湘教版七年级下册6.2 方差导学案

这是一份湘教版七年级下册6.2 方差导学案，共10页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，总结升华，答案与解析，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
方差——知识讲解 【学习目标】1.了解极差、方差和标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征，能借助计算器求出相应的数值； 2.学会用极差、方差与标准差来处理数据．并用它们来解决实际问题；3.通过实例体会用样本估计总体的思想.【要点梳理】要点一、极差、方差与标准差1.极差一组数据中最大数据与最小数据的差，叫做极差（range），极差＝最大值－最小值.要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定.当个别极值远离其他数据时，极差往往不能充分地反映全体数据的实际离散程度.2.方差     在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.3.标准差通常，我们也用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s.要点诠释：（1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定.要点二、极差、方差与标准差的联系与区别联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.【典型例题】类型一、极差、方差与标准差1. 某水果店1至6月份的销售情况（单位：千克）为450、440、420、480、580、550，则这组数据的极差是        千克．【思路点拨】将数据进行大小排列，根据极差的定义，极差=最大值-最小值.【答案】160【解析】最大数据是580，最小数据是420，所以极差是580-420=160.【总结升华】本题考察极差的概念，关键是找准该组数据的最大值和最小值.举一反三：【变式】我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达8844米，在它周围2千米的附近，耸立的几座著名山峰的高度如下表：山峰名珠穆朗玛洛子峰卓穷峰马卡鲁峰章子峰努子峰普莫里峰海拔高度8844m8516m7589m8463m7543m7855m7145m则这七座山峰海拔高度的极差为           米．  【答案】16992.一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（    ） A．1 B．2  C．3 D．4【思路点拨】先算出平均数，然后代入求方差的公式：.【答案】B【解析】该组数据的平均数是0，所以=2.【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式.举一反三：【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为，其方差为，则3年后这五名队员年龄的方差为______．【答案】0.8类型二、极差、方差与标准差的实际应用3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数 甲   55 149191  135 乙   55 151110  135    分析此表得出如下结论：（     ）    （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；    （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）    （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．    A．（1）（2）     B．（1）（2）（3）     C．（2）（3）     D．（1）（3）【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义.举一反三：【变式】（2015•常德）某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S乙2=433.3，则产量稳定，适合推广的品种为（　　）A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定【答案】B.解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，∵141.7＜433.3，∴S甲2＜S乙2，即甲种水稻的产量稳定，∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．故选：B．4. 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm）甲： 21  42   39  14  19  22  37  41  40  25乙： 27  16   40  41  16  44  40  40  27  44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差和方差.(2)哪种玉米的苗长得高些；(3)哪种玉米的苗长得齐？【思路点拨】本题考察极差、方差的定义.要求极差，只要用数据中最大值减去最小值，求到差值即可.利用方差的计算公式可以求到方差.【答案与解析】解：（1）甲的极差： 42-14=28(cm)；        乙的极差：44-16=28(cm).甲的平均值:乙的平均值: 甲的方差:,乙的方差:（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以乙种玉米的苗长的高.（3）因为，所以甲种玉米的苗长得整齐.【总结升华】本题既是一道和极差、方差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的一道题目，关键是理解和掌握极差、方差的求解公式.举一反三：【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图： 请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．【答案】植株编号12345甲种苗高75458乙种苗高64565  
　　， 　　甲种水稻比乙种水稻长得更高一些． 　　， 　　乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些． 5.（2015春•安达市期末）甲、乙两台机床同时加工直径为10mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下（单位：mm）：甲109.81010.210乙9.9101010.110（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由．【思路点拨】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可．（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些．【答案与解析】解：（1）∵甲机床所加工零件直径的平均数是：（10+9.8+10+10.2+10）÷5=10，乙机床所加工零件直径的平均数是：（9.9+10+10+10.1+10）÷5=10，∴甲机床所加工零件直径的方差=[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10﹣10）2]=0.013，乙机床所加工零件直径的方差=[（9.9﹣10）2+（10﹣10）2+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2]=0.004，（2）∵S2甲＞S2乙，∴乙机床生产零件的稳定性更好一些．