2021年云南省大理州中考数学一模测试卷4

这是一份2021年云南省大理州中考数学一模测试卷4，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021年云南省大理州中考数学一模测试卷4一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）年前个月，我国货物贸易进出口总值达到万亿元．数据“万亿”用科学记数法表示为A.  B.  C.  D. 下面四个立体图形中，主视图是三角形的是        A.  B.  C.  D. 计算A.  B.  C.  D. 观察下列算式：，，，，，，，，
根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是A.  B.  C.  D. 近几年，某市在经济建设中取得突出成就，年三年该市的国内生产总值的和为亿元．图甲是这三年该市的国内生产总值的扇形统计图，图乙是这三年该市总人口折线统计图．根据以上信息，下列判断：
年该市国内生产总值超过亿元；
年该市人口的增长率比年人口的增长率低；
年比年该市人均国内生产总值增加万元；
如果年该市人口的年增长率与年人口的年增长率相同，且人均国内生产总值增长，那么年全市的国内生产总值将为亿元．其中正确的只有
A.  B.  C.  D. 以下四个命题：用换元法解分式方程时，如果设，那么可以将原方程化为关于的整式方程；如果半径为的圆的内接正五边形的边长为，那么；有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为；二次函数，自变量的两个值，对应的函数值分别为、，若，则其中正确的命题的个数为A. 个 B. 个 C. 个 D. 个九章算术是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中卷第八方程记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组是A.  B.  C.  D. 反比例函数的图象经过，则化简的结果正确的是A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）计算：______．在函数中，自变量的取值范围是______．如图，六边形的内角都相等，，则______


  如图，，分别是正五边形的边，的中点，四边形是位于该正五边形内的正方形，则的度数是______．


  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．一副三角尺按如图的位置摆放顶点与重合，边与边叠合，顶点、、在一条直线上将三角尺绕着点按顺时针方向旋转后，如果，那么的值是______．

    三、解答题（本大题共9小题，共70.0分）计算：．






 在等边中，，是边上的两点不与点，重合，点在点的左侧，且，点关于直线的对称点为，连接，．
求证：；
连接，求证：．

  






 已知数据，，，的平均数为，求数据，，，的平均数．






 某轮船以正常的速度向某港口行驶．走完路程的时，机器发生故障，每小时的速度减少海里，直到停泊在这个港口，所用的时间与另一次用每小时减少了海里的速度行驶完全程所用的时间相同．求该轮船的正常速度是多少？






 甲、乙两人分别从、、这个景点中随机选择个景点游览．
求甲选择的个景点是、的概率是______；
甲、乙两人选择都选择了景点的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程






 【操作与探究】    如图，在所给的坐标系中描出下列各点：，，．
     观察并探究所有点的坐标特征，回答下列问题：    将具有该特征的点的坐标记为，写出与满足的函数表达式               ．    点是否满足这个关系？              填“满足”或“不满足”    请你再写出一个类似的点的坐标              ．    观察坐标系中所有点的分布规律，我们能得到一些合理的信息，请你写出两条．






 如图，已知是外一点用两种不同的方法过点作的一条切线．
要求：用直尺和圆规作图；
保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
张老师计划到超市购买甲种文具个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，其中甲种文具每个元，乙种文具每个元．如果调整文具购买品种，每减少购买个甲种文具，需增加购买个乙种文具．设购买个甲种文具时，需购买个乙种文具．
求与之间的函数关系式；
若张老师购买这两种文具共用去元，则甲、乙两种文具各购买了多少个？
若张老师购买这两种文具共不超过个，则有多少种购买方案，哪种购买方案总费用最少？






 如图，四边形中，与交于点，，，，．

求证：；
求的度数；
若，是线段上的一动点，求的最小值．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：数据“万亿”用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 2.【答案】
 【解析】本题考查由三视图还原实物的能力．立方体的主视图是正方形，球体的主视图是圆，圆柱的主视图是矩形，只有圆锥的主视图是三角形．
 3.【答案】
 【解析】解：




．
故选：．
根据积的乘方与幂的乘方解决此题．
本题主要考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方是解决本题的关键．
 4.【答案】
 【解析】解：已知，末位数字为，
，末位数字为，
，末位数字为，
，末位数字为，
，末位数字为，
，末位数字为，
，末位数字为，
，末位数字为，

由此得到：的，，，，，，，，次幂的末位数字以、、、四个数字为一循环，
又，
的末位数字与的末位数字相同是．
故选D．
从运算的结果可以看出尾数以、、、四个数字一循环，用除以，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出的乘方的末位数字以、、、四个数字为一循环是解决问题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：年该市国内生产总值为亿亿元，超过亿元，此结论正确；
年该市人口的增长率为，年人口的增长率为
，故该结论错误；
年比年该市人均国内生产总值增加万元，所以此结论正确；
年全市的国内生产总值将为亿元，所以此结论正确；
综上，正确的有，
故选B．

利用该部分所占的百分比即可求出年该市国内生产总值；
分别求出年该市人口的增长率和年人口的增长率即可作出判断；
求出年比年该市人均国内生产总值增加的量和年全市的国内生产总值即可作出判断．
本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 6.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了命题与定理．考查了换元法解分式方程，弧长的计算，二次函数图象的性质，解直角三角形等知识，需要对相关知识有一个系统的掌握．
利用换元法代入并化简；
作，在中，利用三角函数求出的长；
这个圆锥母线长为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可；
根据二次函数图象的性质判断．
【解答】
解：设，那么可以将原方程化为关于的整式方程，故正确；
作．

，
，
，
故正确；
圆锥的高为，底面半径为，母线长为，
根据题意得，
则：：．
由得到．
所以，即，则，
即它的母线长是，故正确；
二次函数的对称轴是，若时，如图：

