数学七年级下册第4章 相交线与平行线综合与测试学案设计

《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】

1．   熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；

2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；

3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、两条直线的位置关系

1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行

要点诠释：

（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.

（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.

2.对顶角、补角、余角

（1）定义：

①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.

②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．

（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．

3.垂线

（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．

（2）垂线的性质：

①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

②垂线段最短．

（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

要点二、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

3．两条平行线间的距离

如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

要点诠释：

（1）两条平行线之间的距离处处相等.

（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.

（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.

要点三、用尺规作线段和角

1.用尺规作线段

（1）用尺规作一条线段等于已知线段.

（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.

（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.

（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.

2.用尺规作角

（1）用尺规作一个角等于已知角.

（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.

（3）用尺规作一个角等于已知角的和.

（4）用尺规作一个角等于已知角的差.

【典型例题】

类型一、两条直线的位置关系 

1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有    对，它们分别是                             ，共有    对邻补角.

【思路点拨】根据邻补角定义和对顶角定义，每一个顶点处有四个角，可以组成四对邻补角和两对对顶角，而本题图形中，三个顶点重叠在一起，所以再乘以3即可．

【答案】6,∠AOC与∠BOD，∠AOF与∠BOE，∠COF与∠DOE, ∠BOC与∠AOD，∠BOF与∠AOE, ∠DOF与∠COE ,12．

【解析】找对顶角或邻补角，先从某一个角开始，顺时针或逆时针旋转，这样做，既不漏也不重.

【总结升华】两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角.

举一反三：

【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.

【答案】

解：   因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,

       所以∠AOC是∠BOC的补角.

       因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,

       ∠AOD=∠BOC（已知）,

       所以∠BOC＋∠BOD=180º.

   所以∠BOD是∠BOC的补角．

所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.

而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC没有对顶角.

2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.

【答案与解析】

解：∵a⊥b,

∴∠2＝∠1＝90°.

又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°,

又∠3与∠4互为邻补角，

所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°.

所以∠4＝135°.

【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．

类型二、平行线的性质与判定

3.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，将求∠AGD的过程填写完整：

因为EF∥AD，所以∠2=        （                      ）

又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3

     所以AB∥            （                      ）

所以∠BAC＋             =180°（                      ）

因为∠BAC=70°，所以∠AGD=           .

【答案】∠3，两直线平行，同位角相等；DG，内错角相等，两直线平行；∠AGD，两直线平行，同旁内角互补；110°.

【解析】首先由已知EF∥AD根据两直线平行同位角相等可得∠2=∠3，再由∠1=∠2，利用等量代换可得∠1=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，再根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAC+∠AGD=180°，进而得到答案．

【总结升华】本题主要考查的是平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．此外注意证明题规范的书写格式.

举一反三：

【变式】如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.

【答案】

解：平行，理由如下：

因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），

所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.

又因为∠1=∠2（已知），

所以∠BCD=∠2.

所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.

【高清课堂：相交线与平行线单元复习  403105经典例题3】

4.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．

【答案与解析】∠AED=∠ACB，理由如下：

∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,

∴∠2＝∠4.

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.

∴∠5＝∠3.

又∠3=∠B,

∴∠5＝∠B.

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.

∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).

【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.

类型三、用尺规作线段和角

5. 在如图中，补充作图：
（1）在AD的右侧作∠DCP=∠DAB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）CP与AB会平行吗？为什么？

【思路点拨】

（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出；
（2）根据平行线的判定方法即可判断．

【答案与解析】

解：（1）作图如下：

（2）会平行．用同位角相等，两直线平行．

【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角，以及平行线的判定定理，正确掌握基本作图是关键．

举一反三：

【变式】下列作图属于尺规作图的是（　　）．

A．画线段MN=3cm．          B．用量角器画出∠AOB的平分线．  

C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线 ．  

D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α．

【答案】D

类型四、实际应用

6.如图，107国道上有一个出口M，想在附近公路旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？

【答案与解析】

解：如图，过点M作MN⊥，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.

【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.

《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1．下列图中,∠1和∠2是对顶角的有(　 )个.
　　
　　A．1个 　　　　B．2个 　　　C．3个 　　　　D．4个

2．如图所示是同位角关系的是(    )．

    A．∠3和∠4    B．∠1和∠4    C．∠2和∠4    D．不存在

3．下列说法正确的是(    )．

    A．相等的角是对顶角.

    B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等.

    C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

    D．若两个角的和为180°，则这两个角互为余角.

