四川省泸州市2021-2022学年高三下学期第二次教学质量诊断性考试（二模）数学试题含答案解析

这是一份四川省泸州市2021-2022学年高三下学期第二次教学质量诊断性考试（二模）数学试题含答案解析，共18页。试卷主要包含了 设集合，，则， 复数的虚部为， 已知，则， 已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
泸州市高2019级第二次教学质量诊断性考试数学（文科）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求得集合中对应函数的值域，再求即可.【详解】因为，又，故.故选：B2. 复数的虚部为（    ）A. 1 B.  C. -1 D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数即得解.【详解】解：，所以复数的虚部为.故选：C3. 已知变量x，y满足，则的最大值为（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可得目标函数的最大值.【详解】不等式对应的可行域如图所示，当动直线过时，可取最大值为2，故选：C.4. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】.故选：C.5. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的每日平均温度均不低于.现有甲､乙､丙三地连续5天的每日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.其中肯定进入夏季的地区有（    ）A. ①② B. ①③C. ②③ D. ①②③【答案】B【解析】【分析】根据中位数和众数的定义分析可判断①；举特例可判断②；根据方差公式可判断③，进而可得正确答案.【详解】对于①，甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；则甲地前3天的气温为22，22，24，后2天均大于24，符合进入夏季的标志，故①甲地肯定进入夏季；对于②，乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；如连续5天的气温分别为19，20，27，27，27时，不满足进入夏季的标志，故②乙地不一定进入夏季；对于③，丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.设其他4个数据若有一个低于22，假设取21，此时方差至少为，不符合总体方差为10.8，所以其他4个数据应都不小于22，所以丙地“连续5天的每日平均温度均不低于，符合进入夏季的标志，故③丙地肯定进入夏季，所以进入夏季的地区有①③，故选：B.6. 已知曲线在点处的切线方程为，则a的值是（    ）A.  B. -2 C.  D. 2【答案】D【解析】【分析】对函数求导得到导函数，曲线在点处的切线的斜率为：，进而得到参数值.【详解】曲线，求导得到 曲线在点处的切线的斜率为： 故选：D7. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（    ）A. 6 B. 8 C. 4 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到，再由余弦定理得，代入已知条件可得到最终结果.【详解】因为，根据正弦定理得到： 故得到 再由余弦定理得到： 代入，，得到.故选：A.8. 已知双曲线C：的焦点到C的一条渐近线的距离为2，则C的离心率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解方程组，求出即得解.【详解】解：由题得 （1），因为双曲线的一条渐近线方程为.所以 （2），解（1）（2）得所以双曲线离心率.故选：D9. 已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数,则（ ）A. f(6)>f(7) B. f(6)>f(9) C. f(7)>f(9) D. f(7)>f(10)【答案】D【解析】【详解】由函数图象平移规则可知，函数由向右平移8个单位所得，所以函数关于对称，因为在区间上递减，在上递增，所以，，故选D.本题主要考查函数的奇偶性.10. 如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用正方体结合三视图切割可得该几何体，然后可求.【详解】该几何体为边长为2的正方体截掉两个三棱锥、之后的多面体，其体积为正方体体积减两个三棱锥体积：.故选：D11. 已知等腰直角的顶点都在表面积为的球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为1，则的面积为（    ）A. 4 B. 8 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据球的截面性质可求出直角三角形外接圆的半径，据此可得等腰直角三角形的边长，即可得解.【详解】由球表面积，可得球半径，设的外接圆的半径为，则由球的截面性质可得，又为等腰直角三角形，所以斜边长为，直角边长为4，所以，故选：B12. 已知，，且成立，则下列不等式不可能成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据构造函数，利用导数判断单调性，再对四个选项一一验证.【详解】因为可化为，即，所以可构造函数..令，解得：；令，解得：.所以在上单减，在上单增.因为，所以.对于A：，所以和不在同一个单调区间内，所以可以取出和符合不等式.故对于B：，所以和不在同一个单调区间内，所以可以取出和符合不等式.对于C：当，因为在上单增，所以恒成立.对于D：当，因为在上单减，所以，所以不成立.故选：D二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）.13. 已知，则________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到，，再利用换地公式即可得到答案。【详解】由可知，，所以.故答案为：14. 写出一个具有下列性质①②③的函数___________.①定义域为；②函数是奇函数；③.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由可以看出函数的周期为，故可以写出符合要的三角函数即可.【详解】满足以上三个条件，故答案为：15. 己知向量，，若，则的值为___________.【答案】##【解析】【分析】根据已知求出和即得解.【详解】解：由题得,所以，所以.所以.故答案为：16. 已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是___________.【答案】4【解析】【分析】根据抛物线方程求得焦点F坐标和准线方程，由圆的方程求得圆心坐标，半径，然后根据抛物线的定义，将问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点F距离之和的最小值，从而即可求解．