得出答案；
（2）连接OE，根据（1）可得BF=BD，OF=BD，进而得出=2，然后根据△BEF和△OEF的高相同可得和，进而求出S△BOC的面积，进而得出答案.
【解题过程】证明：∵D、E分别是BC、AB的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∴，
∴.
（1）答案：.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，OB=BD，
∴△BEF∽△DAF.
∵E为边BC的中点，
∴，
∴，
∴OF=BD-BD=BD.
∵AB=6，
∴BD=6，
∴OF=.
故答案为.
（2）答案：6.
连接OE.
由（1）可知BF=BD，OF=BD，
∴=2.
∵△BEF和△OEF的高相同，
∴,
同理可得，
∴，
∴，
∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质.
23.（2019吉林长春，23，10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15.点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动.当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN，设PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒.
（1） ①AB的长为
②PN的长用含t的代数式表示为
（2） 当PQMN为矩形时，求t的值；
（3）当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时，直接写出t的值.

【思路分析】本题主要考查勾股定理以及相似三角形的判定与性质，
（1）根据勾股定理即可求出AB的长，根据PN⊥AB可得△APN∽△ABC，进而得出PN=，进而得出答案；
（2）当PQMN为矩形时，PQ⊥PN可得△CPQ∽△CAB，进而得出，求出t；
（3）当0＜t≤时，过点Q作QD⊥AB，垂足为D，可得△QDB∽△ACB，进而得出ND的长，进而求出S；
当＜t≤3时，设QM与AB的交点为D，可得△QDB∽△ACB，进而得出ND的长，进而求出S；
（4）当直线经过MN的中点时，设过点P且平行于BC的直线交MN于D点，与AB交点为F，过点N作NE⊥PD，垂足为E，可得△DEN∽QCP，进而得出，根据PD∥BC可得PF，NF的长，进而求出NE，再根据D是MN的中点可得，解出t；
当直线经过QM的中点时，设过点P且平行于BC的直线交QM于D点，与AB交点为F，过点Q作QE⊥PD，垂足为E，可得△NPF∽△EDQ，进而得出，根据PD∥BC可求出PF，NF的长，根据D为QM的中点可得，解出t即可.

【解题过程】解：（1）答案：25；3t.
①∵AC=20，BC=15，∠C=90°，
∴AB=;
②∵PN⊥AB，
∴∠PNA=90°，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∴PN==3t.
故答案为25；3t.
（2）当PQMN为矩形时，PQ⊥PN.
∵PN⊥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴，
∴，解得t=.
（3）当0＜t≤时，过点Q作QD⊥AB，垂足为D.


∵∠C=90°，
∴△QDB∽△ACB，
∴，
∴DB=，
由（1）知AN=4t，
∴ND=25-(9-3t)-4t=16-t，
∴S=(16-t)·3t=-3t2+48t；
当＜t≤3时，设QM与AB的交点为D.

根据题意可得△QDB∽△ACB，
∴，
∴，
∴BD=9-3t，
∴ND=25-(9-3t)-4t=16-t，
∴S==t2-14t+96，
综上所述.
（4）当直线经过MN的中点时，如图，设过点P且平行于BC的直线交MN于D点，与AB交点为F，过点N作NE⊥PD，垂足为E.

∵PD∥BC，MN∥PQ，
∴∠PDN=∠DPQ，∠DPQ=∠CQP，
∴∠PDN=∠CQP.
∵∠C=90°，
∴△DEN∽QCP，
∴.
∵PD∥BC，
∴，
∴PF=，NF=，
∴NE=.
∵D是MN的中点，
∴，解得t=；
当直线经过QM的中点时，如图，设过点P且平行于BC的直线交QM于D点，与AB交点为F，过点Q作QE⊥PD，垂足为E.

∵MQ∥PN，
∴∠NPF=∠QDE，
∴△NPF∽△EDQ，
∴.
∵PD∥BC，
∴，
∴PF=，NF=.
∵D为QM的中点，
∴DQ=1.5t，
∴，解得t=.

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；分类讨论的思想.
24.（2019吉林长春，24，12分）已知函数
（1） 当n=5，
①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；
②求此函数的最大值.
（2） 已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围；
（3） 当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围.
【思路分析】本题主要考查二次函数的综合应用，
（1）根据n=5可得出函数的解析式，根据P在此函数图象上可得出b的值，对函数进行配方，根据二次函数的性质可得出最大值；
（2）当n＞4时，根据题意可得，当n＜2时，根据题意可得，当n=4时和当n=2时求出函数的解析式并判定与线段AB的交点，当2＜n＜4时，根据题意可得或，分别求解即可；
（3）首先将函数的解析式进行配方，然后分n＞0和n＜0两种情况进行求解即可.
【解题过程】解：（1）当n=5时，，
①∵点P在此函数图象上，
∴b=；
②当x≥5时，y=-x2+5x+5=-(x-)2+，
∴当x=5时，y的值最大，最大值为y=-52+5×5+5=5.
当x＜5时，y=-x2+x+=-(x-)2+，
∴当x=时，y的值最大，最大值为，
综上所述，y的最大值为.
（2）当n＞4时，根据题意可得，即无解；
当n＜2时，根据题意可得，即无解；
当n=4时此时与线段AB无交点；
当n=2时此时与线段AB有一个交点；
当2＜n＜4时，根据题意可得或，
解得n＞或n＜，
∴2＜n＜或＜n＜4，
综上所述2≤n＜或＜n＜4；
（3）
∵此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，
∴当n＞0时，或=4，
解得n≥8或n=4；
当n＜0时，≥4或=4，
解得n≤-8或n=-2-2.
【知识点】二次函数的性质；分类讨论的思想.