当时，
此时，，
所以．
故正确．
综上所述，正确的命题的个数为个．
故选D．  7.【答案】
 【解析】解：设甲、乙的持钱数分别为，，
根据题意可得：，
故选：．
根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有钱”，列出二元一次方程组解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：反比例函数的图象经过，
，或，
．
故选C．
因为反比例函数的图象经过，则，或，整体代入代数式即可求出其值．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及分式的化简，用了整体代入的思想．
 9.【答案】．
 【解析】解：原式
．
故答案为：．
分别对零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行化简，再进行实数的运算．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值和实数的运算，分别运用相应的法则化简式子是解题的关键．
 10.【答案】
 【解析】解：根据题意得：，
解得，．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于可知：，解得的范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 11.【答案】
 【解析】解：在六边形中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据多边形内角和公式求出六边形的内角和，再除以即可求出的度数，由平行线的性质可求出的度数．
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质等，解题关键是能够熟练运用多边形内角和公式及平行线的性质．
 12.【答案】
 【解析】解：五边形是正五边形，
，，
，分别是正五边形的边，的中点，
，
，
四边形是正方形，
，
，
故答案为：．
根据多边形的内角和定理求出度数，求出，根据正方形的性质求出，即可求出答案．
本题考查了正多边形的内角与外角，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
 13.【答案】
 【解析】解：

，
因为关于的一元二次方程有实数根，
所以，
所以．
故答案为：
先计算，根据方程有实数根得关于的不等式，求解即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式．解决本题的关键是根据解得情况列出不等式．
 14.【答案】
 【解析】解：如图，延长交于，

，，
，
，
；
如图，

，，
，
，
，
不合题意舍去，
故答案为：．
分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．
本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
 15.【答案】解：原式

．
 【解析】直接利用绝对值的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 16.【答案】证明：，
，
，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
．
点，关于直线对称，
，，
．
是等边三角形，
；
点，关于直线对称，
，
又是等边三角形，
，
．
．
 【解析】证≌，得再由轴对称的性质得，，然后证是等边三角形，即可得出结论；
由轴对称的性质得，再证即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 17.【答案】解：数据，，，的平均数为，
，
则，
则数据，，，的平均数为

．
 【解析】先由数据，，，的平均数为得出，再根据算术平均数的定义计算可得．
本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
 18.【答案】解：设该轮船的正常速度是海里小时，
由题意得，，
解得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
答：轮船原来行驶的速度为海里小时．
 【解析】设该轮船的正常速度是海里小时，把全程当做单位，分别求出该轮船两次出行所用的时间，然后根据时间相同，列方程求解．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
 19.【答案】
 【解析】解：甲选择的个景点所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中选择、的有种，
，
故答案为：；
用树状图表示如下：

共有种可能出现的结果，其中甲、乙两人选择都选择了景点的有种，
甲、乙两人选择都选择了景点的概率为．
列举出甲选择的个景点所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率；
用树状图表示所有可能出现的结果，再求出甲、乙两人选择都选择了景点的概率．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 20.【答案】描点，如图所示．
 ； 满足；
满足条件的点都在同一条直线上；
         除原点外其他各点都在第二、四象限内．
 【解析】解：描点，如图所示．
，，，，，，
．
故答案为：．
，
点满足．
故答案为：满足；
当时，，
满足．
故答案为：．
满足条件的点都在同一条直线上；除原点外其他各点都在第二、四象限内；随着的增大而减小．
根据点、、的坐标，将其标记在坐标系中即可；
根据点的坐标的变化，找出、之间的关系；由点的坐标结合，即可得出结论；将代入中求出值；
根据函数图象结合一次函数的性质，即可得出结论．
本题考查了规律型中点的坐标、一次函数图象以及一次函数的性质，解题的关键是：根据点的坐标描点；根据坐标的变化找出；代入点的坐标，验证是否满足条件；代入求出；观察函数图象，找出函数性质．
 21.【答案】解：方法一：如图中，连接，以为直径作圆交于，作直线，直线即为所求．

方法二：如图，作射线，作于，作的外接圆交于，作直线，直线即为所求．

 【解析】方法一：直接以为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得，可证直线是切线．
方法二：构造直角，作的外接圆，利用圆周角定理解决问题即可．
本题考查专题复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型．
 22.【答案】解：根据题意得：．
根据题意得：，
即，
解得：，
．
答：甲种文具购买了个，乙种文具购买了个．
根据题意得：，
即，
解得：．
又，
共有种方案．
设购买这两种文具的总费用为元，
根据题意得：，
，
随值的增大而减小，
当时，取最小值，最小值为元，
当购买甲种文具个时，总费用最少，最少费用为元．
 【解析】由“每减少购买个甲种文具，需增加购买个乙种文具”，即可找出关于的函数关系式；
根据总价单价购买数量结合张老师购买这两种文具共用去元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
由张老师购买这两种文具共不超过个，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，进而可得出有种购买方案，设购买这两种文具的总费用为元，根据总价单价购买数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一次函数的应用、一次函数的最值、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：根据数量间的关系，找出函数关系式；找准等量关系，正确列出一元一次方程；利用一次函数的性质解决最值问题．
 23.【答案】证明：，，
，
，
，
，
；
解：，
，
如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，，

，，
，
，
≌，
，，，
，．
，
，
，
是等边三角形，
，
，，，
≌，
，
；
是线段上的一动点，
当时，有最小值，
如图，，

，，
的最小值．
 【解析】由三角形的内角和定理可求，可得，可证；
将绕点逆时针旋转，得到，连接，，，先证是等边三角形，可得，由“”可证≌，可得，即可求解；
由直角三角形的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．