【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，半径为1， 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 从而可得：当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到直线距离之和的最小为 ，故答案：4.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17. 设正项数列的前n项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前n项和为，求n的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；（2）根据上一问结论先化简，再利用裂项抵消法进行求解.【小问1详解】解：选①：由得：， 所以，又因为，因此数列为等比数列， 设数列的公比为，则，由， 解得或（舍去），所以；                                               选②：因为，当时，，又， 所以，即，所以， 所以当时，， 两式相减得，即，所以数列是，公比为2的等比数列，所以；选③：因为，当时，，所以，即，当时，， 两式相减，得， 即， 当时，满足上式．所以；【小问2详解】解：因 ， 设，则；令，得.18. 某县充分利用自身资源，大力发展优质李子树种植项目.该县农科所为了对比A，B两种不同品种脆红李的产量，各选20块试验田分别种植了A，B两种脆红李，所得的20个亩产数据（单位：100）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下图：（1）从B种脆红李亩产量数据在内任意抽取2个数据，求抽取的2个数据都在内的概率；（2）根据频率分布直方图，用平均亩产量判断应选择种植A种还是B种脆红李，并说明理由.【答案】（1）    （2）应选择种植B种脆红李，理由见解析.【解析】【分析】（1）种脆红李亩产量数据在，内的有5个，其中数据在，的有2个，数据在，的有3个，从种脆红李亩产量数据在，内任意抽取2个数据，基本事件总数，抽取的2个数据都在，内包含的基本事件个数，由此能求出抽取的2个数据都在，内的概率；（2）根据频率分布直方图，分别求出A种脆红李平均亩产量和种脆红李平均亩产量，从而得到用平均亩产量来判断应选择种植种脆红李．【小问1详解】（1）种脆红李亩产量数据在，内的有：，其中数据在，的有：个，数据在，的有：个，从B种脆红李亩产量数据在，内任意抽取2个数据，基本事件总数，抽取的2个数据都在，内包含的基本事件个数，抽取的2个数据都在，内的概率为．【小问2详解】根据频率分布直方图，种脆红李的平均亩产量为：，B种脆红李的平均亩产量为：，A种脆红李平均亩产量小于B种脆红李平均亩产量，用平均亩产量来判断应选择种植B种脆红李．19. 已知空间几何体ABCDE中，，是全等的正三角形，平面平面BCD，平面平面BCD.（1）若，求证：；（2）探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用正三角形和勾股定理得到线线垂直，再利用面面垂直、线面垂直的性质进行证明；（2）分别取，中点，，连接，，根据正三角形得到线线垂直，进而利用面面垂直的性质得到线面垂直，再利用线面垂直得到线线平行，再利用平行关系进行证明.【小问1详解】解： 因为、是全等的正三角形，所以， 又因为，所以，故，因为平面平面，且平面平面，所以平面， 又因为平面，所以；【小问2详解】解：，，，四点共面，理由如下：分别取，中点，，连接，，因为是等边三角形，所以，， 因为平面平面， 所以平面，同理平面，且，所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以，即，，，四点共面．20. 已知函数.（1）求证：；（2）若函数无零点，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；    （2）.【解析】【分析】（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.（2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点.【小问1详解】，则当时，，当时，，故在上为增函数，在上减函数，故即.【小问2详解】，故，当时，在定义域上无零点;当时，，故，所以当时，，当时，，故在上为增函数，在上减函数， 因为函数无零点，故，即；当时，因为，所以，即，所以在定义域上无零点.综上，的取值范围是.21. 已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.（1）求椭圆C的标准方程：（2）斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，证明直线l经过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）    （2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）根据椭圆长轴长及过点，列出方程组，求出的值，求出椭圆方程；（2）设出直线l的方程，联立后得到根与系数的关系，由斜率关系得到方程，化简后得到，进而求出直线所过定点.【小问1详解】由题意：，且，解得：，，所以椭圆标准方程为：.【小问2详解】由（1）得：，，设，，，联立椭圆方程得：，则，，又，，所以，化简得：，将，代入得：，由于不恒为0，所以，解得：，故过定点，即直线l过定点.【点睛】关键点点睛：这道题目的难点是在根据斜率关系得到的方程时，通过整理不能整理出两根之和的对称形式，此时要适当的进行整理，通过凑出对称式，因式分解求出的关系或者的值，进而求出直线所过的定点.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），若曲线上的点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，得到曲线.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知直线l：与曲线交于A，B两点，若，求k的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）消参求得曲线的普通方程，再根据图形变换求得曲线得直角坐标方程，再根据，即可求出曲线的极坐标方程；（2）设，则为方程得两根，利用韦达定理求得，，再根据，得，结合同角三角函数得关系求得，即可的解.【小问1详解】解：由消去参数得曲线的普通方程为，曲线上的点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，则曲线得直角坐标方程为，即，即，因，所以，所以曲线的极坐标方程为；【小问2详解】解：设，则为方程得两根，则①，②，因为，所以③，由①②③解得，所以，所以直线l的斜率.23. 已知a，b，c为非负实数，函数.（1）当，，时，解不等式；（2）若函数的最小值为2，证明：.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分类讨论去掉绝对值符号后可得不等式的解.（2）利用柯西不等式可证成立.【小问1详解】当，，时，，即为：或或，故或或即.故的解为.【小问2详解】，当且仅当即时等号成立，故，由柯西不等式可得，即，当且仅当，也就是时等号成立，故成立.