【中考冲刺】2021年湖北省襄阳市中考数学模拟试卷(附答案)

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【中考冲刺】2021年湖北省襄阳市中考数学模拟试卷（附答案）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上


一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．某中学九（1）班的位同学在课间体育活动时进行分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：，，，，，．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）

A．x＜-2或x＞2 B．x＜-2或0＜x＜2
C．-2＜x＜0或0＜x＜2 D．-2＜x＜0或x＞2
6．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则，两点间的距离为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在中，，若，则（ ）

A． B． C． D．
8．如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A．k＞0，且b＞0 B．k＜0，且b＞0 C．k＞0，且b＜0 D．k＜0，且b＜0
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )

A． B． C． D．
10．如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）

A． B．不等式的解集是
C． D．方程的解是，


二、填空题
11．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流强度I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，其函数图象如图所示，则电流强度I（A）与电阻R（Ω）的函数表达式是__．

12．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是________．
13．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．

14．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为_____．

15．如图，中，，，，是上一点，，，垂足为，则的长为 ________ ．

16．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____．


三、解答题
17．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩（满分分，分及分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级名学生的测试成绩为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
八年级名学生的测试成绩条形统计图如图：
八年级抽取的学生测试成绩形统计图

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
分及以上人数所占百分比
七年级




八年级




根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的，，的值；
（2）该校七、八年级共名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
18．已知，是方程的两根且，求代数式的值．
19．如图，的对角线，相交于点，，是上的两点，并且，连接，．

（1）求证：；
（2）若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
20．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，求，，的长．

21．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．

22．如图，是的外接圆，的平分线与相交于点，过点作直线，连接，，，．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
23．某商家销售一种成本为元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元．
（1）求出关于的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是元；
（3）求出商家销售该商品每天获得的最大利润．
24．（基础巩固）
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．

（尝试应用）
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．

（拓展提高）
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．已知抛物线经过、两点．

（1）求直线的解析式和此抛物线的解析式；
（2）如图，取一根橡皮筋，两端点分别固定在、处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点与、两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由；
（3）当时，有最大值为，求的值．

参考答案
1．D
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】
解：∵将原方程左边因式分解，得，即或，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
2．A
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=-1代入得，然后从等式中求出即可．
【详解】
解：把x=-1代入得，
所以．
故选择：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．C
【分析】
先将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
【详解】
将这组数据重新排列为118，126，126，134，144，152，
所以这组数据的众数为126，
中位数为，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
4．A
【解析】
试题分析：A、最小旋转角度==120°；
B、最小旋转角度==90°；
C、最小旋转角度==180°；
D、最小旋转角度==72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选A．
考点：旋转对称图形．
5．D
【分析】
先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为-2，
∵由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是-2＜x＜0或x＞2．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．
6．A
【分析】
由旋转的性质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在Rt△BDE中可求得BD的长．
【详解】
解：

在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，
∴∠DEA=∠C=90°，AE=AC=4，DE=BC=3，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
连接BD，在Rt△BDE中，
由勾股定理可得BD=，
即B、D两点间的距离为，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键．
7．B
【分析】
由可求得，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得．
【详解】
∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴．
故选B．
【点睛】
考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
8．B
【解析】
试题分析：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选B．
考点：一次函数的性质和图象
9．C
【分析】
根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.
【详解】
根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
10．B
【分析】
由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是（5，0），则另一个交点（-1，0），结合函数图象即可求解．
【详解】
由图象得：，，对称轴是，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是（5，0），
∴另一个交点（-1，0），
∴不等式的解集是，故B错误，符合题意；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴，故C正确，不符合题意；
∵函数图象与x轴的两个交点为（5，0）和（-1，0），
∴方程的解是，，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．
11．I=
【分析】
设I=（k≠0），将点（3，2）代入可得出k的值，继而确定电流强度I（A）与电阻R（Ω）的函数解析式．
【详解】
解：设I=（k≠0），
将点（3，2）代入可得：2=，
解得：k=6，
故电流强度I（A）与电阻R（Ω）的函数解析式I=．
故答案为I=．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，解答本题关键是设出解析式，利用待定系数法确定k的值，难度一般．
12．
【解析】
试题解析：∵一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根，
∴△=16-4（-m）＜0，
∴m＜-4．
考点：根的判别式．