【总结升华】本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大． 举一反三：【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)甲9582888193798478乙8375808090859295    (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；    (2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由．【答案】解：(分)，    (分)．    甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．    (2)由(1)知分，所以，．①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．方差——巩固练习【巩固练习】一.选择题1. （2015•齐齐哈尔）下列是某校教学活动小组学生的年龄情况：13，15，15，16，13，15，14，15（单位：岁）．这组数据的中位数和极差分别是（　　）A．15，3   B．14，15      C．16，16     D．14，32.甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数V甲＝V 乙＝7，方差S甲2＝3，S乙2＝1.2，则射击成绩较稳定的是（   ）    A．甲      B．乙      C．一样      D．不能确定3.小伟五次数学考试成绩分别为：86分，78分，80分，85分，92分，李老师想了解小伟数学学习变化情况，则李老师最关注小伟数学成绩的（　　）A．平均数  B．众数  C．中位数  D．方差4.在2，3，4，5，五个数据中，平均数是4，那么这组数据的方差是（    ）A.2   B.10  C.  D.5.一组数据的方差为，将这组数据中的每个数都乘以2，所得新数据的方差是(    )．    A．    B．    C．    D．6.某学习小组位同学参加初中毕业生实验操作考试（满分20分）的平均成绩是分．其中三位男生的方差为（分），两位女生的成绩分别为分，分．则这个学习小组位同学考试分数的标准差为（　　）Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．二.填空题7.已知，5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：2，－2，－1，1，0，则这组数据的极差为______cm． 8.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____， 标准差为________．9.对甲、乙两台机床生产的同一种型号的零件进行抽样检测（零件个数相同），其平均数、方差的计算结果是：机床甲：，；机床乙：，．由此可知：__________（填甲或乙）机床性能较好． 10. 为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗随机各取5株量出每株的长度如下表所示（单位：厘米）
   经计算，所抽取的甲、乙两种水稻秧苗长度的平均数都是13厘米，方差S2甲=3.6厘米2，那么S2乙=　_________　厘米2，因此　_________　种水稻秧苗出苗更整齐． 11．（2015•济宁）甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为S甲2　     　S乙2（填＞或＜）．12.甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．三.解答题13.为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下（单位：秒）：    编号类型一二三四五六七八九十甲种手表42121乙种手表22424（1）计算甲、乙两种手表日走时误差的平均数；（2）你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好？说说你的理由． 14.（2015•丹东模拟）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，8，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填写下表  平均数 众数 中位数 方差 甲 8　  　 8 0.4 乙　  　 9　  　 3.2（2）教练根据5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？（3）如果乙再射击1此，命中8环，那么乙的射击成绩的方差　  　（填“变大”“变小”或“不变”）15. 某公司对两名业务主管上半年六个月的工作业绩考核得分如下（每个月满分为10分）：甲  5  6  8  7  9   7乙  3  6  7  9  10  7（1）分别求出甲、乙两人的平均得分．（2）根据所学方差知识，请你比较谁的工作业绩较稳定．16. 一次期中考试中，五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分） 平均分标准差数学 英语 （1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择．标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好．请问同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？  【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；【解析】解：按从小到大的顺序排列为：13，13，14，15，15，15，15，16，故中位数为（15+15）÷2=15，极差为16﹣13=3．故选A．2．【答案】B； 【解析】方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定.∵S乙2＞S甲2，∴乙成绩更稳定.3．【答案】D；  【解析】因为方差最能表现成绩的波动变化情况.所以选D.4.【答案】A；【解析】根据平均数可以算出x=6，然后代入方差公式求即可.5.【答案】D.6.【答案】B；【解析】∵，所以=18，位同学考试分数的标准差为：==2.答案选B.二.填空题7．【答案】4.8．【答案】2；.【解析】由于一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.在本题中，所求的数据相当于在数据0，1，2，3，4的基础上，每一个数据都增加20，所以方差仍为2，因此标准差为.9.【答案】甲；  【解析】甲、乙机床生产的零件平均数相同，方差越小，表示波动越小，机床性能越好.10．【答案】2，乙；【解析】平均数相同，方差越小，表示波动越小，也就越整齐.11．【答案】＞；   【解析】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；则乙地的日平均气温的方差小，故S2甲＞S2乙．故答案为：＞．12.【答案】乙；   【解析】由题意知＝6，，则乙的成绩比较稳定.三.解答题13.【解析】解：（1），．（2），由知甲种手表走时稳定性好.14.【解析】解：（1）甲的众数为8；乙的平均数==8，乙的中位数==8；（2）因为甲乙的平均数相等，而甲的方差小，成绩比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；（3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小．故答案为8，8，8；变小．15.【解析】解：（1）， ．（2），．∵，∴甲的工作业绩较稳定．16.【解析】解：（1）数学考试成绩的平均分数学，　　英语考试成绩的标准差英语．　　（2）设同学数学考试成绩标准分为数学，英语考试成绩标准分为英语，则　　数学，英语．　　数学>英语，　　从标准分来看，同学数学比英语考得更好．