2022届高三数学二轮复习课件：专题六　第1讲　直线与圆

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1.两条直线平行与垂直的判定(1)若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则①两直线平行l1∥l2⇔k1=k2;②两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
需注意分析两直线斜率是否有不存在的情况
(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为零),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为零),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0;l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0.
名师点析1.对两条不重合的直线,当斜率都不存在时平行;当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,两直线垂直,此种情形易忽略.2.直线的一般式方程中,垂直与平行的充要条件包含了直线斜率不存在的情况.
误区警示应用两平行线间距离公式时,注意两平行线方程中x,y的系数应对应相等.
3.圆的方程(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
不满足这个条件的方程不表示圆
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
[例1-1](2021·湖南衡阳八中高三模拟)“a=2”是“ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行”的(　　)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案 A　解析 由ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行,则a(a-1)=2,解得a=-1,或a=2,经检验,当a=-1时,两直线重合,舍去,当a=2时,两直线平行,所以a=2是x+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行的充要条件.
[例1-2]( 2021·广东茂名二模)1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》中首次提出:三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上,我们把这条直线称为该三角形的欧拉线.若△ABC的顶点都在圆x2+y2=4上,边AB所在的直线方程为x+2y=1,且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为　　　　　　　　. 
答案 2x-y=0　解析 由题意可得△ABC的欧拉线过圆心(0,0)且与直线x+2y=1垂直,所以欧拉线方程的斜率为2,所以△ABC的欧拉线方程为2x-y=0.
[例1-3]已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为　. 
解析 设点P的坐标为(a,b).已知A(4,-3),B(2,-1),线段AB的中点M的坐标为(3,-2).
而AB所在直线的斜率kAB= =-1,线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.点P(a,b)在直线x-y-5=0上,有a-b-5=0.①
解题心得解直线方程问题注意几个误区(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
(1)(2021·江西南昌模拟)若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为 ,则实数a的值是(　　)A.-2B.-2或1C.-1D.-1或2
(2)(2021·河北邢台高三模拟)已知直线2x+y-1=0与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)A.x+2y+3=0B.x-2y+5=0C.x+2y-3=0D.x-2y-5=0
(3)(2021·陕西延安中学月考)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在位置为B(-1,-4),若将军从点A(-1,2)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
答案 (1)C　(2)D　(3) C
解析 (1)∵l1∥l2,∴a·(a-1)=2,解得a=2或a=-1.经检验知,a=2或a=-1时,l1∥l2.
(2)因为直线AB:2x+y-1=0的斜率为-2,可知其垂直平分线的斜率为 ,又圆(x-1)2+(y+2)2=4的圆心为(1,-2),弦AB的垂直平分线必过圆心,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+2= (x-1),化简得x-2y-5=0.(3)如图所示,设点B关于直线x+y=3的对称点为C(a,b),
[例2-1](2021·天津河西区一模)已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则圆C的标准方程为　　　　　　. 
答案 x2+(y+2)2=5　
[例2-2](2021·浙江温州三模)已知圆C经过点A(1,0),B(4,0),D(0,2),直线l与圆C相切于点B,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　,直线l的方程为　　　　　　　　. 
[例2-3](2021·河南漯河期末)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线,已知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,4),其欧拉线方程为x-y=0,则△ABC的外接圆方程为　　　　　　　　　　　　. 
答案 (x-1)2+(y-1)2=10　
规律方法求圆的方程的两种方法(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
(1)(2021·广东中山模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 ,若点M(0, )在圆C上,则圆C的方程为　　　　　　　　. 
(2)(2021·浙江丽水期末)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+2y=4与x轴交于A点,直线m:kx+y-1=0与y轴及直线l分别交于B点、C点,且A,B,C,O四点共圆,则此圆的标准方程是　　　　　　　　　　　　. 
(3)(2021·山东滨州期末)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=3x上在第三象限内的点,B(-10,0),以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D,AB⊥CD,则圆C的标准方程为　　　　　　　　　　　　. 
(2)由题意A,B,C,O四点共圆且OA⊥OB,所以CB⊥CA,则直线l与m垂直,故k=-2.
(3)根据题意,设A的坐标为(2a,6a),其中ar1+r2⇔两圆外离;(2)d=r1+r2⇔两圆外切;(3)|r1-r2|