13．7米．
【分析】
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=7(米)，
故答案为：7(米) ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
14．
【解析】
解：∵弦CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD==．故答案为．
15．4
【分析】
由垂直的定义得到∠EDA=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵DE⊥AB，
∴∠EDA=90°，
∴∠C=∠EDA，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
即，
∴AD=4，
故答案为:4．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16．4．
【分析】
根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间.
【详解】
解：依题意，令得：
∴
得：
解得：（舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单.
17．（1），，；（2）1080人
【分析】
（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出七、八年级中各随机抽取名学生的合格成绩人数，进而即可求出参加此次测试活动成绩合格的学生人数．
【详解】
解：（1）∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴a＝7，
由条形统计图可得，b＝（7＋8）÷2＝7.5，
c＝（5＋2＋3）÷20×100%＝50%，
即a＝7，b＝7.5，c＝50%；
（2）∵七年级名学生中，成绩在分及分以上的有人，八年级名学生中，成绩在分及分以上的有人，（人）．
∴估计此次测试合格人数为：．
答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数为．
【点睛】
本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．-9
【分析】
先解一元二次方程求出方程的两个根，确定m与n的值，将代数式利用乘法公式，单项式乘以多项式法则化简，代入m、n求值即可．
【详解】
解：，是方程的两根，且，
∴△=b2-4ac=4+4=8
∴x=
则，，
原式，
当，时，
原式．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，整式化简求值问题，二次根式的混合运算，掌握公式法解方程，整式乘法公式，单项式乘以多项式法则是解题关键．
19．（1）见解析；（2）矩形，见解析
【分析】
（1）已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，由AE＝CF即可得OE＝OF，利用SAS即可证明△BOE≌△DOF；
（2）四边形BEDF是矩形．由（1）得OD＝OB，OE＝OF， 根据对角线互相平方的四边形为平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形， 再由BD＝EF，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可判定四边形EBFD是矩形．
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
又，，即，
在和中，，
∴．
（2）四边形是矩形，理由如下：
，相交于点，，，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是矩形．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，平行四边形的性质及判定、矩形的判定，熟练运用相关的性质及判定定理是解决问题的关键．
20．BC=8，AD=BD=5.
【分析】
根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的定义及圆周角定理可得∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，可得△ABD是等腰直角三角形，即可求出AD、BD的长.
【详解】
∵AB为直径，∠ACB是AB所对的圆周角，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC===8，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=45°，
∵∠ACD和∠ABD是所对的圆周角，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
同理可得：∠DAB=∠DCB=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AD2=AB2，
∴AD=BD=5.
【点睛】
本题考查主要圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握直径所对的圆周角是直角的性质是解题关键.
21．（1）y＝，y＝2x﹣5；（2）(2.5，0)
【分析】
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB＝MC，得到，即可解答．
【详解】
解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：

解得：；
∴y＝2x﹣5．
（2）∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
22．（1）相切，见解析；（2）20
【分析】
（1）连接作辅助线，设与相交于点．通过已知条件证得，再利用圆心角与圆周角的关系得，进而求证，通过，得到，进而求得得到直线与相切．
（2）通过，，得垂直平分，则求．在求，在中，，即可求得OB，也可求得OD的长，利用求值即可．
【详解】
解：（1）直线与相切．
理由：如图，连接，设与相交于点．

平分，
．
．
，
．
．
又，
．
．
直线与相切．
（2）由（1）知．
，
垂直平分，
．
．
在中，，
即，解得，
，
．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、切线的判定等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
23．（1）；（2）销售单价定为40元；（3）该商品每天获得的最大利润为8960元．
【分析】
（1）设关于的函数关系式为，利用待定系数法即可得答案；
（2）根据利润=单件利润×销售量及（1）中解析式可得关于x的一元二次方程，解方程并根据销售单价不能超过元即可得答案；
（3）根据利润=单件利润×销售量可得w与x的关系式，根据二次函数的性质即可得答案．
【详解】
（1）设关于的函数关系式为，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴．
（2）∵成本为元，，每天获得的利润是元，
∴，
解得：，．
∵物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元，
∴不合题意，应舍去．
∴当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润是元．
（3）设商家销售该商品每天获得的利润为元，
则，
∵，
∴x≤50时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，取最大值为-10×（48-50）2+9000=（元）．
答：商家销售该商品每天获得的最大利润为元．
【点睛】
本题考查一次函数、一元二次方程及二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及二次函数的性质是解题关键．
24．（1）见解析；（2）AD＝；（3）5﹣2
【分析】
（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论；
（2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD•AB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC＝＝=，
∴AD＝；
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝DF=5，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键．
25．（1）；；（2）存在，的面积的最大值为，；（3）或
【分析】
（1）利用待定系数法将A、B两点坐标代入直线的解析式为及抛物线解析式，解方程组即可；
（2）如图所示，过点作轴，垂足为，交于点．设点的坐标为，则，则．当时，取最大值，．的面积最大即可；
（3）利用函数增减性分三种情况，由即时，在对称轴左侧函数y随x的增大而增大，当时，函数有最大值．．若即时，当时函数有最大值．，若时，在对称轴右侧函数y随x的增大而减小，当时，函数有最大值．．结合范围解方程即可．
【详解】
解：（1）设直线的解析式为，
将点和点的坐标代入，得，解得．
直线的解析式为．
抛物线经过，两点，
，解得．
；
（2）存在．理由如下
如图所示，过点作轴，垂足为，交于点．
设点的坐标为，
则，．
当时，取最大值，此时的面积有最大值，．
的面积．
的面积的最大值为，此时点的坐标为．

（3）解：若即时，在对称轴左侧函数y随x的增大而增大，
当时，函数有最大值．
此时，．
解之得（舍去），．
．
若即时，先增后减
当时函数有最大值．
，（不合题意，舍去）
若时，在对称轴右侧函数y随x的增大而减小，
当时，函数有最大值．
此时，．
解之，得（舍去），．
故的值为或．
【点睛】
本题考查待定系数法求直线解析式和抛物线解析式，动点与、两点构成三角形的面积，以及给定区间函数最值问题，掌握待定系数法求函数解析式，会利用动点P的横坐标表示三角形PAB面积，关键是让区间位于对称轴左边，右边，和包含对称轴三种情况，根据函数增减性解决问题．