2022届高三数学二轮复习课件：专题一　第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值与最值

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1.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).温馨提示求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.
2.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)≥0.②f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)0在区间D上有解;若f(x)在区间D上存在单调递减区间,转化为f'(x)0,右侧f'(x)0.即g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,于是有g(x)=ex-(x+1)≥g(0)=0,即有ex≥x+1恒成立.构造函数h(x)=(x+1)-ln(x+2),
可知当x∈(-2,-1)时,h'(x)0,当x∈(e-1,+∞)时,g'(x)0,解得a0,g(x)在(-1,+∞)上单调递增,∴x∈(-1,0)时,g(x)g(0)=0,∴f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴x=0是f(x)的极小值点,与题意矛盾.
故有f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,与题意矛盾.