2021年云南省大理州中考数学一模测试卷1

这是一份2021年云南省大理州中考数学一模测试卷1，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年云南省大理州中考数学一模测试卷1
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）
1. 某天上午6:00长江水位为80.4，到上午11:30水位上涨5.3米，到下午6:00水位下降了0.9米，到下午六点的水位为（   ）
A.  76米 B. 84.8米 C. 85.8米 D. 86.6米
2. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2=（　　）
A. 24°
B. 27°
C. 54°
D. 108°
3. 一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosA的值为（　　）
A. B. C. D.
5. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中．下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的有（　　）个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 将正整数依次按下表规律排列，则数2009应排的位置是第（　　）

第1列
第2列
第3列
第4列
第一行
1
2
3

第二行

6
5
4
第三行
7
8
9

第四行

12
11
10
A. 第66行第2列 B. 第609行第3列 C. 第670行第2列 D. 第670行第3列
7. 若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的圆心角的度数是（   ）
A. B. C. 或 D. 或
8. 为了解某县1000名公益志愿者寒假期间做公益的时间，团县委随机对其中50名志愿者进行了调查．根据收集的数据绘制了如图所示频数分布直方图，则由样本可以估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于10h所占的百分比为（　　）
A. 68% B. 76%
C. 84% D. 92%

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 若|x2-25|+=0，则xy=______．
10. 点A（1，m），B（3，n）是双曲线上的点，则m ______ m（填“＞”，“＜”，“=”）
11. 如图，用小立方块搭一几何体，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，这样的几何体最少要______个立方块，最多要______个立方块．



12. 直线L1∥L2∥L3，直线L4被L1，L2，L3所截，其中截得的两条线段分别为AB，BC．L5是另外一条被L1，L2，L3所截的直线，其中截得的两条线段分别为DE，EF．小明通过测量得出AB≈1.89cm，BC≈3.80cm，DE≈2.02cm，那么EF约等于______cm．




13. 分解因式：3a3-75a= ______ ．
14. 如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE＝DF，若∠EAB＝15°，∠CGA＝120°，BE=1．则CG= ____ 。








三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
15. （1）已知：x=2sin60°，先化简+，再求它的值．
（2）已知m和n是方程3x2-8x+4=0的两根，求+．







16. 假期小明要阅读老师布置的360页的课外读物，为了完成任务，实际每天看的页数是原计划的1.8倍，结果提前20天完成阅读任务，问小明原计划每天阅读多少页？








四、解答题（本大题共7小题，共58.0分）
17. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F.
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC=140°，求∠DFE的度数.







18. 如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况．
应用你所学的统计知识，写一份简短的报告让交警知道这个时段路口来往车辆的车速情况．
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19. 如图，将点数为2，3，4的三张牌从左到右排列，并且按从左到右的牌面数字记录排列结果为234．现在做一个抽放牌游戏：从上述左、中、右三张牌中随机抽取一张，然后把它放在其余两张牌的中间，并且重新记录排列结果．例如，若第1次抽取的是左边的一张，点数是2，那么第1次抽放后的排列结果是324；第2次抽取的是中间的一张，点数仍是2，则第2次抽放后的排列结果仍是324．照此游戏规则，回答下列问题．
（1）一次抽放后，这三张牌的排列结果为234的概率是多少？请直接写出结果．
（2）两次抽放后，这三张牌的排列结果为234的概率又是多少？请说明理由．






20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCD为矩形，已知A（0，6），C（8，0），动点P以每秒2个单位的速度从A点出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发，沿CO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）时，△CQP的面积为S．
（1）当t=2.5秒时，P点坐标为（______，______），Q点坐标为（______，______）；
（2）当t何值时，△CQP为直角三角形．
（3）求面积S与时间t之间的关系式，并求出S的最大值及此时t的值．







21. 某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如表：
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）若该公司所建的两种户型住房可全部售出，利用函数的知识说明采取哪一种建房方案获得利润最大？并求出最大利润．

A
B
成本（万元/套）
25
28
售价（万元/套）
30
34









22. 如图，△ABC内接于⊙O，∠DAB=∠ACB．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠DAB=30°，AB=1，求弦AB所对的弧长；
（3）在（2）的条件下，点C在优弧AB上运动，是否存在点C，使点O到弦BC的距离为？若有，请直接写出AC的长；若没有，请说明理由．








23. 已知：二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解为______；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）若直线y=k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．











答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根据题意列算式得：
80.4+5.3-0.9，
=85.7-0.9，
=84.8(米)．
故选B．

2.【答案】C

【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF=180°-∠1=180°-72°=108°，∠2=∠BEG，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠BEF=×108°=54°，
故∠2=∠BEG=54°．
故选：C．
根据两直线平行，同旁内角互补，可求出∠FEB的度数，再根据角平分线的性质，可得到∠BEG的度数，然后用两直线平行，内错角相等求出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

