湘教版 七年级下册 5.1 轴对称知识点及习题学案

轴对称

【学习目标】

1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.

2.了解轴对称以及轴对称图形的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．

2．探索轴对称的基本性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．

【要点梳理】

【高清课堂 389298 轴对称 知识要点】

要点一、轴对称图形
轴对称图形的定义

一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.

要点诠释：
　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
要点二、轴对称
1.轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
　　要点诠释：
    轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.

2.轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.

要点三、轴对称与轴对称图形的性质

轴对称、轴对称图形的性质

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
　　要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

【典型例题】

类型一、判断轴对称图形

【高清课堂389298 轴对称 例1】 

1、在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有 （    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是.

【答案】D；

【解析】每个图形都能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合

【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏.

举一反三：

【变式1】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 (     )

【答案】A；

提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴.

【变式2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是　   　，它有　    条对称轴；最少的是　   　，它有　       条对称轴

【答案】直线、无数、角、1．

【高清课堂389298 轴对称 例2】 

2、观察图形…并判断照此规律从左到右第四个图形是（　　）

A .       B.   C .   D.

【思路点拨】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项．

【答案】D；

【总结升华】本题考查学生根据图形，归纳、发现并运用规律的能力．注意结合图形解题的思想．

举一反三：

【变式】（2014春•太谷县校级期末）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（　　）

　A．  B．   C．   D．

【答案】C.

类型二、轴对称或轴对称图形的应用

【高清课堂389298 轴对称 例3】 

3、如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E （如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F （如图③）； （3）将纸片收展平，那么∠AEF的度数为（    ）

A．60° B．67.5° C．72° D．75°

【答案】B；

【解析】∠AEF＝（180°－45°）÷2＝67.5°.

【总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形，对应角相等.

举一反三：

【变式1】如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BD的度数．

【答案】100°；

        ∵AB＝BC，

        ∴∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°

        又∵ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的处，点D为AB边的中点，

        ∴BD＝D，∠B＝∠DB＝40°，

        ∴∠BD＝180°－40°－40°＝100°.

【变式2】将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形. 若＝56°,则∠AED的大小是_______.

【答案】62°；

4、（2015春•启东市校级月考）如图，点P在∠AOB内，M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E、F，若△PEF的周长等于20cm，求MN的长．

【思路点拨】根据轴对称的性质可得ME=PE，NF=PF，然后求出MN=△PEF的周长．

【答案与解析】

解：∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，

∴ME=PE，NF=PF，

∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，

∵△PEF的周长等于20cm，

∴MN=20cm．

【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

【巩固练习】

一.选择题

1．在图中，是轴对称图形的是 （    ）

2．如图，ΔABC与Δ关于直线对称，则∠B的度数为 （    ）

A．30° B．50°      C．90°      D．100°

3. 下列说法中错误的是(    )

A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴

B.关于某直线对称的两个图形全等   

 C.面积相等的两个三角形对称

D.轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合

4.（2015•黄岛区校级模拟）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（　　）

A．（3，1）  B．（﹣3，﹣1）    C．（1，﹣3）    D．（3，﹣1）

5. 下列说法错误的是（　　）

A. 若A，A′是以BC为轴对称的点，则AA′垂直平分BC       

  B. 线段的一条对称轴是它本身所在的直线

C. 一条线段的一个端点的对称点是另一个端点 

D. 等边三角形是轴对称图形

6．（2015•营口模拟）将如图①的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图②，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为（　　）

A．60°    B．65°    C．70°    D．75°

二.填空题

7．轴对称图形：　  　有一条对称轴，　  　有两条对称轴，　   　有四条对称轴，　  　有无数条对称轴．（各填上一个图形即可）

8．（2014•荆州模拟）在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有　   　个．

9. 如图，等边△ABC的边长为2，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为         ．

10.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°.

11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E． 若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．   

12．利用折纸的方法，将1条线段分成16段彼此相等的线段，需要折　    　次．

三.解答题

13. 如图所示，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗?实际中这个算式是什么?

14.（2014秋•滨湖区校级月考）如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，

（1）求线段MN的长，

（2）若∠AOB=30°，求OM的长．

15．如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】D；

   【解析】根据轴对称图形的定义判断.

2. 【答案】D；

   【解析】成轴对称的两个图形对应线段、对应角相等.

3. 【答案】C；

   【解析】面积相等不一定全等，也不一定对称.

4. 【答案】A；

   【解析】解：由A点坐标，得C（﹣3，1）．

由翻折得C′与C关于y轴对称，C′（3，1）．

故选：A．

5. 【答案】A；

   【解析】A、应该是BC垂直平分AA′，故本选项错误；B、线段的一条对称轴是它本身所在的直线，故本选项正确；C、一条线段的一个端点的对称点是另一个端点，故本选项正确；D、等边三角形是轴对称图形，故本选项正确．

6. 【答案】B；

   【解析】解：∵AE∥BF，

∴∠AEP=180°﹣∠BPE=180°﹣130°=50°．

又∵折叠后DE与BF相交于点P，设∠PEF=x，

即∠AEP+2∠PEF=180°，

即50°+2x=180°，

x=65°．

故选：B．

二.填空题

7. 【答案】角，矩形，正方形，圆；

   【解析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．

8. 【答案】3；

   【解析】解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．

故答案为：3．

9. 【答案】6；

   【解析】根据对称性，阴影部分的周长等于△ABC的周长＝6.

10．【答案】70；

   【解析】∵CD与BE互相垂直平分，∴DB=DE，∵∠BDE=70°，∴∠BDC=35°，∠ABD=55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．

11.【答案】18°；

【解析】∠A＝∠ABD＝，∠CBD＝3，5＝90°，＝18°.

12.【答案】4；

   【解析】因为24=16，所以需折4次．

三.解答题

13.【解析】

在实际中的算式是：151＋25＋12＝188；结果也是正确的.

14.【解析】

解：（1）根据题意，EP=EM，PF=FN，

∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，

∴MN=20cm．

（2）连接OM、OP、ON，

∵M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，

∴∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，

∵∠AOB=30°，

∴∠MON=2∠AOB=60°，

∴△MON为等边三角形，

∴OM=ON=MN=20cm．

15.【解析】

解：如图所示，答案不唯一，参见下图．