4．∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是(    )．

    A．∠1＝∠2    B．∠1＞∠2    C．∠1＜∠2    D．无法确定

5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（　　）．

A．作一个角等于已知角

B．作已知直线的垂线

C．作一条线段等于已知线段

D．作角的平分线

6．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于(    )．

    A．75°    B．105°    C．45°    D．135°

7．下列说法中，正确的是(    )．

    A．过点P画线段AB的垂线.

    B．P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQ⊥AB.

    C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.

    D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线.

8．如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是(     ) ．

   A. 50°  B. 60°    C.70°    D.80°

二、填空题

9. 如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．

10．如图所示，已知BC∥DE，则∠ACB＋∠AOE＝         ．

11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________．

12. (广东湛江)如图所示，请写出能判断CE∥AB的一个条件，这个条件是：

①：________  ②：________  ③：________

13．如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1+∠2=________.

14．如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD＝25°，则∠BOD=        ，∠AOC＝        ，∠BOC＝        ．

15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西        ．   

16．如图所示，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有         条．

三、解答题

17．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．

18．如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，你能推断哪两条线段平行? 说明理由．

19. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．

20．如图所示，点P是∠ABC内一点．

(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．

(2)∠EPF等于∠B吗? 为什么?

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】A；

   【解析】只有第三个图中的∠1与∠2是对顶角.

2. 【答案】B；

   【解析】同位角的特征：在截线同旁，在两条被截直线同一方向上．

3. 【答案】C；

   【解析】一个角的平分线分得两个角相等，但不是对顶角，A错误；内错角相等的前提必须是两条直线平行，B错误；若两个角的和为180°，这两个角互为补角，D错误；C是平行公理的推论，正确．

4. 【答案】D；

   【解析】因为不知道直线AB和CD是否平行，平行时同位角相等，不平行时同位角不相等，所以无法确定同位角是否相等，故选D．

5. 【答案】C；

   【解析】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C．

6. 【答案】C；

   【解析】根据直线平行，内错角相等，从A点北偏东60°方向等于从B点南偏西60°，再从B点向南偏西15°方向到C点，∠ABC应等于这两个角的差，故C正确．

7.【答案】C；

   【解析】应是过一点画线段所在直线的垂线，不能是画线段的垂线，故A错误；P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，如果P点不在过Q点与AB垂直的直线上，或Q点不在过P点与AB垂直的直线上，连接PQ，不可能有PQ⊥AB，故B错误；过一点画直线的平行线，这点不能在直线上，否则是同一条直线，故D错误；只有C是垂线的性质，故C正确．

8.【答案】A； 

   【解析】平行线的判定与性质综合应用．

二、填空题

9. 【答案】50°；

   【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠AGF，因为∠AGF与∠EGB是对顶角，所以∠EGB＝∠AGF，故∠EGB＝50°．

10.【答案】180°；

【解析】由BC∥DE可知∠ACB＝∠EOC，又因为∠AOE+∠EOC＝180°，故可得解．

11.【答案】向西，750米  ；

   【解析】移动的方向是起点到终点的方向，移动的距离是起点到终点的线段的长度.

12．【答案】∠DCE＝∠A，∠ECB＝∠B，∠A+∠ACE＝180°；

   【解析】根据平行线的判定，CE∥AB成立的条件可以是∠DCE＝∠A或∠ECB＝∠B或∠A+∠ACE＝180°．

13.【答案】90°；

【解析】∠BAC+∠ACD＝180°，°，即∠1+∠2＝90°.

14.【答案】115°，115°，65°；

【解析】邻补角或对顶角的性质进行求解.

15.【答案】48°；

【解析】内错角相等，两直线平行.

16.【答案】8；

【解析】表示点到直线或线段距离的垂线段有：线段AC、BC、DE、CE、BE、CD、DB、AD.

三、解答题

17.【解析】

解：因为∠2＝∠3(对顶角相等)，∠3＝40°(已知)，

所以∠2＝40°(等量代换)．又因为∠1+∠2＝90°(已知)，

所以∠1＝90°-∠2＝50°．

18.【解析】

解：AB∥CD，理由如下：

因为AC平分∠DAB(已知)，所以∠1＝∠3(角平分线定义)．又因为∠1＝∠2(已知)，所以∠2＝∠3(等量代换)，所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．

19.【解析】

解：因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)，

    所以∠1+∠2＝180°．

    所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．

    所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)．

    又因为∠4＝50°(已知)，

    所以∠3＝∠4(等量代换)．

    所以d∥e(同位角相等，两直线平行)．

    因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)，

    所以∠5＝50°(等式的性质)．

    所以∠4＝∠5(等量代换)．

    所以b∥c(内错角相等，两直线平行)．

    因为a∥b，b∥c(已知)，

    所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)．

20.【解析】

解：如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求．

    (2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．