3.【答案】D

【解析】解：这个多边形的边数是：=10．故答案是D．
多边形的外角和是360°，又有多边形的每个外角都等于36°，所以可以求出多边形外角的个数，进而得到多边形的边数．
本题考查多边形的外角和，以及多边形外角的个数与其边数之间的相等关系．

4.【答案】B

【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴cosA==，
故选：B．
根据三角函数的定义进行选择即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三个三角函数的定义是解题的关键．

5.【答案】D

【解析】解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2-4ac≥0，正确；
②由两根关系可知，-1×2=，整理得：2a+c=0，正确；
③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-ac＞0，可知b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确；
④由b=2a+3c，b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，所以④正确．
故选：D．
①a+b+c=0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；
②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了；
④把b=2a+3c代入b2-4ac得到b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程根的判别式．

6.【答案】D

【解析】解：∵2009÷3=669…2，
∴2007排在669行的最后，
2008应从670行第4列开始，
∴2009应在第670行第3列．
故选：D．
每行有3列，奇数开始的从左边开始排列，偶数开始的从右边开始排列．每行的最后都是3的倍数．那么2009÷3=669…2，说明2007排在669行的最后，2008应从670行第4列开始，那么2009应在第670行第3列．
本题考查了探索规律的问题，解决此类问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．

7.【答案】B

【解析】本题考查等边三角形的性质与圆的性质,同圆的半径相等.
设半径为r，则弦长为r， 
由两半径，弦可构成一个等边三角形，其内角为60°， 
则这条弦所对圆心角的弧度数为60°.
故选B


8.【答案】C

【解析】解：因为在样本中做公益时间不少于10h所占的百分比为×100%=84%，
所以由样本可以估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于10h所占的百分比为84%，
故选：C．
用样本中做公益时间在10h～16h的人数除以被调查的总人数，以此可估计全部1000名志愿者中做公益时间不少于10h所占的百分比．
不呢提主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．

9.【答案】125或-125

【解析】解：根据题意得：，
解得：x=5或-5，
y=3，
则当x=5，y=3时，xy=125，
当x=-5，y=3时，xy=-125．
故答案是：125或-125．
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

10.【答案】＞

【解析】解：
在y=中，
∵3＞0，
∴在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵A（1，m），B（3，n）都在第一象限内，且1＜3，
∴m＞n，
故答案为：＞．
根据反比例函数的增减性进行判断即可．
本题主要考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在y=（k≠0）中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大．

11.【答案】9；13

【解析】解：搭这样的几何体最少需要（2+1+1）+（3+1）+1=9个小正方体，
最多需要3×2+2×3+1=13个小正方体；
故最多需要13个小正方体，最少需要9个小正方体．
故答案为：9，13；
由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的主视图的第一列3个正方形中每个正方形所在位置最多均可有2个小立方块，最少一个正方形所在位置有2个小立方块，其余2个所在位置各有1个小立方块；主视图的第二列2个小正方形中，每个小正方形所在位置最多均可有3个小立方体，最少一个正方形所在位置有3个小立方块，另1个所在位置有1个小立方块；主视图的第三列1个小正方形所在位置只能有1个小立方块．
此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

12.【答案】4.06

【解析】解：L1∥L2∥L3，
∴=，
即=，
∴EF≈4.06．
故答案为：4.06．
根据平行线分线段成比例定理得到=，代入数据即可得到结论．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．

13.【答案】3a（a+5）（a-5）

【解析】解：原式=3a（a2-25）=3a（a+5）（a-5），
故答案为：3a（a+5）（a-5）
原式提取3a，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14.【答案】

【解析】 连接EF，根据正方形的性质求出AB=AD，∠B=∠D，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF，再判断出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质

15.【答案】解：（1）∵x=2sin60°=，
∴原式=+=+===；
（2）∵m和n是方程3x2-8x+4=0的两根，
∴m+n=，mn=，
则原式==2．

【解析】（1）原式第一项约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值；
（2）利用韦达定理求出m+n，mn的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16.【答案】解：设小明原计划每天阅读x页，根据题意，
得
解，得x=8                
经检验，x=8是原分式方程的解   
答：小明原计划每天阅读8页．

【解析】设小明原计划每天阅读x页．根据原计划工作用的时间-实际工作用的时间=20等量关系列出方程．
本题考查了分式方程的应用．此题中涉及的公式：工作时间=工作量÷工效．

17.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵∠AEC=140°，
∴∠CEB=70°，
∵∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=180°-∠CEB=110°，
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC，
∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°．

【解析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE；
（2）由全等三角形的性质可求∠CEB=70°，由三角形的外角的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．

18.【答案】解：观察直方图可得：
车速为50千米/小时的有2辆，车速为51千米/小时的有5辆，
车速为52千米/小时的有8辆，车速为53千米/小时的有6辆，
车速为54千米/小时的有4辆，车速为55千米/小时的有2辆，
车辆总数是27辆，
这些车的平均速度是（50×2+51×5+52×8+53×6+54×4+55×2）≈52.4千米/时；
按照车速从小到大的顺序排列，第14辆车的车速是52千米/时，
所以，中位数为52千米/时；
该样本数据中车速是52千米/时的有8辆，最多，
所以，该样本数据的众数为52千米/时，
报告：这个时段路口来往的车速平均约为52.4千米/时，有一半的车辆速度在52千米/时以上，车辆速度出现最多的是52千米/时．

【解析】此题考查了学生对条形统计图的认识，及对平均数、中位数、众数的运用，要求学生熟练计算一组数据的平均数、中位数以及众数，能根据这些数据来描述车辆的速度情况即可．
先根据图形确定一定车速的车的数量，再利用加权平均数的公式求得平均数，根据中位数和众数的定义求解，再组织语言写简短的报告即可．

19.【答案】解：（1）∵一次抽放后，这三张牌的排列结果为，324，234，243，
∴一次抽放后，这三张牌的排列结果为234的概率是：．

（2）两次抽放后所有结果如下：

∴共有9种等可能的结果，两次抽放后，这三张牌的排列结果为234的有3种情况，
∴两次抽放后，这三张牌的排列结果为234的概率是：=．

【解析】（1）由一次抽放后，这三张牌的排列结果为，324，234，243，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽放后，这三张牌的排列结果为234的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】4  3  5.5  0

【解析】解：（1）∵A（0.6）．C（8，0）．
∴OA=6，OC=8，
∵∠AOC=90°，
∴AC==10，
当t=2.5时，PA=2.5×2=5，CQ=2.5，
∴PA=PC，OQ=8-2.5=5.5，
∴P（4，3），Q（5.5，0）．
故答案为4，3，5.5，0．

（2）①当∠PQC=90°时，cos∠PCQ==，
∴=，
解得t=，
②当∠QP=90°时，cos∠PCQ==，
∴=，
∴t=，
综上所述，满足条件的t的值为或．

（3）由题意S=•t•（10-2t）=-t2+3t=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴t=时，S的值最大，最大值为．
（1）根据路程，速度，时间之间的关系解决问题即可．
（2）分两种情形分别求解即可解决问题．
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

21.【答案】解：（1）设建造A型的住房x套，则建造B型住房（80-x）套，
，
解得，48≤x≤50，
∵x为整数，
∴x=48，49，50，
∴共有三种建房方案，
方案一：建造A型的住房48套，建造B型住房32套，
方案二：建造A型的住房49套，建造B型住房31套，
方案三：建造A型的住房50套，建造B型住房30套；
（2）设利润为w元，
w=（30-25）x+（34-28）（80-x）=-x+480，
∵48≤x≤50，
∴当x=48时，w取得最大值，此时w=-48+480=432，80-x=32，
答：采用建房方案一：建造A型的住房48套，建造B型住房32套，可以获得利润最大，最大利润是432万元．

【解析】（1）根据表格中的数据和该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案；
（2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到利润与建造A型住房的函数关系，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

22.【答案】解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：
如图1，延长AO交⊙O于点M，连接BM．
∵AM是⊙O直径，
∴∠ABM=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠AMB+∠MAB=90°（直角三角形的两个锐角互余）．
在⊙O中，∵∠DAB=∠ACB，且∠ACB=∠AMB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DAB+∠MAB=90°，即AO⊥AD；
又∵直线AD经过半径OA的外端点A，
∴直线AD与⊙O相切．

（2）连接AO、BO．
在⊙O中，∵∠DAB=∠ACB=30°，∴∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
∵AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=1
==，或者==；

（3）2或1．
作直径AC，则∠ABC=90°，
又∵OM⊥BC，
∴AB∥OM．
∴OM=AB=，
则当AC是直径时满足条件，此时AC=2；
过点O作OM2⊥BC．当BC∥AD时，垂径定理可知OM2=OC=AB=．则△AOC是等边三角形．
则AC=OC=1．


【解析】（1）如图1，延长AO交⊙O于点M，连接BM．欲证直线AD与⊙O相切，只需证明AO⊥AD即可；
（2）如图2，连接AO、BO．利用圆周角定理证得△AOB为等边三角形；分类讨论：①当求劣弧AB的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为60°；②当求优弧AB的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为300°；
（3）①如图3，过点O作OM1⊥BC．AC为⊙O的直径时，根据圆周角定理、三角形中位线定理可知OM1=AB=1；
②如图3，过点O作OM2⊥BC．当BC∥AD时，利用切线的性质、垂径定理可知OM2=OC=AB=．
本题考查了圆的综合题：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半；三角形中位线定理；垂径定理等知识点是综合运用．

23.【答案】x1=3，x2=-1

【解析】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点，
∴方程的解为x1=-1，x2=3，
故答案为：x1=3，x2=-1；
（2）设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，0），
∴（3-1）2+k=0，
解得：k=4，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，
即：抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（3）若直线y=k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值，即y＞4．
（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于-1，3两点，所以方程的解为x1=-1，x2=3．
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
（3）若直线y=k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．